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Mines Physique 2 MP 2011 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre Lacas (Professeur agrégé) ; il a été relu par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).
Le sujet traite de différents aspects de la conduction électrique en régime stationnaire et lentement variable, en particulier en présence d’un champ magnétique
appliqué. Il se compose de deux parties indépendantes.
• La première étudie une plaque semi-conductrice parcourue par un courant en
régime stationnaire. D’abord, on s’intéresse à la mesure directe de la conductivité du matériau pour aboutir à la méthode « quatre points ». De nombreuses
questions guident la démarche, mais aucun résultat intermédiaire n’est fourni.
Ensuite, on aborde le phénomène de l’effet Hall, c’est-à-dire l’étude de la plaque
semi-conductrice en présence d’un champ magnétique statique et uniforme,
dans le contexte du modèle de Drude. Cette partie du sujet, plus calculatoire,
se termine par la détermination de l’expression de la résistance de Hall, aux
multiples applications dans le domaine des capteurs.
• La seconde partie aborde la conduction dans un plasma soumis à un champ
électromagnétique lentement variable. Les quatre sections qui la composent
sont indépendantes. La première place l’étude dans le cadre de l’approximation
des régimes quasi-stationnaires. La deuxième concerne une étude dynamique
préliminaire sur une « particule » de plasma. La troisième aborde le modèle
du plasma collisionnel. Aucune connaissance sur la théorie des chocs n’est
nécessaire ; on utilise les lois de conservation pour un système à deux corps.
Enfin, le sujet se termine par l’étude d’un type d’ondes pouvant se propager
dans le plasma : les ondes magnétohydrodynamiques d’Alfvén. Elle est menée
dans le cas simplifié du conducteur parfait et on cherche des solutions monochromatiques planes pour l’onde de vitesse dans le plasma. Elle aboutit à
l’expression de la célérité de ces ondes, ou vitesse d’Alfvén. Si l’énoncé cite des
conséquences astrophysiques, l’application numérique finale concerne le cas du
mercure liquide, qui constitue une situation de laboratoire.
Dans l’ensemble, la longueur du sujet est raisonnable. Si l’on excepte quelques
questions qui concernent les équations de Maxwell, ainsi que la sous-partie II.D, tout
le reste du sujet, c’est-à-dire plus de la moitié de l’épreuve, peut être traité en utilisant
le programme de première année.
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Indications
Partie I
1 Utiliser la conservation de la charge en tenant compte de la géométrie cylindrique.
−−→
→
−
Ensuite, utiliser E = − grad V.
→
−
→
2 La médiatrice de AD constitue un axe d’antisymétrie pour −
 , donc pour E .
8 Appliquer l’équation locale de conservation de la charge.
9 Utiliser le formulaire d’analyse vectorielle et au résultat de la question 8. Le champ
magnétique est uniforme.
→
−
10 Pour montrer que ρ = 0, prouver que div E = 0.
→
11 Exprimer −
 sur l’axe (y ′ y) en utilisant le principe de superposition (voir I.A).
En utilisant le résultat de la question 7, en déduire la composante Ey du champ
électrique sur cet axe.
Partie II
14 Un ion a une masse au moins égale à celle d’un proton.
15 Exprimer la vitesse du centre de masse du système {ion + électron}.
17 La force exercée par les électrons sur les ions peut être obtenue grâce au principe
des actions réciproques.
18 Mettre en équation les lois de conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement pour le système isolé des deux particules, avant et après le choc.
20 Exprimer la force moyenne en évaluant la variation de quantité de mouvement
sur un choc de durée très brève.
22 Penser aux équations de Maxwell-flux et de Maxwell-Ampère.
23 Utiliser l’équation du mouvement simplifiée.
→
−
→ −
−
→
→
−→ −
24 Le plasma est un très bon conducteur : E = − V ∧ B . Pour le calcul de rot E ,
→
−
il ne faut garder que le terme du premier ordre en b0 . La célérité cA s’obtient
grâce à la relation de dispersion ω = f (k).
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À propos de conduction électrique
I. Conduction dans un solide semi-conducteur
I.A
Mesure directe de la conductivité
1 Considérons le volume V formé par un
cylindre d’axe (Az) et de rayon r représenté
ci-contre. En régime permanent, d’après la
loi de conservation de la charge, le courant
électrique est identique à l’entrée et à la sortie de V, d’où
ZZ
→
−
→
−
i=
 · dS
i
r
V
A•
ε
S
−
→
−
→
dS
S
−
− · d→
→
S = j(r) r dz dθ
Or,
ZZ
Et donc
−
− · d→
→
S =
Z εZ
0
2π
r j(r) dz dθ = 2π r ε j(r)
0
S
Finalement,
j(r) =
i
2π r ε
La dépendance en 1/r de la densité de courant dans le matériau ne traduit
pas une atténuation, mais le fait que la surface que les charges traversent est
proportionnelle à la distance r.
Pour obtenir la différence de potentiel entre deux points de la plaque, déterminons
le champ électrique au moyen de la loi d’Ohm
→
→ −
−
i

→
−
E =
=
er
γ
2π r ε γ
−−→
→
−
Or, par définition du potentiel, E = − grad V ; il s’ensuit
dV
i
=−
dr
2π r ε γ
En intégrant entre r1 et r2 , on en déduit
i
r2
V(M1 ) − V(M2 ) =
ln
2π γ ε
r1
2 Dans un premier temps, adaptons le résultat précédent dans la situation où, cette
fois, il n’y a que le contact en D. Pour cela, il faut :
• remplacer les distances r1 et r2 par r1′ et r2′ ;
• substituer −i à i, car cette fois le courant i est sortant.
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Il vient alors
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[V(M1 ) − V(M2 )]D seul
i
=−
ln
2π γ ε
r2′
r1′
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Avec les deux contacts, la différence de potentiel s’obtient en utilisant le théorème de
superposition. En additionnant ce résultat et celui de la question précédente, il vient
i
r2
r2′
ln
− ln ′
V(M1 ) − V(M2 ) =
2π γ ε
r1
r1
Sur la médiatrice de [AD], r1 = r1′ et r2 = r2′ , si bien que
V(M1 ) − V(M2 ) = 0
Cela signifie que l’intersection du plan médiateur de [AD] et de la plaque semiconductrice constitue une surface équipotentielle. Ce résultat était prévisible, car il
→
s’agit d’un plan d’antisymétrie pour la distribution de courant. On en déduit que −
,
→
−
et donc E (d’après la loi d’Ohm) — vecteurs polaires — sont normaux à ce plan en
→
−
tout point de sa surface. Or, toute surface en tout point de laquelle E est normal
constitue une équipotentielle.
→
−
En effet, envisageons un déplacement élémentaire d ℓ à partir d’un
point M en restant sur la surface considérée. Pour tout point M,
→
−
→
−
dV = − E (M) · d ℓ = 0
Elle constitue donc bien une équipotentielle.
En outre, signalons que le théorème de superposition s’applique ici, car
les lois de l’électromagnétisme sont traduites par des équations linéaires.
3 Soit M1 — respectivement M2 — l’intersection de [AD] et de la surface de l’électrode
située en A — respectivement en D. Les électrodes étant des équipotentielles, on a
V(M1 ) = VA
et
Comme r1 = a, r2 = ℓ − a,
la question 2
a
A•
a
•
M1
= ℓ − a et
VA − VD =
=
=
VA − VD ≃
•
•D
ℓ
V(M2 ) = VD
r1′
M2
r2′
= a, on obtient successivement, d’après
i
ℓ−a
a
ln
− ln
2π γ ε
a
ℓ−a
i
ℓ−a
ln
πγε
a
i
ℓ
ln
−1
πγε
a
i
ℓ
ln
πγε
a
si
ℓ
≫1
a
Dans cette approximation, l’expression de la résistance électrique de la plaque
(définie par R = UAD /i) est ainsi
ℓ
1
R ≃ R0 ln
avec
R0 =
a
πγε
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