Informatique : Les nombres complexes

Lycée Vauban, PTSI, 2006-2007
Informatique : Les nombres complexes
Pour Maple, le i des mathématiciens s’écrit I ou encore sqrt(-1) ou encore (-1)^(1/2). Ceci doit
vous choquer : il n’y a en effet pas de raison de choisir i plutôt que −i comme “racine carrée” de −1. Il
faut toujours garder ceci en mémoire lorsque l’on travaille avec Maple.
Partie réelle, partie imaginaire, conjugué
On commence par définir un nombre complexe z = x + iy :
> z:=x+I*y ;
On veut extraire la partie réelle de z :
> Re(z) ;
Encore une fois, Maple donne le résultat sous forme symbolique. Il faut forcer l’évaluation complexe à
l’aide de la commande evalc :
> evalc(Re(z)) ;
Dans le même genre :
> Im(z) ;evalc(%) ;
> conjugate(z) ;evalc(%) ;
En revanche, pour obtenir la valeur numérique d’un nombre complexe, il faut utiliser l’évaluation
dans les flottants (evalf). Un exemple vaut mieux qu’un long discours :
> z0:=sqrt(2)+I*Pi ;
> evalc(z0) ;
> evalf(z0) ;
Pour choisir le nombre de chiffres significatifs :
> evalf(z0,1) ;evalf(z0,15) ;
Module et argument
La commande Maple pour le module et l’argument est polar. Attention, elle possède une syntaxe
particulière.
La commande polar(module,argument) renvoie le nombre complexe :
> polar(sqrt(2)/2,Pi/4) ;evalc(%) ;
La commande polar(z) renvoie le module et l’argument de z à condition de lire la fonction dans la
bibliothèque :
> restart ;z:=3+I*4 ;polar(z) ;readlib(polar) ;polar(z) ;
La commande convert(z,polar) renvoie le module et l’argument de z :
> restart ;z:=3+I*4 ;convert(z,polar) ;
Les complexes et les fonctions
L’exponentielle complexe est définie et fait partie du programme de PTSI et elle se comporte comme
il faut dans Maple.
> J:=exp(I*2*Pi/3) ;evalc(J^3) ;
Attention aux autres fonctions usuelles (trigonométriques, logarithme, ...) lorsqu’elles agissent sur des
complexes : les résultats peuvent être justifiés d’un certain point de vue mais un élève de PTSI n’a pas
à les manipuler de la sorte.
> cos(I) ;evalc(cos(I)) ;evalf(cos(I)) ;
> evalc(cos(3+I)) ;
> evalc(sqrt(2+I)) ;
1
> evalc(ln(1-3*I)) ;
Pour l’explication concernant les fonctions trigonométriques, voir le cours.
Exercice 1. Déterminer les complexes z tels que
Les représenter dans le plan complexe.
z2
soit imaginaire pur.
2z + 3i
Exercice 2. Dans C, résoudre l’équation suivante z 2 + z̄ + iz = 0.
Montrer que les points dont les affixes sont solutions forment un triangle rectangle.
2π
. Déterminer les nombres complexes z tels que les points d’affixe j, z et
Exercice 3. Soit j = exp i
3
1 + jz soient alignés.
Les représenter dans le plan complexe.
Exercice 4. Soient a et b deux complexes tels que |a| = |b| = 1, a 6= b et a 6= b.
1 + ab
est réel.
Montrer que
a+b
z + abz̄ − (a + b)
Montrer que, pour tout z ∈ C,
est un imaginaire pur.
a−b
2