livre troisieme

LE TROISIEME LIVRE DES ELEMENTS D’EUCLIDE
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LE TROISIEME LIVRE
DES ELEMENTS D’EUCLIDE.
DEFINITIONS.
1. Les cercles égaux sont ceux dont les diamètres sont égaux, ou ceux dont les droites menées des centres
aux circonférences sont égales.
2. Une droite, qui touchant un cercle, et qui étant prolongée ne le coupe point, est dite tangente à ce
cercle.
3. Les cercles qui ne se touchent et qui ne se coupent point, sont dits tangents entr'eux.
4. Dans un cercle, on dit que les droites sont également éloignées du centre, lorsque les
perpendiculaires menées du centre sur ces droites sont égales.
5. La droite sur laquelle tombe la plus grande perpendiculaire est dite la plus éloignée du centre.
6. Un segment de cercle est la figure comprise par une droite et par une circonférence de cercle.
7. L'angle du segment est celui qui est compris par une droite et par une circonférence de cercle.
8. L'angle dans le segment est l'angle compris par les droites menées d'un point pris dans la
circonférence du segment aux extrémités de la droite qui est la base du segment.
9. Mais lorsque les droites qui comprènent l'angle embrassent une portion de la circonférence, cet angle
est dit appuyé à la circonférence.
10. Un secteur de cercle est une figure comprise entre deux rayons qui font un angle au centre et la
portion de la circonférence qu'embrassent ces deux rayons.
11. Les segments des cercles sont semblables, lorsqu'ils reçoivent des angles égaux, ou lorsque les
angles qu'ils contiènent sont égaux entr'eux.
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PROPOSITION I. Trouver le centre d'un cercle donné.
Soit ABΓ le cercle donné ; il faut trouver le centre du cercle ABΓ.
Conduisons dans le cercle une droite quelconque AB, partageons-la en deux parties égales au point Δ
(proposition X, livre I) ; du point Δ conduisons ΓΔ perpendiculaire à AB (proposition XI, livre I),
prolongeons ΓΔ en E, et partageons ΓΕ en deux parties égales en Z ; je dis que le point Z est le centre du
cercle ABΓ.
Que Z ne le soit pas, et que H le soit, si cela est possible. Joignons HA, HΔ, HB. Et puisque AΔ est
égal à ΔB et que ΔH est commun, les deux droites AΔ, ΔH sont égales aux deux droites HΔ, ΔB, chacune
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à chacune ; mais la base HA est égale à la base HB, car ce sont deux rayons (définition 15, livre I) ; donc
l'angle AΔH est égal à l'angle HΔB (proposition VIII, livre I). Mais lorsqu'une droite tombant sur une
droite fait avec elle les angles de suite égaux, chacun des angles égaux est droit (définition 10, livre I) ;
donc l'angle HΔB est droit. Mais l'angle ZΔB est droit ; donc l'angle ZΔB est égal à l'angle HΔB ; le plus
petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc le point H n'est point le centre du cercle ABΓ. On
démontrera semblablement que tout autre point, excepté Z, ne l'est pas.
Donc le point Z est le centre du cercle. Ce qu'il fallait faire.
COROLLAIRE. De là il est évident que si dans un cercle une droite en coupe une autre en deux
parties égales, et à angles droits, le centre du cercle est dans la sécante.
PROPOSITION II. Si dans une circonférence de cercle, on prend deux points quelconques, la
droite qui joindra ces deux points tombera dans le cercle.
Soit le cercle ABΓ ; qu'on prène deux points quelconques A, B, dans sa circonférence ; je dis que la
droite menée du point A au point B, tombera dans le cercle.
Car que cela ne soit point, et qu'elle tombe en dehors, si c'est possible, comme AEB ; prenons le
centre du cercle ABΓ (proposition I), qu'il soit Δ, joignons ΔA, ΔB, et menons ΔZE.
Puisque ΔA est égal à ΔB, l'angle ΔAE est égal à l'angle ΔBE (proposition V, livre I) ; et puisque
l'on a prolongé un côté AEB du triangle ΔAE, l'angle ΔEB est plus grand que l'angle ΔAE (proposition
XVI, livre I). Mais l'angle ΔAE est égal à l'angle ΔBE ; donc l'angle ΔEB est plus grand que l'angle ΔBE.
Mais un plus grand côté soutend un plus grand angle (proposition XVIII, livre I) ; donc ΔB est plus
grand que ΔE. Mais ΔB est égal à ΔZ ; donc ΔZ est plus grand que ΔE, le plus petit que le plus grand, ce
qui est impossible. Donc la droite menée du point A au point B ne tombe pas hors du cercle. Nous
démontrerons semblablement qu'elle ne tombe pas dans la circonférence ; donc elle tombe en dedans du
cercle. Donc, etc.
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PROPOSITION III. Si dans un cercle une droite menée par le centre coupe en deux parties égales
une droite non menée par le centre, elle la coupera à angles droits ; et si elle la coupe à angles
droits, elle la coupera en deux parties égales.
Soit le cercle ABΓ ; que dans ce cercle, la droite ΓΔ menée par le centre coupe en deux parties égales
au point Z la droite AB non menée par le centre ; je dis qu'elle la coupe à angles droits.
Prenons le centre du cercle ABΓ (proposition I) ; qu'il soit E, et joignons EA, EB.
Puisque AZ est égal à ZB, et que la droite ZE est commune, deux droites sont égales à deux droites ;
mais la base EA est égale à la base EB ; donc l'angle AZE est égal à l'angle EZB (proposition VIII,
livre I). Mais lorsqu'une droite tombant sur une autre droite fait les angles se suite égaux entr'eux, chacun
des angles égaux est droit ; donc chacun des angles AZE, BZE est droit. Donc la droite ΓΔ, menée par le
centre, et qui coupe en deux parties égales la droite AB non menée par le centre, coupe aussi cette droite à
angles droits.
Mais que la droite ΓΔ coupe la droite AB à angles droits ; je dis qu'elle la coupe en deux parties
égales, c'est-à-dire que AZ est égal à ZB.
Faisons la même construction ; puisque EA est égal à EB, l'angle EAZ est égal à l'angle EBZ
(proposition V, livre I). Mais l'angle droit AZE est égal à l'angle droit BZE ; donc EAZ, EZB sont deux
triangles qui ont deux angles égaux à deux angles, et un côté égal à un côté, c'est-à-dire leur côté commun
EZ, qui soutend un des angles égaux ; donc ces deux triangles auront les côtés restants égaux aux côtés
restants (proposition XXVI, livre I) ; donc AZ est égal à ZB. Donc, etc.
PROPOSITION IV. Si dans un cercle deux droites non menées par le centre se coupent, elles ne se
coupent point en deux parties égales.
Soit le cercle ABΓΔ, et que dans ce cercle les deux droites AΓ, BΔ, non menées par le centre, se
coupe au point E ; je dis qu'elles ne se coupent point en deux parties égales.
Car si cela est possible, qu'elles se coupent en deux parties égales, de manière que AE soit égal à EΓ,
et BE égal à BΔ ; prenons le centre du cercle ABΓΔ (proposition I), qu'il soit le point Z, et joignons ZE.
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Puisque la droite ZE, menée par le centre, coupe en deux parties égales la droite AΓ non menée par
le centre, elle la coupera à angles droits (proposition III) ; donc l'angle ZEA est droit. De plus, puisque la
droite ZE coupe en deux parties égales la droite BΔ non menée par le centre, elle la coupera à angles
droits ; donc l'angle ZEB est droit. Mais on a démontré que l'angle ZEA est droit ; donc l'angle ZEA est
égal à l'angle ZEB, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc les droites AΓ, BΔ ne se
coupent point en deux parties égales. Donc, etc.
PROPOSITION V. Si deux cercles se coupent, leur centre ne sera pas le même.
Que les deux cercles ABΓ, ΓΔH se coupent aux deux points B, Γ ; je dis que leur centre ne sera pas
le même.
Car si cela est possible, que leur centre soit le point E ; joignons EΓ, et menons EZH d'une manière
quelconque.
Puisque le point E est le centre du cercle ABΓ, la droite EΓ est égal à EZ (définition 15, livre I). De
plus, puisque le point E est le centre du cercle ΓΔH, la droite ΓE est égale à EH. Mais on a démontré que
EΓ est égal à EZ ; donc ZE est égal à EH, la plus petite à la plus grande, ce qui est impossible. Donc le
point E n'est pas le centre des cercles ABΓ, ΓΔH. Donc, etc.
PROPOSITION VI. Si deux cercles se touchent intérieurement, leur centre n'est pas le même.
Que les deux cercles ABΓ, ΓΔE se touchent au point Γ ; je dis que leur centre n'est pas le même.
Car si cela est possible, que leur centre soit le point Z ; joignons ZΓ, et menons ZEB d'une manière
quelconque.
Puisque le point Z est le centre du cercle ABΓ, la droite ZΓ est égale à BZ. De plus, puisque le point
Z est le centre du cercle ΓΔE, la droite ZΓ est égale à ZE. Mais on a démontré que ZΓ est égal à ZB ;
donc ZE est égal à ZB, la plus petite à la plus grande, ce qui est impossible ; donc le point Z n'est point le
centre des cercles ABΓ, ΓΔE. Donc, etc.
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PROPOSITION VII. Si dans le diamètre d'un cercle on prend un point qui ne soit pas le centre de
ce cercle, et si de ce point on conduit les droites à la circonférence ; la plus grande sera celle dans
laquelle est le centre, et la plus petite la droite restante ; quant aux autres droites, la droite qui est
plus près de celle qui passe par le centre est toujours plus grande que celle qui en est plus éloignée ;
et du même point on ne peut mener à la circonférence que deux droites égales de l'un et l'autre côté
de la plus petite.
Soit le cercle ABΓΔ, que AΔ soit son diamètre, prenons dans AΔ un point quelconque Z qui ne soit
pas le centre de ce cercle, que le centre du cercle soit le point E, du point Z menons à la circonférence
ABΓΔ les droites ZB, ZΓ, ZH ; je dis que ZA est la plus grande, et ZΔ la plus petite ; et que parmi les
autres, la droite ZB est plus grande que ZΓ, et la droite ZΓ plus grande que ZH.
Joignons BE, ΓE, HE.
Puisque deux côtés d'un triangle sont plus grands que le côté restant (proposition XXI, livre I), les
droites EB, EZ sont plus grandes que la droite BZ. Mais la droite AE est égale à la droite BE ; donc les
droites BE, EZ sont égales à la droite AZ ; donc la droite AZ est plus grande que la droite BZ. De plus,
puisque BE est égal à ΓE, et que la droite ZE est commune, les deux droites BE, EZ sont égales aux deux
droites ΓE, EZ. Mais l'angle BEZ est plus grand que l'angle ΓEZ ; donc la base BZ est plus grande que la
base ΓZ (proposition XXIV, livre I). Par la même raison la droite ΓZ est plus grande que la droite HZ.
De plus, puisque les droites HZ, ZE sont plus grandes que la droite EH, et que EH est égal à EΔ, les
droites HZ, ZE sont plus grandes que EΔ. Retranchons la droite commune EZ ; la droite restante HZ sera
plus grande que la droite restante ZΔ. Donc la droite ZA est la plus grande, et la droite ZΔ la plus petite ;
donc la droite ZB est plus grande que la droite ZΓ, et la droite ZΓ plus grande que la droite ZH.
Je dis que du point Z, on ne peut mener à la circonférence ABΓΔ que deux droites égales, de l'un et
l'autre côté de la plus petite ZΔ. Car sur la droite EZ et au point E de cette droite, faisons l'angle ZEΘ égal
à l'angle HEZ (proposition XXIII, livre I), et joignons ZΘ. Puisque la droite HE est égale à la droite EΘ,
et que la droite EZ est commune, les deux droites HE, EZ sont égales aux deux droites ΘE, EZ ; mais
l'angle HEZ est égal à l'angle ΘEZ ; donc la base ZH est égale à la base ZΘ (proposition IV, livre I). Je
dis que du point Z on ne peut mener à la circonférence une autre droite égale à ZH. Car si cela est
possible, menons ZK. Puisque ZK est égal à ZH, et ZΘ égal à ZH, la droite ZK est égale à la droite ΘZ,
une droite plus près de celle qui passe par le centre, égale à une droite qui en est plus éloignée, ce qui est
impossible.
Ou d'une autre manière. Joignons EK. Et puisque HE est égal à EK, que la droite EZ est commune, et
que la base ZH est égale à la base ZK, l'angle HEZ est égal à l'angle KEZ (proposition VIII, livre I).
Mais l'angle HEZ est égal à l'angle ZEΘ ; donc l'angle ZEΘ est égal à l'angle KEZ, le plus petit au plus
grand, ce qui est impossible. Donc du point Z, on ne peut pas mener à la circonférence une autre droite
qui soit égale à HZ ; donc on n'en peut mener qu'une seule. Donc, etc.
PROPOSITION VIII. Si hors d'un cercle
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FIN DU TROISIEME LIVRE.
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