Synthèse de cours PanaMaths (CPGE) Æ Sous-espaces stables Dans ce document, K désigne un corps commutatif. Généralités sur les sous-espaces stables Définition Soit E un espace vectoriel sur le corps K . Soit F un sous-espace vectoriel de E et f un endomorphisme de E ( f ∈ L ( E ) ). On dit que F est « stable par f » si on a : f ( F ) ⊂ F . La restriction de f à F est alors un endomorphisme de F appelé « endomorphisme induit par f sur F». Théorème Soit E un espace vectoriel sur le corps K . Soit f et g deux endomorphismes de E. Si f et g commutent alors le noyau et l’image de f (resp. g) sont stables par g (resp . f). Remarque : tout endomorphisme f de E commutant avec lui-même, on déduit de ce qui précède que son image et son noyau sont stables. Cas d’un espace vectoriel de dimension finie Une première caractérisation de la stabilité Soit E un espace vectoriel sur le corps K de dimension finie et soit f ∈ L ( E ) . Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p et soit BF = ( e1 , e2 , ..., e p ) une base de F. F est stable par f ⇔ ∀i ∈ {1, 2, ..., p} , f ( ei ) ∈ F PanaMaths [1-6] Septembre 2012 www.panamaths.net Sous-espaces stables Notion de base adaptée Soit E un espace vectoriel sur le corps K de dimension finie notée d. Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p et soit BF = ( e1 , e2 , ..., e p ) une base de F. Soit alors B = ( e1 , e2 , ..., e p , e p +1 , ..., ed ) une base de E. Une telle base est appelée « base adaptée » à F. Une deuxième caractérisation de la stabilité Soit E un espace vectoriel sur le corps K de dimension finie notée d et soit f ∈ L ( E ) . Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p et B = ( e1 , e2 , ..., ed ) une base de E adaptée à F. Le sous-espace F est stable par f si, et seulement si, la matrice M B ( f ) de f dans la base B ⎛ A B⎞ est de la forme : M B ( f ) = ⎜ ⎟ avec : ⎝0 C⎠ • A matrice carrée d’ordre p (c’est la matrice de la restriction de f à F dans la base BF = F ( e1 , e2 , ..., e p ) ) ; • B matrice de dimension p × ( n − p ) ; • 0 matrice nulle de dimension ( n − p ) × p ; • C matrice carrée d’ordre n − p . ⎛ A B⎞ On a alors : det M B ( f ) = det ⎜ ⎟ = det ( A ) × det ( C ) . ⎝0 C⎠ On peut généraliser le théorème précédent lorsque E est somme directe de sous-espaces. Soit E un espace vectoriel sur le corps K de dimension finie notée d et soit f ∈ L ( E ) . Soit E1 , E2 , ..., E p , p sous-espaces vectoriels de E de dimensions respectives di tels que : p E = ⊕ Ei i =1 Soit B = ( e11 , e12 , ..., e1d , e21 , e22 , ..., e2 d , ..., e p1 , e p 2 ,..., e pd 1 2 p ) une base de E adaptée à la somme directe. PanaMaths [2-6] Septembre 2012 www.panamaths.net Sous-espaces stables Les sous-espaces Ei sont stables par f si, et seulement si, il existe p matrices carrées Ai de dimensions respectives di telles que la matrice M B ( f ) de f dans la base ⎛ A1 ⎜ 0 MB ( f ) = ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝0 B soit de la forme : 0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎟ … Ap ⎟⎠ 0 … A2 … 0 Ai est alors la matrice de la restriction de f au sous-espace Ei . ⎛ A1 ⎜ 0 On a alors : det M B ( f ) = det ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝0 0 ⎞ ⎟ p 0 ⎟ = det A1 × det A2 × ... × Ap = ∏ det Ai . ⎟ i =1 ⎟ … Ap ⎟⎠ 0 … A2 … 0 Notion de polynôme d’endomorphisme Définitions Soit E un espace vectoriel sur le corps K et soit f ∈ L ( E ) . On définit les puissances d’exposant entier de l’endomorphisme f par récurrence : f 0 = Id E et ∀n ∈ * f n −1 , fn = f Soit P ∈ K [ X ] de degré n. n On peut écrire : P ( X ) = an X n + an −1 X n −1 + ... + a1 X + a0 = ∑ ai X i . i =0 On définit alors P ( f ) par : n P ( f ) = an f n + an −1 f n −1 + ... + a1 f + a0 = ∑ ai f i i =0 C’est encore un endomorphisme de E. PanaMaths [3-6] Septembre 2012 www.panamaths.net Sous-espaces stables Un morphisme d’algèbre Théorème La notion précédente conduit à considérer pour un endomorphisme f de E donné l’ensemble des polynômes P ( f ) . En notant K [ f ] cet ensemble, on a donc : K [ f ] = { P ( f ) / P ∈ K [ X ]} On considère alors l’application : ⎧⎪ K [ X ] → L ( E ) Φf :⎨ ⎪⎩ P Φ f ( P ) = P ( f ) On a l’important théorème suivant : L’application Φ f est un morphisme d’algèbres Son image Im Φ f = Φ f ( K [ X ]) = K [ f ] est une sous-algèbre commutative de L (E) appelée « sous-algèbre engendrée par f ». Remarque : pour tout polynôme P dans K [ X ] , les endomorphismes f et P ( f ) commutent. On en déduit que les sous-espaces vectoriels ker P ( f ) et Im P ( f ) sont stables par f. Notion de polynôme minimal Définitions Nous nous intéressons maintenant au noyau de Φ f . Le noyau de Φ f est l’ensemble des polynômes P tels que P ( f ) = 0L ( E ) . Ces polynômes sont appelés « polynômes annulateurs de f ». Φ f est un morphisme d’anneau et son noyau est donc un idéal de K [ X ] . Tout idéal de K [ X ] étant principal, ker Φ f est principal. { } Si le noyau de Φ f n’est pas réduit au polynôme nul ( ker Φ f ≠ 0K[ X ] ) alors il existe un polynôme unitaire engendrant ker Φ f . Ce polynôme, classiquement noté Π f , est appelé « polynôme minimal de l’endomorphisme f ». PanaMaths [4-6] Septembre 2012 www.panamaths.net Sous-espaces stables Il découle immédiatement de la dernière définition que le polynôme minimal Π f divise tout polynôme annulateur de l’endomorphisme f. Théorème Soit E un espace vectoriel sur le corps K de dimension finie et soit f ∈ L ( E ) . f admet un polynôme minimal ⇔ dim K [ f ] < ∞ . Si dim K [ f ] = n alors d°Π f = n et {Id E , f , f 2 , ..., f n −1} est une base de K [ f ] . Le cas de la dimension finie Tout endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie admet un polynôme minimal. Théorème de décomposition des noyaux Lemme Soit E un espace vectoriel sur le corps K et soit f ∈ L ( E ) . Soit A et B deux polynômes dans K [ X ] et D = PGCD ( A, B ) . On a : ker A ( f ) ∩ ker B ( f ) = ker D ( f ) Théorème Soit E un espace vectoriel sur le corps K et soit f ∈ L ( E ) . Soit A et B deux polynômes dans K [ X ] premiers entre eux. On a : ker AB ( f ) = ker A ( f ) ⊕ ker B ( f ) PanaMaths [5-6] Septembre 2012 www.panamaths.net Sous-espaces stables Le résultat précédent se généralise : Soit E un espace vectoriel sur le corps K et soit f ∈ L ( E ) . Soit A1 , A 2 ,… , A n n polynômes dans K [ X ] deux à deux premiers entre eux. On a : n ⎛ n ⎞ ker ⎜ ∏ A i ⎟ ( f ) = ker ( A1 ...A n )( f ) = ker A1 ( f ) ⊕ ... ⊕ ker A n ( f ) = ⊕ ker Ai ( f ) i =1 ⎝ i =1 ⎠ PanaMaths [6-6] Septembre 2012