Nombre de Lefschetz basique pour un feuilletage riemannien

A NNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE T OULOUSE
A BDELLATIF Z EGGAR
Nombre de Lefschetz basique pour un
feuilletage riemannien
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 6e série, tome 1, no 1
(1992), p. 105-131.
<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1992_6_1_1_105_0>
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Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse
Nombre de Lefschetz
un
feuilletage
ABDELLATIF
Série 6, Vol. I, n° 1, 1992
basique
pour
riemannien
ZEGGAR(1)
RÉSUMÉ. - En adaptant les techniques de Toledo [To] on établit une
formule intégrale donnant le nombre de Lefschetz basique pour un
endomorphisme géométrique d’un complexe transversalement elliptique
associé à une application préservant un feuilletage riemannien sur une
variété compacte.
ABSTRACT,. - By adapting the techniques of Toledo
[To]
we
establish
intégral formula giving the basic Lefschetz number for a geometric
endomorphism of transversally elliptic complex, associated to a map
preserving a Riemannian foliation on a compact manifold.
an
0. Introduction
Un difféomorphismef d’une m-variété compacte M induit pour chaque
i = 0, ... , dim M un isomorphisme
au niveau de chaque espace vectoriel de cohomologie à coefficients complexes
qui est de dimension
finie. Le nombre L( f) =
est la trace de
(où
HZ (, f )
Hz(M)
Tr HZ ( f )
HZ( f ))
est appelé le nombre de Lefschetz de f La condition L( f) = 0 est
condition nécessaire pour que la transformation f soit sans point fixe.
Atiyah et Bott [AB] ont montré que ce nombre peut être calculé à l’aide
d’invariants (tels que la trace, l’indice,... ) de certains opérateurs elliptiques
définis sur M. La structure différentiable de la variété est exploitée de façon capitale mais il est possible d’étendre ces résultats à certains espaces
singuliers. C’est l’objet de ce travail.
.
une
(1) U.R.A.
au CNRS 751, Université de
ciennes Cedex (France)
-
Valenciennes, Le Mont-Houy,
105 2014
59326 Valen-
Nous commençons d’abord par établir une formule de Lefschetz invariante
par l’action d’un groupe de Lie compact sur une variété compacte connexe;
ensuite nous appliquons le résultat obtenu pour donner une formule intégrale
calculant le nombre de Lefschetz basique d’un endomorphisme géométrique
T d’un complexe transversalement elliptique à un feuilletage riemannien
minimalisable (M, 0). Nous obtenons en quelque sorte une formule de
Lefschetz sur l’espace des adhérences des feuilles qui est un espace singulier.
Goresky et Macpherson ont démontré un résultat analogue sur un espace
singulier muni d’une stratification mais avec des méthodes différentes. Celles
que nous utilisons sont inspirées des techniques de Toledo [To]. Le cas
particulier de l’endomorphisme identité du complexe SZ* (~l/~’) des formes
basiques complexes, nous a permis d’introduire la classe d’Euler basique qui
généralise la notion classique de classe d’Euler.
Dans la section 1 nous rappellons la définition d’un feuilletage riemannien et le théorème de strucutre de Molino ainsi que la notion de F-fibré
hermitien, de section basique et d’opérateur différentiel basique transversalement elliptique. Nous résumons d’autre part les résultats sur la décomposition de Hodge pour de tels opérateurs décrite dans [Ek] qui permet de
justifier la définition du nombre de Lefschetz basique. Dans la section 2
nous adaptons les techniques de Toledo pour obtenir une formule
intégrale
donnant le nombre de Lefschetz invariant sous l’action d’un groupe de Lie
compact. Ces résultats sont appliqués dans le paragraphe 3 pour établir
notre résultat principal, c’est-à-dire une formule intégrale permettant de
calculer le nombre de Lefchetz basique d’un endomorphisme géométrique
d’un complexe transversalement elliptique à un feuilletage riemannien.
Toutes les structures considérées seront de classe C°° .
1.
Quelques notations, rappels
et définitions
Soient M une variété compacte connexe orientée munie d’un feuilletage ~
défini par un recouvrement ouvert
de M, une variété T de dimension
variété transverse) et des submersions : Ui ~i T à fibres connexes
compatibles dans le sens suivant : pour i, j E I tels que Ui~Uj ~
0, il existe
un difféomorphisme
de
l’ouvert
r1
03B3ij
Uj) sur l’ouvert fi(Ui n Uj) tel
que fi = 03B3ij o fj ;les feuilles de la restriction de :F à Ui sont les fibres de
On désignera par T:F le fibré tangent à 0 et v~’ = TM/TJF son fibré
sont les modules des sections respectivement de TM
normal ; X(M) et
et T~’ sur l’anneau C°°(M) des fonctions de classe C°° sur M.
q
(appelée
.
Une forme différentielle complexe a sur M est dite basique si pour tout
X dans 0393(F), la dérivée de Lie Lxo: et le produit intérieur iX03B1 sont nuls.
Les formes basiques constituent une sous-algèbre différentielle ~* (M/~’) de
des formes différentielles complexes sur M;la cohomologie
l’algèbre
de (S~*(M/~’), d) est appelée la cohomologie basique de M et est notée
Un champ de vecteurs Y sur M est dit feuilleté si ~X, Y~ E
tout
X~
dans r(.~’) ; c’est-à-dire Y est un automorphisme infinitésimal
pour
de 0. On vérifie aisément que Y est feuilleté si et seulement si le groupe
à un paramètre engendré par Y respecte ~’. L’espace F(0) est un idéal de
l’algèbre des champs feuilletés x(M, ~) et l’algèbre de Lie quotient
appelée l’algèbre de Lie des champs basiques. La classe d’équivalence
x(M/0) d’un champ feuilleté Y E x(M, 0) sera notée Yb.
On dira qu’un q-uple (Y 1, ...
de champs feuilletés définit un parallélisme transverse pour ~’ si le q-uple (Yb
, Yb ) des champs basiques
associés est de rang q en tout point (et donc trivialise le fibré ï/.F). Si un tel
parallélisme existe, on dit que ~’ est transversalement parallélisable (T.P.
en abrégé). Dans le cas particulier où le sous-espace vectoriel de
est une sous-algèbre de Lie ~, on dit que ~" est
engendré par (Yb
un ~-, feuilletage de Lie. Un parallélisme transverse permet de munir le fibré
normal d’un feuilletage T. P. d’une structure riemanienne invariante le long
est
dans
, ...
, ...
des feuilles.
De manière
générale
on
par des submersions locales
dira
que F
est riemannien s’il
peut être défini
UiT au-dessus d’une variété riemannienne T
telles que les difféomorphismes de transition y2~ sont des isométries locales
de T. Pour un tel feuilletage,
est muni d’une métrique riemannienne
invariante le long des feuilles qu’on pourra compléter en une métrique
riemannienne sur M dont on dira qu’elle est quasi-fibrée. Pour étudier la
structure de ce feuilletage, on peut supposer, quitte à passer à un revêtement
à deux feuillets, qu’il est transversalement orienté, c’est-à-dire, v.~ est
orienté. Soit alors Md le So(q)-fibré principal des repères orthonormés
directs de
On a le théorème de structure dû à P. Molino [Mo].
.
THÉORÈME 1.1. - Soit ~ un feuilletage riemannien transversalement
orienté de codimension q sur une variéte compacte connexe M.
.
Si 0 est
T.P., alors
i~
les adhérences des
ment triviale F
.
ii)
de .~ sont les fibres d’une fibration localeW appelée fibration basique de ~’ ;
feuilles
-
il eziste
une algèbre de Lie G et un G-feuilletage de Lie
(F,
denses
tel que le feuilletage induit sur chaque fibre de
feuilles
isomorphe à (F, ~p~ ;
à
~r
est
le groupe structural de la fibration basique est un sous-groupe du
des difféomorphismes de F qui respectent ~’p
groupe Dif£(F,
.
Si ~ n’est pas nécessairement
iv)
T.P., alors
il se relève en un feuilletage T.P. de même
invariant par l’action de SO(q) .
dimension, F#
sur
Mf
1.2. F-fibrés hermitiens
Rappelons qu’une connexion sur un fibré
une application C-linéaire ~:0393(E)
de M est
vectoriel
~
complexe Eau-dessus
Hom(TM, E)
vérifiant
Le morphisme d’espaces vectoriels qui à un champ de vecteurs X
associe l’élément V x de
défini par :
sur
M
End(r(E))
n’est pas un morphisme d’algèbres de Lie en général; ceci est mesuré par la
courbure R de V qui est une application bilinéaire altérnée
définie par :
Une connexion V
sur
E est dite
basique (cf. [KT])
si
sa
courbure R vérifie
fibré vectoriel compleze E sur
une section s
appelé un
Un
sera
sera
dite
M muni d’une connexion
de E vérifiant
basique
~
basique.
L’ensemble
l’anneau
des sections basiques de E est
des fonctions basiques sur (M, .~’~.
un
module
sur
On considère maintenant (E,
et (F,
deux F-fibrés sur M et
E --~ F un morphisme de fibrés vectoriels induisant l’identité sur M.
On dira que ~p est
un
morphisme
de
si
(E,VE)
(F,VF)
(L(E, F) ;V)
Il est clair que les morphismes de F-fibrés de
dans
s’identifient naturellement aux sections basiques du F-fibré
où V est la connexion basique définie par
pour tout X E
x(M), p E r(L(E, F))
et s E
r(E).
Soit E un fibre vectoriel complexe sur M muni d’une connexion basique
V et d’une métrique hermitienne notée ( 1 ) ; alors V induit d’une manière
naturelle une structure de F-fibré sur le fibré vectoriel complexe S(E)
sur M ayant pour fibre en un point x ~ M l’espace vectoriel des formes
sésquilinéaires sur la fibre Ex.
On dit que E est
est
basique
en
un
F-fibré hermitien si la métrique hermitienne ( ( )
1= -fibré S(E).
tant que section du
Par exemple si ~’ est un feuilletage riemannien, la structure riemannienne
et la connexion de Levi-Cevita transverses (cf. [Mo]) sur le fibre normal
induisent d’une manière naturelle une métrique hermitienne et une
connexion basique sur le complexifié
de
pour lesquelles
est
un
F-fibré hermitien.
1.3.
Opérateurs transversalement elliptiques
Considèrons deux F-fibrés E et F sur (M, ~’) et notons par
préfaisceau sur M qui à tout ouvert U C M associe l’espace
des sections basiques du :F-fibré Eu.
.~’sE
le
Un opérateur basique d’ordre m de E dans F est un morphisme de
préfaisceaux d :: .~’’s~
.~’sF noté tout simplement d : I‘(E/~’~
I‘(F/~’)
tel que sur tout ouvert U de M distingué pour ~’ et trivialisant E et F de
manière feuilletée, du s’ecrit sous la forme
---~
où pour tout k
-
0,..., m, Pk est un polynôme homogène de degré k en
dont les coefficients sont des fonctions basiques sur U à
valeurs dans l’espace des matrices complexes à rang(F) lignes et rang(E)
colonnes ;; yl , ... , yq étant les coordonnées transverses à ~’ sur U (voir ~Ek~
pour plus de détails).
~/~y1,
...
Soit d
=
, ~/~yq
opérateur basique d’ordre m de E dans F ; pour un point a; E M
et un covecteur basique ~~ E
on définit le symbole principal de d en
~~ comme étant l’application linéaire cr~(~.c) :: E~
F~ définie pour tout
un
--~
Ex
par
où du est la restriction de d à un voisinage ouvert U de x distingué pour
~ et trivialisant E et F (toujours de manière feuilletée), ~p est une fonction
basique sur U vérifiant p(z) = 0 et dcp(x) _ ~~ et s est un élément de
tel que s(x) =
On montre sans peine que
ne dépend
matrice de
pas du choix de U, cp et s et que si ~~ =
par rapport aux repères locaux sur U est égale à P~ (~~, ... , ~~ ) ..
On dit
que d
phisme pour tout
on dira que d est
nul dans
est transversalement
elliptique, si
nul dans (v~~’)*. Lorsque E
~~
fortement transversalement elliptique
est défini positif.
non
=
isomorF et d d’ordre pair,
si pour tout ~~ non
est
un
Si ~’ est le feuilletage par points, la notion d’opérateur différentiel basique transversalement elliptique coïncide avec celle d’opérateur différentiel
elliptique au sens usuel.
1.4.
Décomposition
Si
fibré
(M, F)
de
Hodge basique
est T.P. de fibration
hermitien,
pour
basique x:
M
-
W et E
chaque w E W on note par Ew l’espace
basiques du F-fibré hermitien
des sections
l’union
i)
ü)
disjointe
E est
On
sur
un
w~W Ew
.
Il
fibre hermitien
a un
isomorphisme
r(E)
défini par
a
été démontré dans
sur
W
naturel
Fvectoriel
et par E
un
que :
(appelé fibré utile associé à E),
de C~(W)-modules 03A8E de
de
plus la mesure canonique sur M induit une mesure sur W qui
permet de définir un produit scalaire sur r(E) pour lequel W E est un
isomorphisme d’espaces préhilbertiens,
iii) pour tout opérateur basique
un opérateur différentiel de E dans F. De
d est transversalement elliptique.
est
Si
(M, 0)
plus, d
est
elliptique
si
riemannien transversalement orienté, on note
M le SO(q)-fibré principal des repères orthonormés
toujours p
directs de
et ~~ le feuilletage T.P. sur M# relevé de F dont la fibration
basique est notée M# ~ W.Si E est un F-fibré hermitien sur M et E# le
fibré sur M~ image réciproque de Epar p, on a (cf. [Ek]) :
::
est
M~
un
feuilletage
-
iv) E~ est à la fois un
v) l’action de SO(q) sur
hermitien et
un
SO(q)-fibré,
le fibré jE~ -~ M~ induit une action sur le
fibré utile E~ --~ W et en fait un SO(q)-fibré vectoriel muni d’une
métrique hermitienne SO(q)-invariante,
vi)
l’anneau
de classe C°’°
s’identifie à l’anneau
qui
sont constantes
est
des éléments
sur
des fonctions
les orbites de
isomorphe
SO(q)
sur
W et le
aux
SO(q)-invariants respectivement de
/~’# ) et r
vii) Si
d ::
elliptique,
ment
est
--~
opérateur basique transversaleopérateur basique SO(q)-invariant
tel que l’opérateur différentiel df est
alors il existe
df:
elliptique dans la
et le diagramme
un
un
-~
"direction transverse"
aux
orbites de
SO (q)
sur
W
,
où les flèches verticales sont des
a le théorème suivant.
THÉORÈME . Le sous-espace
isomorphismes,
Ker(d)
est commutatif. On
est de dimension
finie
et
on a une
décomposition orthogonale
:
Voir
[Ek]
pour la démonstration de
1.5. Nombre de Lefschetz
Soit
pour
ces
résultats.
basique
(Ei)ozN une suite de r-fibrés hermitiens sur M; supposons donné
chaque
i
=
0,
...
,N
-
1
un
opérateur basique d’ordre
m
Nous supposerons que les di sont tels que di+1di = 0; ce qui signifie que
la suite d’espaces vectoriels et d’applications linéaires
définit
sur la somme directe de ces espaces une structure d’espace différentiel
gradué
(S, d) dont la cohomologie sera notée H * ( ~ )
(r(EZ/~)
.
Pour tout x ~ M et pour tout
,
des di vérifient
cations linéaires
est
exacte,
d’ordre
on
m sur
(03BEx)
dira que
(M, ~).
_.
o
(~, d)
03BEx
_,_
=
est
les
E
_
,
symboles principaux
_,_
0. Si pour tout
un
0 la suite
d’appli-
complexe transversalement elliptique
1
Remarquons qu’un complexe transversalement elliptique avec N
transversalement
qu’un opérateur
elliptique.
Un des exemples importants de complexes transversalement elliptiques
d’ordre un est le complexe {~* (M/~~, d~ des formes basiques sur M, qui
est formé par les F-fibrés hermitiens Ei
complexifiés des fibrés
=
n’est rien d’autre
=
des i-covecteurs transverses à F.
Si
(~, d)
tique d’ordre
est
est
_
m sur
(M, F)
un
transversalement
0,..., N le laplacien
complexe
alors pour tout i
=
ellip-
opérateur basique d’ordre 2m auto-adjoint vérifiant :
est de
i) 02 est fortement transversalement elliptique et donc
dimension finie ;
est un isomorphisme et
ü) l’application canonique Ker (i)
un
--~
par suite
est de dimension finie
(cf.
théorème
1.4).
On peut donc donner la définition suivante.
DÉFINITION . On appelle nombre de Lefschetz basique d’un endomor-
phisme T
plexe donné
=
où Tr
la
sur
(Ti)0iN de l’espace différentiel gradué (~, d) le nombre
désigne la trace
cohomologie Hz (~~
Lorsque
com-
par lâ formule
de
l’application linéaire
induite par T
.
T est l’identité I de
(~, d),
on a
qui n’est rien d’autre que la caractéristique d’Euler-Poincaré (ou l’indice) de
(S, d) ;dans le cas particulier où N 1, (~*, d) est formé d’un seul opérateur
transversalement elliptique do :
et on a
=
-~
c’est l ’indice de
l’opérateur do.
Dans ce qui suit nous allons nous intéresser aux nombres de Lefschetz
de certains endomorphismes particuliers dits géométriques, qu’on définit
de la manière suivante : on se donne f et
où f: M --> M
application qui respecte 0 et telle que pour tout point x dans
M la différentielle
induit un isomorphisme
:
qui
préserve les orientations et pour tout i 0,
N,
f* Ei
Ez est un
morphisme de F-fibrés qui induit l’identité sur la base ; puis on définit pour
chaque i 0,
N un endomorphisme Tz de
par :
est
une
--~
=
=
--~
...
... ,
V s E
E M. Si la famille T
vérifie
diTi Ti+1di
endomorphisme géométrique
de (e, d); pour un tel endomorphisme, l’application f induit une application
MU
Mf qui à un repère orthonormé direct z~ en x E M associe le
en
repère orthonormé direct f
E M où
fo
désigne
pour tout i
=
0,
... ,
N,
on
=
dira que T est
=
un
-->
=
l’orthonormalisation de Schmidt. On vérifie que ::
i) f ~ est une application de classe C°° qui respecte le feuilletage
qui induit une application de classe C°’° / :W - W ;;
ü)
les
morphismes
induisent d’une manière naturelle des
0f
et
morphismes
tels que les
sont des morphismes de 0f-fibrés ; de plus ces deux
familles de morphismes définissent des endomorphismes géométriques
T ~ et T ~ pour les complexes respectifs :
sont tels que le premier est elliptique dans la "direction horizontale" transverse à
et le second est elliptique dans la direction
transverse aux orbites de SO(q) sur W.
qui
Le
complexe (~, d) s’identifie
ments invariants du
fibrés
Ei#
et les
au
sous-complexe
SO(q)-complexe
d#)
sur
opérateurs différentiels invariants
des éléW formé par les
dfl, c’est-à-dire,
SO(q)-
commu-
l’action de SO(q). On est donc amené à étudier le nombre de
Lefschetz invariant sur une G-variété.
tant
avec
2. Nombre de Lefschetz invariant
G-variété
sur une
Soit G un groupe de Lie compact agissant à droite d’une manière différentiable sur une variété W compacte connexe orientée de dimension k. On
munit W d’une métrique riemannienne G-invariante ; la forme volume w
associée est alors G-invariante.
DÉFINITION 2.1.2014 Une structure de G-fibré,
plexe
03C0E
:
E
que pour tout g E
i)
ii ) pour
Si E est
tout
un
E
x
W,
G-fibré
g est
sur
,fibré vectoriel com-
un
isomorphisme linéaire
de E~
sur
E telle
sur
W, l’action de
r(E) de la manière suivante
par :
sur un
W, est la donnée d’une action à droite de G
G, on a :
~
G sur E induit une action de G sur
: pour g E G et s E F(E), on définit s . g E r(E)
.
Les sections s E
Leur ensemble est
un
Considérons un
dans un G-fibré F
sur
F(E) qui vérifient
s.g
=
s,
Vg
sous-espace vectoriel de
opérateur différentiel
d:
E G sont dites invariantes.
r(E)
F(E)
noté
-~
r G (E).
r(F) d’un
G-fibré E
W.
DÉFINITION 2.2.2014 On dit
que
l’opérateur d
est G-invariant si
g.d
=
d. g
pour tout g E G
.
Un tel opérateur envoie les sections invariantes de E dans les sections
--~
invariantes de F et induit donc un opérateur dG
rG(F).
Dans toute la suite de ce paragraphe, chaque G-fibré E sera muni d’une
métrique hermitienne G-invariante notée (~ ), l’espace vectoriel r(E) sera
alors muni de la structure préhilbertienne définie par le produit scalaire Ginvariant défini pour a, Q E r(E) par
THÉORÈME 2.3
~Ek~.
G-invariant agissant
Si d : r(E) --~
est un opérateur elliptique
les sections d’un G-fibré hermitien E sur W,J alors
--;
induit par d est tel que :
-
sur
l’opérateur dG :
i~ Ker dG est de dimension finie ;
ii) on a la décomposition orthogonale ::
Soit maintenant
(~, d)
=
-
un
d’opérateurs différentiels G-invariants (supposés d’ordre 1
l’exposé)
entre G-fibrés hermitiens
DÉFINITION 2.4. - On dira
pour tout covecteur
V A
E g) la
~~
suite des
E
T~ W
que
non
sur
pour
complexe
simplifier
W.
(~, d) esi transversalement elliptique si
nul et transverse (c ’est-à-dire
=
0,
symboles
est ezacte.
Les
:
induits par les di forment
opérateurs
un sous-complexe
de
dont
la
dG) (~, d)
cohomologie sera notée
et sera appelée la cohomologie G-invariante de (~, d). Pour les opérateurs
laplaciens
-
les
propriétés suivantes.
i) OZ est un opérateur différentiel positif, auto-adjoint et G-invariant.
ü) ~i est fortement transversalement elliptique, c’est-à-dire, le symbole
de ~Z en un covecteur transverse ~x E T~ W est un automordéfini
phisme
positif de la fibre
est une base de l’algèbre de Lie g de G et si
iii) Si
pour tout ~ = 1, ...., dim G, L A, :: r(Ei)
r(Ei) est l’opérateur
on a
-
différentiel d’ordre 1 défini par :
alors
opérateur différentiel positif, auto-adjoint, G-invariant, nul sur
fortement elliptique dans les directions tangentes
l’espace
aux orbites de G sur W et est tel que l’opérateur Di
0394i + Qi est
fortement elliptique.
est
un
=
iv)
En prenant les moyennes sur le groupe G des éléments d’une base
orthonormée de vecteurs propres de Di on obtient un système de
générateurs pour rG(E2) dont on peut extraire une base orthonormée
de réels positifs ou nuls vérifiant
avec une suite
Cette
décomposition spectrale
opérateur intégral
de
nous
permet de définir
un
par :
Notons Ki =
sur Ker
G2, Hi la pro jection orthogonale de
et pi la projection orthogonale de r(EZ) sur 0393G(Ei) qui n’est rien d’autre
que le projecteur défini par:
On
a
alors le lemme 2.5.
LEMME 2.5
et donc
Démonstration
D’autre part
Ce
ii)
qui
prouve
Soit
s
E
qu’on
a
r G(Ei);
bien
on a
diGi
=
Gi+ldi
sur
rG(Ei).
iii)
On
pour tout s E
a
d’après (i) ;
r(Ei)
d’où
d’aprés
Dans la suite, si E et F sont des fibrés hermitiens
différentiel de E dans F, on notera :
2014 F~ le fibré E* ®
avec
le
W et d
un
opérateur
tensoriel du dual de E
du fibré des k-covecteurs de W.
sur
complexifié
sur
W
produit
F le fibré
sur W x W produit tensoriel externe de
®
et ~r2 étant la première et la deuxième projection de
F
W x Wsur W).
E
avec
.
-
*
l’isomorphisme
de fibrés vectoriels défini de E
étant
(u~
- tr le
sur
l’image de uz par l’isomorphisme naturel
morphisme de fibrés vectoriels défini de E ® E~
E’
par
de E
dans
sur
E*).
~~ C
par
2014 ~ :
r(F~)
-->
pour tout s E
r(E’) l’opérateur
r(E)
et tout t E
différentiel défini par la relation
r(F’).
La densité de
dans
opérateurs
®
par
t E
t~
=
dis
bi(s ® t~
® t et
=
I‘(Ei ® EZ+1 )
s
®
dit
permet de définir des
pour tout
s
et tout
E
I‘(Ei+1 ).
Pour
où hi
et
ki
s
E
et x E
W,
est la section C°° de
est la section C°° de
on a
Ei
Ei donnée par
Ei-1 E’i définie sur l’ouvert
O
par :
O
Les sections
hi et ki
opérateurs intégraux HZ
sont
et
respectivement
le lien entre
les noyaux de Schwartz des
noyaux est donné par les
ces
relations
qui
sont vérifiées pour tout
lemme 2.8).
couple (x, y)
E W
x
W tel que
x
~ G(y) (cf.
Considérons maintenant des champs
W tels que pour toute 1-forme ~ E
sur
Xl , ...Xl et des 1-formes ~1, ... , ~t
nI (W) on ait:
(on les construit sans peine à l’aide d’un
d’une partition de l’unité sur W).
LEMME 2.6
ouvert V C W
sur
0-1 (~),
Soient
tique
sur
[To].2014
W,
x
,
0 : W
(~, d~
telles que
Pour toute section
a
de
E2_1 ®
Ei
et
au-dessus d’un
on a
---~
W
x
W étant
=
W et T
système de coordonnées locales
l’application diagonale.
G-complexe transversalement ellipfamille d’applications linéaires
un
=
diTi
Ti+1di
d’applications linéaires
=
une
pour tout i
=
0, 1,
...
, N, alors la famille
définies par ::
forment
un endomorphisme TG: (~G,
dG)
gradué (~G, dG)
(rG(Ei),
N un endomorphisme
0, 1,
=
~
-~
et
(~~, dG) de l’espace différentiel
on a
donc pour
chaque
i
=
~
...,
de l’espace vectoriel de dimension finie
définition suivante.
.S~(~).
On peut donc donner la
DÉFINITION 2.7.
-
On
appelle nombre de Lefschetz G-invariant de
T le
nombre
Remarquons
que
lorsque
T est l’identité I de
(~, d)
est la
caractéristique d’Euler-Poincaré du complexe différentiel (~G, dG) et
plus N
1, (~, d) est formé d’un seul opérateur G-invariant do de
dans
I‘ ( Eo )
r(El) induisant un opérateur de Fredholm (cf. [At])
si
en
=
on a
qui n’est
autre que l’indice de
l’opérateur
Dorénavant on s’intéressera au cas où l’endomorphisme T est géométrique, c’est-à-dire défini de la manière suivante : on se donne une application de classe C°°
et
une
famille de
induisant l’identité
Pour
un
tel
de fibrés vectoriels
morphismes
sur
W, puis
endomorphisme,
LEMME 2.8. - Pour tout
on
définit les
nous avons
couple
désigne l’endomorphisme
identité.
.
par ::
le lemme 2.8.
E W
on a
où I
Ti
x
W tel que
~ G(y),
Soit U un voisinage G-saturé de y ne contenant pas
Démonstration.
et soit s une séction de Ei à support dans U; on a (cf. lemme 2.5)
-
donc
soit
Ceci étant vrai pour toute section s à support dans
U;
on a
Si C( fG) désigne l’ensemble des points de coïncidence de f avec G, c’està-dire l’ensemble des points x E W tels que x est un point de coïncidence
def avec un élément de G ::
on a
le théorème 2.9.
THÉORÈME 2.9.2014 Il eziste
telle que
se
prolonge
une
en une
forme différentielle
forme globale 03A6
E
vérifiant
Démonstration.
Pour tout
nous avons (cf. lemme
2.8) :
-
Or
l’expression
(cf.
lemme
Et
en
2.7) ;
posant
couple (z y~
E W
entre crochets dans cette dernière
donc
sur
W -
C( f, G)
on a
x
W tel que
sommation,
~ G(y) ,
est
égale
à
on a bien
En effet
COROLLAIRE 2.10.- Si l’application
coïncidence avec G, alors LG(T) = 0
f
ne
possède
pas de
point de
.
3. Ret our
Soit 7
un
feuilletage
aux
feuilletages
riemannien transversalement orienté de dimension
p et de codimension q sur une variété M compacte connexe orientée
de dimension p + q. On supposera que M est munie d’une métrique
riemannienne quasi-fibrée pour laquelle toutes les feuilles de 7 sont des sousvariétés minimales ; une telle métrique existe si et seulement si
0 (cf. [Ma]). Le feuilletage ~’ sera orienté de telle façon que les orientations
de 1= et de v7 induisent l’orientation considérée sur M. On désignera par
v E
la forme volume basique de .~’ et par x~ E
la forme
= *v où * :
de
F
est
donnée
caractéristique
qui
par
est l’opérateur de Hodge associé à la métrique riemannienne sur M. Il est
démontré dans
est
équivalente
[Ru]
que la condition de minimalité pour les feuilles de 7
à
Si p :: Af~ --~ M est le SO(q)-fibré principal des repères orthonormés
directs de v7 et
le feuilletage relevé de .~ qui est T. P. de codimension
=
sur
Af~
q + n
(n q(q - 1)/2 étant la dimension de SO(q)) dont la fibration
--~
W ;la structure riemannienne sur v7’ définit
basique est notée 1r
une métrique riemannienne SO(q)-invariante sur W ; de plus si e désigne
la forme différentielle basique et fermée sur M~ induisant la forme volume
basique sur chaque fibre de 03C0 (cf. [Ek], on peut supposer que W est orientée
de telle façon que si cv est la forme volume de W,la forme ~* (w) /~ e et la
forme volume basique 03BD# de F# définissent la même orientation transverse
--~ W est orientée
par
pour ~~ ; dans ces conditions si la fibration 1r
A p*(x,~), les orientations produit locales définies sur M~
la forme
par les fibrations orientées p et 03C0 seront les mêmes.
Considèrons maintenant une application de classe COO, f: M --~ M qui
respecte le feuilletage F, un F-fibré hermitien E sur M et un morphisme de
F-fibrés 03C6
f* E ~ Ele fibré f*E étant muni de la structure de F-fibré
hermitien image réciproque par f de celle de E. On note T l’endomorphisme
de I‘(E/~) qui à une section basique s de E associe la section basique T(s)
de E définie par
Si ~" est T. P. de fibration
commutatif
basique
W étant
~ ::
M
-~
W alors
le
diagramme
Coo induite par
défini par
l’application
f E --~ ~ le morphisme de fibrés vectoriels
on a
f
et
Si ~ n’est pas nécessairement T. P., on suppose que f: M --~ M est une
:
application telle que pour tout z E M l’application
induite par dfz est un isomorphisme qui préserve les orientations. Dans ce
: M# - M# qui respecte
et qui
cas f se relève en une application
-~
W
induit
induit une application de classe COO f
Wle morphisme cp
un morphisme de :F- fi brés vectoriels
de la manière suivante : pour un élément
au-dessus d’un repère transverse
on
(zz
dans la fibre de
E
en un
point x
M,
E
pose
PROPOSITION 3.1. - L’endomorphisme fi~ de
ci-dessus à partir de
et de
préserve les sections
invariantes (même si ff n’est pas équivariante).
Démonstration. Si
où
a
est
une
E
application
E~
donc :
On
a
Or
nous avons
,
s
est
de
cx(zx ~ g~
un
élément de
M’dans
=
,
défini comme
basiques SO(q)-
on
peut écrire
E vérifiant :
bx E M
,
z~ E
g E
SO(q~ .
.
Il existe donc
un
élément go E
SO(q)
tel que
d’où
T~ (s)
et par suite
Dans
ce
cas,
est
invariante. 0
l’endomorphisme
défini
n’est rien d’autre que la restriction de TU à
On a donc le diagramme commutatif :
Considérons maintenant
un
dans la section 2,
des sections invariantes.
comme
l’espace
complexe transversalement elliptique
avec un endomorphisme géométrique T
l’applicationf et d’une famille de morphismes de
=
l’identité
Dans
sur
ce cas
forment
un
défini à l’aide de
:F-fibrés (induisant
M)
les
applications linéaires
endomorphisme Tf
du
SO(q)-complexe
tique
transversalement
,
,
,
/
/-,
-,
ellip-
tel que le
diagramme (dont
les Sèches verticales sont des
isomorphismes)
commute ; d’où la proposition 3.3.
C f l’ensemble des points z E M tels que x et , f (x ) appartiennent
même adhérence de feuille de .~’ ; on vérifie aisément que C f n’est
Notons
à
une
autre que le
compact
p~ 7r’~
THÉORÈME 3.4. - Il existe
d’I!
se
De
plus
prolonge
en une
ne
une
(q-1~-forme basique sur M-C f
forme différentielle globale
dépend
03A6 E
telle que
vérifiant
que de la classe de ~ dans
Démonstration.
Il existe
formes différentielles 03A8 E
-
, SO(q~~ de M.
(cf.
théorème 2.9 et
(w-c(I,SO(q)))
proposition 3.3) des
et 03A6 E
telles
que
Posons
(où ~ désigne l’intégration suivant la fibre et e la forme fermée sur
induisant la forme volume basique sur chaque adhérence de feuille de
Alors sur M C’y, on a d’une part,
-
M~
et, d’autre part,
Une
conséquence immédiate
COROLLAIRE 3.5.- Si f
= 0.
feuille de .~’ alors
Dans le
rentiel
cas
de
ne
ce
théorème est le corollaire 3.5.
fize (globalement)
dans
vérifiant
De
plus ~~~ coïncide avec la classe d’Euler de
points. Ceci justifie donc la définition 3.6.
DÉFINITION 3.6. - La classe
~~~
de
M si ~ est le
feuilletage
associée par le théorème
3.3 à
sera
adhérence de
particulier de l’endomorphisme identité du complexe difféd) des formes basiques sur M, nous avons une classe de
cohomologie basique ~~~
par
aucune
l’endomorphisme identité du compleze des formes basiques
appelée classe d’Euler basique de (M, .~’)
sur
M,
.
Ce travail m’a été proposé par A. El Kacimi. Tout le long de son
élaboration il n’a cessé de me guider et me prodiguer conseil. Je l’en
remercie.
Références
[At]
[AB]
ATIYAH (M.F.) .
Lecture Notes in
Elliptic operators and compact
Math., 401 (1974).
2014
ATIYAH
groups,
A Lefschetz fixed point formula for elliptic
(M.F.) and BOTT (R.) .
complexes, I, II,
Ann. of Math., 86 (1967) pp.347-407; 88 (1968) pp. 451-491.
EL
KACIMI ALAOUI (A.) .
Opérateurs transversalement elliptiques sur un
[Ek]
feuilletage riemannien et applications,
Composito mathematica, 73 (1990) pp. 57-106.
2014
2014
[GM]
GORESKY
(M.)
and MCPHERSON
(R.) .
2014
Lefschetz fixed
point formula
on
singular spaces,
Conference au Congrès Singularités, Lille, (juin 1991).
[KT]
KAMBER (F.) and TONDEUR (P.) .2014 Foliated bundles and characteristic classes,
Lecture Notes in Maths Springer-Verlag, 493 (1975).
[Ma]
MASA
[Mo]
MOLINO
Duality and minimality in Riemannian foliations,
(J.) .
Preprint Universidad de Santiago de Compostela (1990).
2014
(P.) .
2014
Riemannian foliations,
Progress in Math., 73 (1988).
[Ru] RUMMLER .2014 Quelques notions simples en géométrie riemannienne et leurs applications aux feuilletages compacts,
Comment. Math. Helvetici, 54 (1979) pp. 224-239.
TOLEDO
On the Atiyah-Bott formula for isolated fixed points,
[To]
(D.) .
2014
J. differential geometry, 8
(1973) pp.
-
401-436.
131 2014