Formulaire Univarié

Université PARIS DESCARTES Licence de Psychologie L1 ADP1- Resp : Mireille LAGARRIGUE page 1/5
NOTATIONS ET FORMULAIRE
PROTOCOLE SUR U ECHATILLO
Ensemble des n sujets de l’échantillon
S = { s1 ; s2 ; ….; sn }
(1)
Variable aléatoire
S→X
(2)
(3)
Modalité observée de X pour un sujet i : xi
Protocole: ensemble des observations
{(s1, x1);(s2, x2);……….;(sn, xn)}
(4)
Protocole équipondéré: les observations ne sont pas regroupées, xi.a un poids absolu = 1
Protocole pondéré: distribution d’effectifs, la valeur xi est observée ni fois (poids absolu ni )
PROTOCOLE UIVARIE CATEGORISE (variable à k modalités)
nk
(5)
fk = nk / n
(6)
Effectif observé pour modalité n° k
Fréquence de la modalité n°k :
PROTOCOLE UIVARIE UMERIQUE DOE PAR ITERVALLES
Variable donnée par intervalles :
Amplitude de l’intervalle [a ; b] :
Densité d’un intervalle :
(7)
(8)
b–a
densité = effectif / amplitude
PROTOCOLE UIVARIES UMERIQUES DISCRETS PODERES OU O
Rang du quantile qα d’ordre α (une proportion α de sujets a un score ≤ qα)
Rang = α n + ½
(9)
q1 = 1er quartile α= ¼
Médiane :α = ½
q3 =3ème quartile α= ¾:
Poids relatif ou fréquence de la valeur xi
1
en équipondéré (série de valeurs) souvent noté aussi
n
n
pi = i en pondéré (distribution d’effectifs) souvent noté aussi
n
pi =
1
n
ni
fi =
n
fi =
(10)
(11)
Moyenne d'un protocole
m = x =
∑
p i x i = p 1 x 1 + p 2 x 2 + ... + p n x n
(12)
i∈ I
Etendue =
Max – Min
EIQ = q3 – q1
(14)
EAM = ∑ pi xi − m
(15)
Ecart inter quartile
EAM
(13)
i∈I
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Contribution absolue de i à la variance
Ctai = pi (xi – m)2
(16)
Variance « variance population »)
Var = σ 2 = ∑ Cta i = ∑ p i ( xi − m) 2
i∈I
(17)
i∈I
Contribution relative à la Variance
Ctri = Ctai / Var
(18)
Ecart-type ("Ecart-type population")
(19)
σ= Var
ECART A LA MOYEE, ECART CETRE-REDUIT
Ecart à la moyenne de l'individu i (variable centrée)
(20)
Ei = xi – m
Ecart-réduit de l’individu (variable centrée-réduite)
zi = x i − m
(21)
σ
COMBIATOIRE
Coefficients binomiaux
n
n!
C np =   =
= nCp
p
p
!
(
n
−
p
)!
 
par la calculette
(22)
PROBABILITES
Probabilité fréquentiste: P(A) = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles
P(A∩ B)
P(B)
(23)
Probabilité conditionnelle
P(A/ B)=
Evènements indépendants
P(A∩B) = P(A) x P(B)
(25)
C'est-à-dire P(A/B) = P(A)
(26)
(24)
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TEST DE TYPICALITE – DISTRIBUTIOS D’ECHATILLOAGE
Distribution d’échantillonnage d'une moyenne (DEM)– Propriétés
Effectif
Moyenne
Ecart-type
N
µ
σ
POPULATIO DE
REFERECE
Echantillon observé
DEM (variable M)
n
Eff (M)
m
Moy (M)
Ety
Ety (M)
Moy ( M ) = µ
Moyenne:
(27)
(Théorème des 3 moyennes: "La moyenne de la distribution d'échantillonnage de la statistique
Moyenne est égale à la moyenne parente")
Ety ( M ) =
Ecart-type (D fini):
σ
n
1 −n
1 −1
(28)
n
σ
petit)
(erreur-type de la moyenne)
(29)
Ety( M ) =
1
n
Forme – Théorème de la Limite Centrale
Pour une distribution de référence quelconque, la forme de la distribution d'échantillonnage de la
moyenne se rapproche de la forme normale lorsque n croît, et cela d'autant plus que la
distribution de référence est symétrique et est proche d'une distribution normale.
Ecart-type (D infini ou
Distribution d'échantillonnage d'une proportion (ou fréquence) (DEF)– Propriétés
POPULATIO DE
REFERECE
Echantillon observé
DEF (variable F)
Moyenne:
Proportion
ϕ
n
Eff (F)
f
F
Moyenne
Ecart-type
Moy(F)
Ety (F)
Moy( F ) = ϕ
(30)
Ety ( F ) =
Ecart-type (D fini):
Ecart-type (D infini ou
Effectif
N
n
petit)
1
ϕ (1 − ϕ )
n
Ety ( F ) =
1 −n
1 −1
ϕ (1 − ϕ )
n
(31)
(32)
Forme
La proportion F de l’échantillon, suit approximativement une loi normale de moyenne ϕ et d’écart
type Ety(F).
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TEST Z - IFERECE
SUR UE MOYEE (σ
σ COU)
σ
Ety( M ) =
mobs − µ
zobs =
TEST Z - IFERECE
(34)
Ety (M )
SUR UE FREQUECE (OU PROPORTIO)
Ety F =
zobs =
(33)
n
ϕ (1 − ϕ )
(35)
n
f obs − ϕ
Ety F
(36)
ESTIMATIO POCTUELLE – VARIACE ET ECART-TYPE CORRIGES
Dotations de la DEM
POPULATIO
PARETE
Echantillon observé
DEM (variable M)
Effectif
N
Moyenne
µ
Variance
σ²
Ecart-type
σ
n
Eff (M)
m
Moy (M)
Var
Ety
Ety (M)
Estimateur sans biais de µ la moyenne parente :m la moyenne de l'échantillon (moyenne
empirique)
(37)
Estimateur sans biais de σ2 la variance de la population parente:
la variance corrigée: s 2 =
n
Var
n −1
s=
d'où l'écart-type corrigé
n
Ety
n −1
où Var est la variance de l'échantillon
où Ety est l'écart-type de l'échantillon
IFERECE SUR UE MOYEE (σ ICOU)
On estime σ par l’écart-type corrigé s de l’échantillon
Si n≥300 on utilise le test Z
Si n <300 on utilise un test de Student avec comme degré de liberté ddl = ν = n-1
Ety( M ) =
tobs =
s
(40)
n
mobs − µ
Ety (M )
(41)
(38)
(39)
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ESTIMATIO PAR ITERVALLE DE COFIACE DE LA MOYEE µ [RESP. DE
LA PROPORTIO φ] DE LA POPULATIO PARETE
Dotations de la DEM [resp. de la DEF]
Exemple:
Dire que l'on attribue au fait que µ [resp. φ] appartienne à [0,56 ; 0,64]
le niveau de confiance 1 – α = 0,95 = 95% signifie :
que pour ces valeurs de µ [resp. φ], l'échantillon est typique au seuil bilatéral α = 0,05, que
l’hypothèse nulle selon laquelle µ [resp φ] est dans cet intervalle ne serait pas rejetée, que le test
(Z ou t selon les cas) de cette hypothèse nulle serait non significatif
Intervalle de confiance au seuil α bilatéral de la moyenne µ, (σ connu)
‫ݖ‬ఈ/ଶ désigne la valeur de z au seuil unilatéral α/2
[m - zα/2. σ/√n ; m + zα/2. σ/√n ]
(42)
Intervalle de confiance au seuil α bilatéral de la proportion φ
‫ݖ‬ఈ/ଶ désigne la valeur de z au seuil unilatéral α/2
[ f − zα / 2
f (1 − f )
; f + zα / 2
n
f (1 − f )
]
n
(43)
Intervalle de confiance au seuil α bilatéral de la moyenne µ, (σ inconnu estimé par s)
‫ݐ‬ഀ,௡ିଵ désigne la valeur de t au seuil unilatéral α/2, degré de liberté n-1
మ
[m - tα/2, n-1. s/√n ; m + tα/2, n-1. s/√n ]
(44)
IFERECE SUR UE REPARTITIO DE FREQUECES (OU PROPORTIOS)
Distribution d’effectifs observés : ( nk ) k∈K sur un ensemble à K modalités
n=
Effectif total
∑n
(45)
k
k =1àK
Fréquences observées
݂௞ =
Distribution de fréquences théoriques:
Effectifs théoriques:
Test :
χ
2
obs
௡ೖ
(46)
௡
(ϕ
k
nˆ k = n ϕ
)
k = 1 àK
k
(nk − nˆ k ) 2
(obs − théo) ²
= ∑
=∑
ˆ
n
théo
k =1àK
k
Degré de liberté:
ddl = K - 1
(47)
(48)
(49)
(50)