Exercice 4 (S) Dans tout l’exercice, ABC est un triangle équilatéral dont le cercle circonscrit 1 de centre O est de rayon 1. On appelle corde de 1 tout segment dont les extrémités sont deux points de 1 . Le but de l'exercice est de comparer différentes façons de calculer, lorsqu’on trace au hasard une corde de 1 , la probabilité que sa longueur soit supérieure ou égale à BC. 1. Déterminer la longueur BC. 2. a. Montrer que pour tout point M, distinct de O, situé à l'intérieur du cercle 1 , il existe une unique corde de 1 ayant M pour milieu. b. Soit 2 le cercle inscrit dans le triangle ABC. M1, M2 et M3 sont trois points à l’intérieur de 1 tels que : M1 est un point situé sur 2 , M2 et M3 sont respectivement à l'intérieur et à l'extérieur de 2 Sur la figure donnée en annexe, construire les cordes de 1 ayant pour milieux respectifs M1, M2 et M3. Comparer la longueur de chacune de ces trois cordes avec la longueur BC. c. On choisit au hasard un point M distinct de O et à l'intérieur du cercle 1 . Quelle est la probabilité que la corde de milieu M ait une longueur supérieure ou égale à la longueur BC ? 3. Cordes et un premier algorithme. Soit D le symétrique de A par rapport au centre O de 1 . On considère l'algorithme (1) ci-dessous: Algorithme (1) Initialisation 𝑘 = 0 ; 𝑛 = 10 Traitement Pour 𝑖 allant de 1 à 𝑛 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 𝑛 Tracer la corde [𝑁𝑖 𝑃𝑖 ] passant par 𝑀𝑖 et perpendiculaire à (𝐴𝐷) Calculer la distance 𝑁𝑖 𝑃𝑖 Si 𝑁𝑖 𝑃𝑖 ≥ 𝐵𝐶 alors 𝑘 prend pour valeur 𝑘 + 1 Fin Pour Placer le point 𝑀𝑖 tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀𝑖 = Sortie Afficher 𝑘 𝑛 Figure 1 a. Quel nombre affichera cet algorithme ? b. On modifie l’algorithme en remplaçant l’instruction « n = 10 » par : « n = 100 », puis par « n = 1000 », puis par « n = 1 000 000 ». Quel nombre affichera cet algorithme dans chacun de ces cas ? c. On place au hasard un point M sur [AD] et on trace la corde de 1 de milieu M et perpendiculaire à (AD). Quelle est la probabilité p que cette corde soit de longueur supérieure ou égale à BC ? 4. Cordes et un second algorithme. Dans cette question la droite (AT) est tangente au cercle 1 . On considère l'algorithme (2) ci-dessous : Algorithme (2). Initialisation 𝑘=0 Traitement Pour 𝑖 allant de 1 à 99 ̂𝑖 = Placer le point 𝑀𝑖 de Γ1 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑇𝐴𝑀 𝑖 × 180° 100 Calculer la distance 𝐴𝑀𝑖 Si 𝐴𝑀𝑖 ≥ 𝐵𝐶 alors 𝑘 prend pour valeur 𝑘 + 1 Fin Pour Sortie Afficher 𝑘 99 Figure 2 a. Quel nombre affichera cet algorithme ? b. On choisit au hasard un point M sur le cercle 1 . Quelle est la probabilité que la longueur AM soit supérieure ou égale à BC ? 5. Conclusion: Peut-on définir la probabilité de choisir, parmi toutes les cordes d’un cercle, une corde de longueur supérieure ou égale à celle du côté du triangle inscrit dans ce cercle ? Annexe de l’exercice 4, à rendre avec la copie. Figure 3