Exercices : énergie du champ électromagnétique

MP 2016-2017
Parc des loges
Exercices : énergie du champ électromagnétique
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Modèle de Drüde et magnétorésistance
−
1. Faisant abstraction de l'agitation thermique, on note →
v la vitesse d'ensemble que prennent les porteurs
29 −3
de charges, de concentrations particulaire n ≈ 10 m , de charge q = −1, 6.10−19 C et de masse
→
−
m = 9, 1.10−31 kg sous l'action d'un champ électrique E . On suppose que l'action du réseau sur les
→
porteurs équivaut à une force de "frottement uide" de la forme : −k−
v où k est une constante.
→
−
a) Les porteurs sont initialement immobiles. On établit un champ électrique permanent E . Etablir
→
−
→
l'équation diérentielle veriée par −
v . On introduira deux constantes vl et τ à l'aide desquelles
on réécrira l'équation diérentielle.
−−→
b) Déterminer v(t) et interpréter physiquement l'introduction des deux constantes.
c) Montrer qu'en régime permanent, le modèle rend bien compte de la loi d'Ohm locale. Exprimer,
la conductivité γ0 . Calculer numériquement τ pour une conductivité γ0 ≈ 6.107 S.m−1 . Commenter.
→
−
→
2. On est toujours en régime permanent mais un champ magnétique B = B0 −
ez est appliqué au milieu.
a) Montrer que la vitesse des électrons obéit à l'équation :
→
−
−
→
−
→ −
→
nq( v + ωc τ v ∧ uz ) = γ0 E
où ωc est une constante que vous déterminerez.
−
→
−
→
b) Etablir un système d'équations liant les trois composantes de j et celles de E .
−
→
−
→
En déduire que le vecteur densité volumique de courant peut être écrit sous la forme : j = [γ] E
où [γ] est une matrice 3×3 que l'on explicitera en fonction de γ0 , τ et de la pulsation cyclotron ωc .
c) Le milieu occupe l'espace situé entre les plans x = 0 et x = a, sur une section S et est soumis à
une diérence de potentiel U0 = U(x = 0) − U(x = a).
−
→
Déterminer la résistance R0 du milieu en l'absence de champ B .
→
−
d) Montrer que la résistance R en présence du champ B est :
R = R0 (1 + (ωc τ )2 )
Comparer R et R0 pour B=1T.
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Bilan énergétique pour un conducteur ohmique
Un conducteur ohmique de conductivité γ , assimilé à un cylindre inni d'axe Oz et de rayon a est soumis
−
→
−
uz .
au champ électrique uniforme et permanent : E = E0 →
1. Déterminer le champ magnétique à l'intérieur du l.
−
→
2. Calculer le vecteur de Poynting Π puis son ux à travers un cylindre d'axe Oz , de hauteur h et de
rayon r ⩽ a.
3. Montrer qu'on retrouve le bilan d'énergie macroscopique en régime permanent.
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Charge d'un condensateur
Les armatures d'un condensateur plan, constituées de deux disques conducteurs, de surface S = πa2
et de rayon a, de meme axe Oz et séparés d'une distance e sont reliés à un générateur de fém U par une
résistance R. Initialement le condensateur est déchargé. A un instant quelconque où la tension à ses bornes
vaut V(t), ses armatures portent respectivement les charges q(t) = CV(t) et −q(t) où C = ε0 S/e est la
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Exercices : énergie du champ électromagnétique
capacité du condensateur. On néglige les eets de bord, de telle sorte qu'en coordonnées cylindriques le
champ électromagnétique dans le condensateur est en première approximation de la forme :
−
→
−
→
E = E(t)uz
→
−
→
et B = B(r, t)−
uθ
R
−q(t)
e
q(t)
U
On admettra qu'on peut négliger les eets de bord de sorte que le champ électrique est nul à l'extérieur du
condensateur.
1. En utilisant les lois de l'électrocinétique, déterminer V(t) et montrer que le condensateur reçoit au
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cours de l'opération une énergie UC = CU2 .
2
2. A un instant quelconque déterminer E(t) à l'intérieur du condensateur en fonction de q(t) . On choisira
une surface de Gauss qui contient uniquement l'armature portant la charge q(t).
dq
3. Déterminer de même B(r, t) en fonction de
en appliquant le théorème d'Ampère généralisé à un
dt
contour situé à l'intérieur du condensateur.
4. En déduire le vecteur de Poynting dans le condensateur, la puissance électromagnétique P reçue par
l'intérieur du condensateur, puis l'énergie électromagnétique Uem emmagasinée par le condensateur
au cours de sa charge (en utilisant le bilan macroscopique d'énergie EM). Comparer avec l'énergie UC
déterminée à la première question.
5. Retrouver Uem en utilisant la densité d'énergie électromagnétique uem dans l'état initial et dans l'état
nal et en négligeant l'énergie magnétique.
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Décharge d'une boule conductrice dans l'air
Une boule conductrice, de centre O et de rayon R, porte initialement la charge Q0 uniformément répartie
en surface. Elle est abandonnée dans l'air supposé légèrement conducteur, de conductivité γ . A l'instant t,
la boule porte la charge Q(t).
1. Déterminer le champ électrostatique à l'extérieur de la boule. En déduire la densité volumique de
−
→
courant j .
2. Montrer par symétrie que le champ magnétique est nul.
3. Montrer que la charge Q(t) obéit à l'équation diérentielle
γ
dQ
+ Q=0
dt
ε0
−
→
−
→
En déduire E (t) et j (t).
4. Calculer la puissance dissipée par eet Joule dans l'espace à l'instant t.
5. En déduire l'énergie totale dissipée dans le milieu. Vérier cette valeur à l'aide du théorème de
Poynting.
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