1 - Free

1
Nombres complexes
Forme algébrique
1. Les nombres complexes et leur représentation géométrique :
1.1. Introduction :
__________
Revisitons les ensembles de nombres en examinant ce que chacun a apporté à la résolution
des équations :
 : ensemble des entiers positifs. Dans  , l’équation x  3  0 n’a pas de solution
 : ensemble des entiers relatifs   . Dans  , l’équation 7 x  1 n’a pas de solution .
 : ensemble des nombres rationnels . C’est l’ensemble de tous les nombres qui peuvent
s’écrire comme quotient de deux entiers relatifs . Le développement décimal de ces nombres
est soit fini soit infini périodique .     
Dans  , l’équation x 2  2 n’a pas de solution .
 : ensemble des réels .  contient tous les nombres rationnels ainsi que tous les nombres dont
le développement décimal est infini et non périodique .       .
Dans  , les équations du second degré dont le discriminant est positif ont une ou deux
solutions mais celles dont le discriminant est strictement négatif n’ont pas de solution . Par
exemple l’équation x 2  1 n’a pas de solution dans  .
Comme a été inventé le nombre 2 pour apporter des solutions à l’équation x 2  2 , on
invente un nouveau nombre noté i qui a pour carré –1 .
Ce nombre étant créé, l’équation x 2  1 aura deux solutions : i et  i .
2
L’équation x 2  4 qui s’écrit aussi : x 2  2i  aura deux solutions 2i et  2i .
L’équation x 2  2 aura pour solutions :
2 i et  2 i .
1.2. Construction de l’ensemble des nombres complexes :
_
On cherche à construire un ensemble que l’on notera  qui contienne et le nombre i .On
souhaite de plus que cet ensemble possède les mêmes propriétés opératoires que  pour
l’addition et la multiplication .

Aussi, il devra contenir des nombres du type a  i , a  i , a  b  i
Additionnons deux nombres de cette dernière forme en convenant que les règles d’opérations
sont le mêmes que dans  , par exemple :
(5  7i )  (4  2i )  5  4  7i  2i  1  9i . On retrouve un nombre de la même forme .
Maintenant, multiplions-les :
(5  7i )  (4  2i )  20  10i  28i  14i ²  20  14  10i  28i  34  18i . Là encore, le
résultat obtenu est de la forme a  b  i . Ceci nous conduit aux définitions ci-dessous .
DEFINITION 1
On appelle ensemble des nombres complexes un ensemble que l’on notera  tel que :
1. Il existe dans  un élément noté i vérifiant : i 2  1 .
2. Tout élément de  s’écrit sous la forme a  ib avec a et b réels .
Les éléments de  sont appelés nombres complexes ou nombres imaginaires .
Notation : Un nombre complexe est souvent désigné par la lettre z .
Cas particuliers : Soit z  a  i b un nombre complexe avec a et b réels .
 Si b  0 , alors z est un réel . On retrouve ainsi que   .
 Si a  0, alors z  b i et on dit que z est un imaginaire pur . L’ensemble des
imaginaires purs est noté i.
DEFINITION 2
Dans cet ensemble , on définit une addition et une multiplication de la façon suivante :
Pour tous nombres complexes z et z’ de formes algébriques a  i b et a 'i b' ,
 on définit la somme de z et de z’ par : z  z '  (a  a' )  i (b  b' ) .
 on définit le produit z  z ' par :
z z '  (a  i b)(a'i b' )  aa'i ab'i a' b  i 2 bb'  (aa'bb' )  i (ab'a' b) .
1.2. Unicité de l’écriture d’un nombre complexe :
__________
PROPRIETE
Soit z  a  i b , a  , b  , un nombre complexe quelconque . Alors :
z 0  ab0
Démonstration :
 Si a  b  0 , il est évident qu’alors : a  b i  0  0  i  0
 Inversement, si z  0 , alors a  b i , d’où en prenant les carrés de chaque membre :
a ²  (b i )² ou encore : a²  b² . Or a et b étant des réels, a²  0 et  b²  0 ;
l’égalité précédente n’est donc possible que si : a²  b²  0 , ce qui implique que
a  b  0.
PROPRIETE
L’écriture d’un nombre complexe sous la forme z  a  i b , a  , b  , est unique .
Ceci s’écrit aussi :
Pour tous réels a, a’, b et b’, a  b i  a'b' i  a  a' et b  b' .
Démonstration :
Soit z un nombre complexe quelconque . Supposons qu’il existe quatre réels a, a’, b et
b’ tels que z  a  b i  a'b' i . On aurait alors : a  a'(b  b' )i  0 . D’après la
propriété précédente, ceci aurait pour conséquence : a  a'  b  b'  0 , soit a  a' et
b  b' . Ce qui prouve l’unicité de l’écriture de z sous la forme a  b i .
DEFINITION
L’écriture d’un nombre complexe z sous la forme z  a  i b , a  , b  s’appelle forme
algébrique de z .
Le réel a s’appelle partie réelle de z et se note Re (z )
Le réel b s’appelle partie imaginaire de z et se note Im( z )
1.3. Représentation géométrique d’un nombre complexe :
____
Rappel :
L’ensemble des réels est représenté par une droite muni d’un repère


 appelée
O; u 


droite des réels .
A chaque réel a correspond un point unique M de la droite des réels défini par l’égalité


vectorielle : OM  a u .
Inversement, à chaque point N de la droite des réels, on associe un unique réel b défini par


ON  b u .
a
b


u
O
M
N
Dans le même souci de donner un « visage » aux nombres complexes , on crée un lien entre
l’ensemble  et le plan . En effet une droite s’avère insuffisante pour représenter ces nombres
car pour chaque nombre complexe, il y a deux variables : la partie réelle d’une part et la partie
imaginaire d’autre part .
DEFINITION


On appelle plan complexe le plan rapporté à un repère orthonormé direct ( O ; u ; v )
A tout nombre complexe z de forme algébrique a  i b , on associe le point M de coordonnées
( a ; b) .
On dit que M est l’image du nombre complexe z et inversement que z est l’affixe du point M
Exemple :
y
Dans le repère ci-dessous, les points A, B,C, D, E et F ont pour affixes respectives :
2  3i , 3  i ,  1 2i , i , -i et 1 .
A
C
D
o
B
F
x
E
.
Notation : Si z est l’affixe du point M, on écrit : M (z)
Cas particuliers :
Soit M un point quelconque du plan complexe d’affixe z . Alors
 z    M appartient à l’axe des abscisses .
 z  i   M appartient à l’axe des ordonnées .
DEFINITION

A tout nombre complexe z de forme algébrique a  i b , on peut associer aussi le vecteur w
du plan complexe qui a pour coordonnées (a ; b) .


On dit que w est l’image vectorielle de z et inversement que z est l’affixe du vecteur w .
Exemple :



Sur le dessin ci-dessus, AC , DE et OF ont pour affixes respectives  3  i ,  2i et 1
PROPRIETE
Soit M un point quelconque du plan complexe d’affixe a  i b . Alors :
 Le symétrique de M par rapport à O a pour affixe (a )  i ( b) .
 Le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses a pour affixe a  i ( b) .
y
b
M
o
a
P
x
N
DEFINITION
Soit z un nombre complexe d’affixe a  i b . Alors :


Le nombre a  i b  a  i(b) s’appelle conjugué de z et est noté z .
Le nombre  a  i b  (a)  i (b) s’appelle opposé de z et est noté –z .
2. Opérations dans l’ensemble des complexes :
2.1. Addition et soustraction dans  :
______________________
PROPRIETES (ADMISES)
L’addition possède dans  les propriétés suivantes :
Pour tous z, z’ et z’’ complexes ,
 z  z '  z ' z
 z  ( z ' z ' ' )  ( z  z ' )  z ' '
 z 0  0 z  z
 Il existe un nombre complexe unique Z vérifiant z  Z  Z  z  0. Ce nombre est
l’opposé de z : Z  a  b i
On peut alors définir la soustraction dans  :
DEFINITION
Si z  a  i b et z '  a 'i b' , on pose : z  z '  z  ( z ' )  a  a'(b  b' ) i
Exemples :
(1  3i)  (2  4i)  3  i
(2  4i )  (1  5i )  3  i
PROPRIETE
Soient z et z’ deux nombres complexes . Soient M et M’ les points d’affixes z et z’ . Alors :



z + z’ est l’affixe du point N défini par ON  OM  OM ' .
Démonstration :
Posons z  a  i b et z '  a  i b' . Alors : z  z '  (a  a' )  i (b  b' ) . On en déduit que



z  z ' est l’affixe du point N (a  a' ; b  b' ) .Donc ON  (a  a' ) u  (b  b' ) v
Or M et M’ ayant pour affixes respectives z et z’ , ils ont pour coordonnées : (a ; b) et








( a ' ; b' ) , si bien que OM  OM '  a u  b v  a' u  b' v  (a  a' ) u  (b  b' ) v .



D’où l’égalité : ON  OM  OM ' .
2.1. Multiplication dans  :
____________________________
La multiplication dans  prolonge celle définie dans  et elle en a les mêmes propriétés :
PROPRIETES (ADMISES)
Pour tous z, z’ et z’’ complexes ,
 z  z '  z ' z
 z  ( z ' z ' ' )  ( z  z ' )  z ' '
 z 1  1 z  z
 z  z '  0  z  0 ou z '  0
Exemples :
1) Dans les calculs ci-dessous, les techniques employées sont similaires à celles utilisées
dans  :
(2  3i ) (5  i )  10  2i  15i  3i ²  13  13i
2 (2  3i )  3 (i  5)  4  6i  3i  15  19  3i
2  3i 2  4  12i  9i ²  5  12i
2) Calculons i n suivant les valeurs de l’entier naturel n :
i0  1
i1  i
i 2  1
i 3  i
i4  1
Puis :
Si n  4k ( c’est-à-dire si n est multiple de 4 ), i 4 k  (i 4 ) k  1k  1
Si n  4k  1, i 4 k 1  i 4 k  i  1  i  i
Si n  4k  2 , i 4 k  2  i 4 k  i 2  1 (1)  1
Si n  4k  3 , i 4 k 3  i 4 k  i 3  1 (i)  i
3) De même les techniques de résolution d’équations dans , restent valables dans  :
( z  8i )( z ²  8)  0  z  8i  0 ou z ²  8  0  z  8i ou z  2 2 i ou z  2 2 i
2.3. Inverse d’un nombre complexe non nul - Division dans  :
____
PROPRIETE
Soit z un nombre complexe non nul . Alors il existe un unique nombre complexe z’ tel que
z z'  1 .
1
Ce nombre est noté
.
z
1
z
De plus si z  a  i b , alors  2
z a  b2
Démonstration :
 Existence :
Soit z un nombre complexe non nul de forme algébrique a  i b .
Alors : z  z  (a  i b) (a  i b)  a 2  (i b) 2  a 2  b 2 .
Or z est un nombre complexe non nul . Ceci impose que a et b ne sont pas nuls en
même temps . Donc a 2  b 2  0 .
On peut donc diviser l’égalité précédente par a 2  b 2 , ce qui conduit à
z
z 2
 1.
a  b2
z
Le nombre z '  2
répond donc à l’égalité : z  z '  1 .
a  b2
 Unicité :
Supposons qu’il existe deux nombres complexes z’ et z’’ tels que : z  z '  z  z ' '  1 .
On en déduit alors que z  z' z  z' '  0 , d’où z  ( z ' z ' ' )  0 . Sachant que z  0 ,
cela implique que z'z' '  0 , c’est-à-dire z '  z ' ' . D’où l’unicité de l’inverse .
Exemple :
Recherchons l’inverse de 3  2i :
1
3  2i
3  2i
3 2


  i
3  2i (3  2i ) (3  2i ) 3²  2² 13 13
Cas particulier : L’inverse de i est –i . En effet :
1 i
i
 2 
 i
i i
1
DEFINITION
Soient z et z’ deux nombres complexes quelconques tels que z ' 0 . On définit le quotient de z
z
1
par z’ par :  z 
z'
z'
Exemple :
1  5i
:
2i
1  5i (1  5i) (2  i) 2  i  10i  5i 2  3  11i
3 11



  i .
2
2
2i
(2  i ) (2  i )
5
5 5
2 1
1) Déterminons la forme algébrique du quotient
2) Soit z  a  i b un nombre complexe quelconque différent de 1 . Ecrire sous forme
2iz
algébrique Z 
:
z 1
2i (a  i b)  2b  2a i (2b  2a i)( a  1  i b)  2ab  2b  2b²i  2a ²i  2a i  2ab i ²
Z



a 1 i b
a 1 i b
(a  1  i b)( a  1  i b)
(a  1)²  b²
Z
2b
2a ²  2b²  2a

(a  1)²  b²
(a  1)²  b²
3. Conjugué d’un nombre complexe :
PROPRIETE
Pour tout nombre complexe z, on a :


zz
Si z  a  i b , alors : z  z  a²  b²

zz
zz
 Re ( z ) et
 Im( z ) .
2
2i
Démonstration :

Si z  a  i b , alors : z  a  i b et z  a  i b  a  i b

z  z  (a  i b) (a  i b)  a ²  (ib )²  a ²  b²


z  z ( a  i b)  ( a  i b) 2a


 a  Re ( z )
2
2
2
z  z (a  i b)  (a  i b) 2i b


 b  Im( z )
2i
2i
2i
CONSEQUENCE
Pour tout nombre complexe z , on en déduit que :
 z   z  z

z  i   z  z
Démonstration :
En effet :
z    Im( z )  0 
zz
zz
 0  z  z et z  i  Re ( z )  0 
 0  z  z
2i
2
PROPRIETE
Pour tous z et z’ appartenant à , on a :
 z  z'  z  z'
 z  z'  z  z'
 z  z'  z  z'




Pour tout entier naturel n, z n  z
n
1 1
Si z  0 ,   
z z
z z
Si z ' 0 ,    .
 z'  z'
Exemples :
1) Calculons à l’aide de ces propriétés le conjugué de Z 
1 i
:
1  5i
1 i
 1 i  1 i
Z 


 1  5i  1  5i 1  5i
2) De même, z étant un nombre complexe différent de 5i et Z 
Z en fonction de z :
zi
, exprimons
z  5i
z i
 z i  z i
Z 


 z  5i  z  5i z  5i
Exercices :
1) Déterminer l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie : z ²  2 z  3  :
Pour tout nombre complexe z,
2
2
z ²  2 z  3   z ²  2 z  3  z ²  2 z  3  z ²  2 z  3  z  2 z  3  z 2  z  2 z  2 z  0
 ( z  z ) ( z  z )  2( z  z )  0  ( z  z ) ( z  z  2)  0
 z  z ou z  z  2  z  ou Re ( z )  1
Donc l’ensemble des points M qui répondent à la question est la réunion de l’axe des
abscisses et de la droite d’équation : x  1
3) P est le polynôme défini sur  par : P( z )  z 3  z 2  4 z  6 .
a- Vérifions que pour tout complexe z : P( z )  P( z ) :
3
2
P( z )  z  z  4 z  6  z 3  z 2  4 z  6  z 3  z 2  4 z  6  P( z ) .
b- Démontrons que 1  i est racine de P et en déduire un 2ème racine :
P(1  i)  (1  i) 3  (1  i) 2  4(1  i)  6  (1  3i  3i 2  i 3 )  (1  2i  i 2 )  4(1  i)  6
.
 1  3i  3  i  1  2i  1  4  4i  6  0
On en déduit que 1  i est bien racine de P .
Mais d’après le a- , P(1  i )  P 1  i  P(1  i )  0  0 . Donc 1  i est une 2ème racine
de P .
 
4. Traduction complexes de quelques configurations géométriques:
PROPRIETE
Soient M et M’ deux points quelconques du plan complexe d’affixes respectives z et z’ .
Alors :
 z   z ' z
MM '

Si z  a  i b , OM  z z  a²  b²

L’affixe du milieu de [MM’] est égale à

z  z'
.
2
Si  et  sont deux réels tels que     0 , l’affixe du barycentre des points pondérés
 z   z'
( M , ) et ( M ' ,  ) est égale à

PROPRIETE


Si v et v' sont deux vecteurs d’affixes respectives z et z’ , alors :


L’affixe du vecteur v  v ' est égale à z  z ' .

Si k est un réel quelconque, l’affixe du vecteur k v est égale à kz .
Exemples :
1) Soient A , B et C les points d’affixes 1 ,
du triangle ABC a pour
1 i
1 i
et
. Alors le centre de gravité
2
2
1 i 1 i

z A  zB  zB
2
2  2  1  i  1  i  0 . On en conclut que O

affixe :
3
3
6
est le centre de gravité de ce triangle .
2) Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives 1  i , 3  i ,  2i et  2 .
Démontrons que ABCD est un parallélogramme :
z  z C 1  i  2i 1  i
1ère méthode : Le milieu I de [AC] a pour affixe : z I  A
. Le


2
2
2.
z  zD 3  i  2 1  i
milieu J de [BD] a pour affixe : z J  B
. Les points I et J ayant


2
2
2
1
même affixe, ils sont confondus . Donc les diagonales du quadrilatère ABCD ont le
même milieu . Il s’agit donc d’un parallélogramme .

2ème méthode : Le vecteur AB a pour affixe : z   z B  z A  3  i  1  i  2  2i .
AB

Le vecteur DC lui a pour affixe : z   zC  z D  2i  2 . Ces deux vecteurs ayant les
DC
mêmes affixes , ils sont égaux et on peut ainsi conclure que ABCD est un
parallélogramme .