Fiche démonstration Pythagore 4e

Fiche démonstration
Pythagore
4e
(1)
(2)
La figure (2) est composée de deux triangles EFK et KLM identiques
au triangle ABC rectangle en C de telle sorte que les points F, K,M
soient alignés.
a) Montrer que Æ;AKL est un angle droit.
Les triangles EFK et KLM sont respectivement rectangles en F et en
M.
Or, dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont
complémentaires.
Æ;MKL + Æ;MLK = 90°
Donc Æ;FEK + Æ;FKE = 90°
et
Les triangles EFK et KLM sont identiques au triangle ABC. Donc
Æ;FEK = Æ;MKL
Æ;FKE = Æ;MLK
et
Æ
On en déduit que ;FEK + Æ;MLK = 90°
Comme les points F,K et M sont alignés, Æ;FKM = 180°
Or Æ;FKM = Æ;FKE + Æ;EKL + Æ;MKL
Soit 180 = 90 + Æ;EKL c’est-à-dire Æ;EKL = 90°
b) Ecrire en fonction de a, b et c les aires des triangles EFK, KLM
et EKL.
Ces trois triangles sont rectangles, donc leur aire est le demiproduit des longueurs des côtés adjacents à l’angle droit.
Error! = Error!
= Error! = Error!
= Error! = Error! = Error!
AEFK =
AKLM
AEKL
c)Démontrer que le quadrilatère EFML est un trapèze
Le triangle EFK est rectangle en F : (EF) ┴ (FK)
Le triangle KLM est rectangle en M : (KM) ┴ (ML)
Les points F,K,M sont alignés : (FK) = (KM)
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors
elles sont parallèles entre elles.
Donc (EF) // (ML).
Le quadrilatère EFML a deux côtés opposés parallèles, donc c’est un
trapèze.
d) Calculer l’aire de EFML de deux façons
1ère façon : formule de l’aire du trapèze :
soit ici :
Error!
Error! = Error!=Error!
2ème façon : somme des aires des trois triangles :
AEFK + AKLM + AEKL =
Error! + Error! + Error! = Error! + Error!
e) Conclure
On a calculé l’aire du trapèze de deux façons, on peut égaliser les
deux expressions ainsi obtenues :
ñ
ñ
ñ
Error!=Error!+ Error!
Error!=Error!+ Error!
a 2+2ab+b 2=2ab+c 2
a 2+b 2=c 2
La relation du théorème de Pythagore est ainsi démontrée.