II) Etude du problème physique

Document pédagogique mis à la libre disposition de tous par le groupe Sciences Physiques de l’Académie de Toulouse
Document de travail “élève”
FICHE T.P. 10 (a)
Physique ~ Tronc commun
Classe de Terminale S
ETUDE DE LA CHUTE VERTICALE DE SOLIDES
Objectifs.
Enregistrer le mouvement de chute d’une sphère dans un liquide, dans l’air.
Tracer la courbe v = f(t) : déterminer la vitesse limite, reconnaître le régime initial, le régime permanent, et déterminer
le temps caractéristique de passage de l’un à l’autre.
Vérifier les résultats expérimentaux par une méthode de calcul analytique, utiliser un tableur.
I. Analyse de quelques mouvements
1. Utilisation d’un logiciel pour tracer la courbe v = f(t).
Ouvrir le logiciel SYNCHRONIE. Dans le bandeau supérieur, choisir Edition puis Lire image ou
fichier vidéo et ouvrir le fichier vidéo à étudier disponible dans le fichier videos.zip. (dans lequel
se trouvent des animations de chutes d'une sphère dans un liquide).
Dans la fenêtre qui s’ouvre, choisir l’onglet Origine et placer le curseur sur l’origine de l’image.
Dans l’onglet Etalonnage, indiquer à l’ordinateur l’échelle du phénomène filmé. Pour cela,
cliquer sur l’extrémité d’une référence de l’image de dimension connue, et étirer le segment de
couleur en maintenant le bouton droit de la souris enfoncée, jusqu’à l’autre extrémité. Entrer
alors les dimensions de l’objet dans la bonne unité.
Indiquer alors la période du film, c’est-à-dire la durée qui s’écoule entre chaque image du film.
Pour un film acquis avec un caméscope, la période est 40ms.
Cliquer ensuite sur l’onglet Pointeur. Donner un nom à la variable dont vous allez saisir les
valeurs. Puis cliquer sur Saisir.
Repérer alors la position du centre de gravité de l’objet filmé en cliquant avec le bouton droit. Le
film avance automatiquement d’une image. Refaire la saisie pour toutes les images du film.
Pour finir cliquer sur l’onglet Terminer.
Les valeurs saisies sont maintenant disponibles dans le tableur de synchronie, prêtes à être
exploitées.
Lisser les résultats obtenus suivant l’axe des ordonnées.
Calculer la vitesse de cette bille et tracer la courbe v = f(t) en utilisant la fonction dérivée dans la
feuille de calcul.
2. Exploitation de la courbe.
Quelle sont les différentes parties de cette courbe ? Quelles sont les fonctions mathématiques aux
quelles elles vous font penser ?
En utilisant l’outil de modélisation du logiciel, trouver le modèle qui se rapproche le plus de
cette courbe.
Tracer les tangentes à cette courbe à l’origine et lorsque c’est possible lorsque la vitesse devient
constante.
Déterminer le temps caractéristique de ce mouvement qui est l’abscisse du point d’intersection
de ces deux tangentes.
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Document de travail “élève”
Physique ~ Tronc commun
Classe de Terminale S
3. Etude théorique du mouvement de chute.
Formule de Stokes :
Force de frottements visqueux exercée sur une sphère se déplaçant à la
vitesse VG dans un liquide. On considère que l’écoulement autour de la sphère est laminaire.
La direction de cette force est celle de la vitesse, son sens est opposé à celui de la vitesse, elle
s’applique au centre de la sphère, sa valeur est donnée par la relation suivante :
F = 6RVG .
VG en m;s-1
 en kg.m-1.s-1 : coef. de viscosité du fluide
R en m
F en N
Poussée d’Archimède : Tout corps plongé dans un fluide visqueux subit de la part de celui-ci
une force verticale de bas en haut appliquée en son centre de gravité égale au poids du liquide
déplacé. Pour une sphère de rayon R dans un liquide de masse volumique .
4
A =  R3  g .
R en m
3
g intensité de la pesanteur en N.kg-1
 .en kg.m-3
A en N
Faire le bilan des forces exercées sur la sphère.
Faire un schéma avec toutes les forces .
Ecrire le théorème du centre d’inertie. En déduire une relation entre
dVG
et VG.
dt
dVG
 f(VG )
dt
Cette équation est une équation différentielle du premier degrés à coefficients constants.
Sa solution est une fonction du temps VG = h ( t ).
On la notera
III. Résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler
1 Principe.
Cette méthode donne une solution graphique de l’équation différentielle ; elle permet de tracer la
dVG
courbe VG = h ( t ). A partir de la relation
= f (VG) et de la valeur de VG0 à t = 0s, on calcule
dt
la valeur de VG1 à t = Δt.
On calcule ensuite, successivement, les valeurs VG à t = Δt, 2Δt, 3Δt, 4Δt…..nΔt
On peut alors tracer la courbe VG = h (t), avec t  [0 ; n Δt]
2. Détermination de la relation entre VG1, VG2 et f(VG).
Par définition de la dérivée, si on peut considérer que sur le petit intervalle de temps Δt la
variation de la vitesse est quasiment linéaire, on peut écrire :
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Document de travail “élève”
Physique ~ Tronc commun
dVG ΔVG VG1  VG0


 f (VG ) d’où
dt
Δt
Δt
Soit
VG1  Δt  f(VG )  VG0
VG2  Δt  f(V G )  VG1
………………………..
VG(i1)  Δt  f(V G )  VGi
Classe de Terminale S
VG1  VG0
 f (VG )
Δt
3. Calcul des valeurs.
Pour faire ces calculs rapidement, on utilise une calculette programmable ou un tableur.
Au tableur :
Dans la première colonne du tableur introduire la variable t.
Dans la case A1 mettre la valeur 0, dans A2 mettre A1 + t, puis recopier cette variable vers le
bas une centaine de fois vers le bas.
Dans la deuxième colonne du tableur introduire la variable VG.
Dans la case B1 mettre la valeur de VG0, dans B2 mettre f ( VG0 ), puis recopier cette fonction
vers le bas une centaine de fois vers le bas.
Nous avons un tableau à deux colonnes et une centaine de lignes.
Nous pouvons tracer la courbe VG = h ( t ), qui est la représentation graphique de la fonction
solution de l’équation
Attention à la valeur de t, le résultat peut être surprenant en fonction de sa valeur.
4. Comparaison des résultats.
Comparer les résultats expérimentaux et ceux obtenus par la méthode d’Euler.
Les valeurs de la vitesse limite sont elles les mêmes ?
Quelle solution pouvez vous proposer pour obtenir par la méthode d’Euler un résultat plus
proche du résultat expérimental ?
Testes vos solutions avec le tableur.
Données : bille d’acier
bille de verre
bille de bois
balle de golf
bile de bakélite
masse = 60,7 g,
masse = 31,1 g,
masse = 14,5 g,
masse = 45,7 g,
masse = 43,0 g,
diamètre = 2,45 cm ;
diamètre = 2,90 cm ;
diamètre = 3,00 cm ;
diamètre = 4,27 cm ;
diamètre = 3,46 cm ;
 eau = 1,110-3 en kg.m-1.s-1
 air = 1,810-5 en kg.m-1.s-1
glycérine = 2,33 en kg.m-1.s-1
dans les vidéos on peut utiliser comme objet étalon soit l’éprouvette, soit la règle.
hauteur de l’éprouvette
0,54 m ;
grandeur de la règle
1,03 m.
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Document de travail “professeur”
FICHE T.P. 10 (a)
Physique ~ Tronc commun
Classe de Terminale S
ETUDE DE LA CHUTE VERTICALE DE SOLIDES
Professeur
I) Problématique
Que devient un système régit par des lois physique connues, lorsqu’il évolue au cours du temps.
Connaissant la position, l’accélération et la vitesse du système à l’instant t, on détermine la relation
mathématique qui permet de décrire le mouvement du centre d’inertie du système dans cet
environnement physique. Dans quel état est il à l’instant t+Δt ?
Trois solutions sont possibles :
On réalise l’expérience dans les conditions réelles et on enregistre le mouvement.
L’analyse de cet enregistrement nous permet de déterminer les lois de variation de l’accélération, la
vitesse et la position du centre d’inertie du système. Dans le cas de mouvements simples, cela peut
ne pas être trop difficile à réaliser.
(table à coussin d’air, table à digitaliser avec stylet automatique, enregistrement video et traitement
informatique).
En fonction des forces qui s’exercent sur le système, j’écris l’équation qui régit le
mouvement du centre d’inertie. Les mathématiques me donnent la solution de cette équation à des
constantes près qu’on détermine à partir des conditions initiales du mouvement.
A partir de l’équation du mouvement et des conditions initiales, on calcule pas à pas la
valeur de la fonction par la méthode dite d’EULER.
II) Etude du problème physique

On étudie dans le repère (O, k) , fixe par rapport à la Terre supposée référentiel Galiléen, le
mouvement du centre d’inertie G d’une sphère en chute verticale dans un fluide.



Bilan des forces :
le poids
P  mg  mgk


Aρ Vg k
La poussée d’Archimède


F6π  R VG k
La force de frottement
On applique le théorème du centre d’inertie




mgk +(  ρVsphèregk )+(-6πηfluideRVG k )= ma G
mg  ρfluideVolsphèreg 6π fluide RVG = ma G = m
   

ΣF  P  A  F  ma G
dVG
dt
 ρVsphère  6πηfluide R
dVG
 
 g 1 
VG
dt
m
m


dVG
après calcul on obtient une relation de la forme
= a0 –a1VG
dt
2°) Résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler.
On utilise le tableur EXEL avec deux colonnes. Voir aussi le TP tstp10b disponible sur le site
académique de Toulouse.
Dans A1 on met 0, dans A2 on met la formule =A1+Δt, on recopie cette formule vers le bas une
centaine de fois.
Dans B1 on met 0 qui représente la vitesse initiale, dans B2 on met la formule
= Δt.(a0 –a1B1) + B1, on recopie cette formule vers le bas une centaine de fois.
On trace ensuite la courbe v = h(t).
d’où l’équation différentielle
Documentation : Mécanique et rhéologie des fluides en génie chimique.N ; Midoux ; Edition TEC & DOC
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Document de travail “professeur”
Physique ~ Tronc commun
Classe de Terminale S
Etude d’un mouvement assisté par ordinateur
Pour reconstituer la trajectoire d’un système, on peut utiliser la table à coussin d’air, la
chronophotographie ou la vidéo. Cette fiche technique résume succinctement les différentes façons
de faire l’acquisition du film vidéo d’un mouvement, afin de l’étudier à l’aide d’un ordinateur
équipé de Synchronie, de Regressi, d’Avimeca2, de Marqueur, d’Excel , etc. ...
Vous pouvez télécharger gratuitement aviméca2 sur le site internet :
http://www.ac-rennes.fr/pedagogie/scphy
Vous pouvez télécharger gratuitement marqueur sur le site internet :
http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique
I- OBTENTION DU FICHIER VIDEO D’UN MOUVEMENT.
1°) La webcam.
C’est le moyen le meilleur marché de faire une acquisition vidéo puisqu’on peut trouver des webcams à
moins de 45 €. La définition du film est toutefois limitée, mais suffisante pour avoir des résultats
d’acquisition de qualité satisfaisante. La caméra se branche sur le port USB de votre ordinateur. Le logiciel
d’acquisition du film est fourni avec la webcam et ne présente aucune difficulté d’utilisation.
2°) Le caméscope.
Qu’il soit analogique ou numérique, le caméscope permet de filmer différents mouvements sans difficultés
majeures. Notez que le caméscope numérique a une meilleure définition (jusqu’à 800 000 pixels selon les
modèles).
Dans tous les cas, il faudra faire l’achat d’une carte d’acquisition vidéo analogique ou numérique. On en
trouve à partir d’environ 75 €. Dans ce cas encore, un logiciel est fourni pour faire l’acquisition dans de
bonne condition. il faudra cependant veiller à paramétrer ce dernier à 25 images par secondes.
Exemples de cartes d’acquisition vidéo :
Marques
MIRO
Analogique (prix)
DC 10 + (300 €)
MATROX
HERCULES
Marvell G350 (300 €)
Numérique (prix)
Studio Dv (150 €)
Studio DV plus (300 €)
DV action (90 €)
3°) La caméra de cours.
Il existe des caméras qui permettent de montrer, sur un téléviseur, une expérience de cours. Certaines de ces
caméras peuvent être branchées directement sur l’ordinateur. Pour d’autres, au contraire, il faudra les coupler
aux mêmes cartes d’acquisition vidéo décrites plus haut.
Vous vous référerez alors à la notice de la caméra.
Dans tous les cas, le fichier vidéo devra être sauvegardé dans un format AVI. Plusieurs Codecs sont
possibles (Intel video R3.2, ou Microsoft H.261 video codec, etc...).Ils permettent d’obtenir des fichiers plus
ou moins compressés, et des films de plus ou moins bonne définitions ; des essais sont donc à prévoir. Pour
réduire la taille des fichiers, vous pouvez créer des films muets, le son étant inutile pour l’étude du
mouvement.
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