corrige qcm

CORRIGE QCM
G
R
O
U
P
2004/2005
E
MA102
Chambre de Commerce
et d’Industrie de Paris
09/05/05
Algèbre linéaire
Feuille : 1/3
Remis par : Y. Goldman et C. Ostier
Question I
(A) Vrai
Par définition le rang d’une matrice échelonnée est le nombre de pivots de cette matrice.
Si U échelonnée a r pivots, les r premières lignes de U sont non nulles et les n - r suivantes
sont nulles.
(B)
Faux
 1 0 1
 0 1 1  est une matrice échelonnée réduite de rang 2 ayant 3 colonnes non nulles.


(C)
Vrai
3 1 0
I 3 s’obtient à partir de  0 2 7  par élimination ascendante après « normalisation » des


 0 0 2 
pivots. (2ème phase de l’algorithme de Gauss-Jordan)
Plus généralement, toute matrice n  n de rang n admet I n pour échelonnée réduite.
(D) Vrai
2
2 1 
 0 1 1 
 2
0
 2

 0 1 1 

2

1

 
 0
 2
 2
2 1
2 1





0

1

1
1

1

1
1





(E)
1
1
2
1
2
2
1
0
0

2

0

 
0



0

2 1
1 1 
0 2

0 0
Faux
En général, la transposée d’une échelonnée n’est pas une matrice échelonnée
 1 1
1 0 
U 
donne U T  


 0 1
1 1 
1
Question II
(A) Faux
C’est vrai lorsque le système linéaire est homogène, car alors il est consistant mais le système
 x1  x2  x3  0

 2 x1  2 x2  2 x3  1
a plus d’inconnues que d’équations mais aucune solution.
(B)
Faux
 x1  x2  1

 2 x1  2 x2  2 est un système consistant avec plus d’équations que d’inconnues et une infinité de
 3x  3x  3
2
 1
solutions.
(C)
Faux
 x1  1

Le système  x2  2
a une solution unique.
 x x 2
 1 2
Par contre si « nb. lignes de A  nb. colonnes de A  nb. pivots » , alors, pour tout b , le système
a une solution unique car
1) il est consistant ( nb. contraintes = nb. lignes – nb. pivots = 0 )
2) il n’y a pas d’inconnues secondaires ( nb. inconnues secondaires = nb. colonnes – nb. pivots = 0 )
(D) Vrai
Pour que le système Ax  b n’ait pas de solution, il faut que b soit soumis à une contrainte au
moins et qu’il ne la (les) vérifie pas.
(E)
Vrai
Il suffit de prendre pour b une combinaison linéaire de colonnes de A ou encore plus simple une
des colonnes de A .
Question III
(A) Faux
La solution générale à 4 composantes donc A a 4 colonnes. Mais on n’a aucune information sur b
donc sur le nb. lignes de A .
Cependant, comme il y a 2 inconnues principales, une échelonnée de A a 2 pivots et A a donc au
moins 2 lignes.
 x1  1  2 x2
 1 2 0 0 
1
et
b

De 
on tire A  

0.
 0 2 1 1 
 
 x3  2 x2  x4
2
(B)
Faux
Dans le contre exemple du (A) les colonnes-pivots sont les colonnes 1 et 2 .
(C)
Vrai
1
0
x     x2
0
 
0
2
1
 x
0 4
 
0
 0
 0
 
 1 
 
 1
1
2
 0
0
1
 0




Notons
et x 
 x
 x  
 0  2  0  4  1 
 
 
 
0
0
 1
2
 0
1
 0



Il vient A  x  x  Ax  Ax  04 avec x  x   x2  x2 
  x4  x4  
0
 1 
 


0
 1
D’où la solution générale du système homogène Ax  04 puisque x2 , x2 , x4 , x4 sont des réels
quelconques.
(D) Vrai
1
1
0
 
  est une solution particulière de Ax  b . Or A  0   col  A  .
1
0
0
 
 
0
0
(E)
Vrai
 0
 0
 0
 0
D’après (C) , pour x2  0 et x4  1 A     04 . Or A     col 3  A  col 4  A .
 1 
 1 
 
 
 1
 1
Question IV
(A) Faux
car A  x  y   Ax  Ay  2b .
(B)
Vrai
Ax 
n

xi coli  A d’où xT AT 
Faux

col 1 


i 1
i 1
(C)
n
 xi coli  A  
T
0 1 1 2  2 
1 0 3 4 4 


  
( La bonne formule est col j  AB  
n

bi j col j  A ).
i 1
3
n

i 1
xi  coli  A  
T
 x lig  A  .
n
T
i
i 1
i
(D) Vrai
Par récurrence sur k.
Pour k  2  T 2  
ii
n
tij t ji

j 1
Comme T est triangulaire, disons supérieure,  l  k , tlk  0 . D’où
n

j 1
tij t ji 
i 1

j 1
tij t ji  tii2 
n
tij t ji  tii2

j i 1
En effet, dans la 1ère somme, les t ji sont nuls, dans la seconde, ce sont les tij .
Hypothèse de récurrence :  T k 1   tiik 1 .
ii
D’où  T k  
ii
n

j 1
tij  T k 1 
ji

i 1

j 1
tij  T k 1   tii tiik 1 
ji
n
tij  T k 1   tiik

ji
j i 1
par le même
argument que pour k  2 car le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice
triangulaire supérieure. Donc, T k 1 est aussi une matrice triangulaire supérieure.
( exercice B.3 de la feuille n° 2)
(E)
Faux
1 1  1 1   2 3 
 1 1   1 2    0 1 

 
 

(mais le produit de deux matrices triangulaires supérieures est bien une matrice triangulaire
supérieure)
Question V
(A) Faux
 1 2 1 


 2 1  3 
2

 1 2 
 1 0    1 4 

 0
1 
 2 2  
(B)
Faux
Seules des matrices carrées possèdent un inverse.
(C)
Vrai
U échelonnée réduite inversible est forcément carrée. Son rang est égal à son nombre de lignes et à
son nombre de colonnes. Ce ne peut donc être que l’identité.
4
(D) Faux
1 2
 3 2 
Si A  
alors A1  

 .
2 3
 2 1 
2
1
1
U 
 est une échelonnée de A et U  U .
0

1


1
ne peut être une échelonnée de A 1 car la première ligne d’une échelonnée de A 1 avant
U
normalisation ne peut être que  3 2  ou  2 1  .
2
1


Après normalisation, on obtient  1   ou  1   .
3
2


(E)
Vrai
Une matrice n  n est de rang n si et seulement si elle est inversible.
Le produit de deux matrices inversibles est inversible, donc le produit de deux matrices de rang n
est une matrice de rang n .
5