fonctions2000-2001

IUT de SCEAUX
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Quelques caractéristiques des fonctions
venant de l’économie
Domaine de définition économique
domaine de définition économique : ensemble sur lequel les conditions
économiques sont respectées.
restriction du domaine de définition mathématique.
Exemples : un prix, une quantité, un coût sont des nombres positifs. Certaines
quantités (production et vente d’objets en unités) ne vont s’exprimer qu’en nombres
entiers.
Principales fonctions rencontrées en économie
- Fonction de demande
- exprime la liaison entre la quantité totale demandée Q et le prix unitaire P
appliqué sur un marché donné
- en général, fonction décroissante (sauf produits rares)
Exemple : fonction de demande linéaire
Q = a P + b avec a <0,
où Q désigne la quantité désirée et P le prix du produit.
Pour déterminer le domaine de définition économique, il faut résoudre P > 0 et Q > 0,
ce qui signifie
a P + b > 0 d’où a P > - b et P < - b/a (division par un nombre négatif d’où
changement de sens de l’inégalité)
soit 0 < P < -b/a.
- Fonction d’offre
exprime la liaison entre la quantité Q d’un bien qu’une entreprise ou un individu
accepte de vendre et le prix unitaire P.
fonction d’offre globale : somme des fonctions d’offre individuelles.
- en général, fonction croissante
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Remarque: en théorie classique de l’économie, on suppose que le marché d’un bien
est en équilibre lorsque son prix est à un tel niveau que l’offre et la demande
sont égales.
modèle simpliste, largement abandonné par les économistes mais présent dans
l’opinion publique sous la dénomination de « loi de l’offre et de la demande »
- Fonctions de coût
L’offre dépend des coûts de production, car il faut que ceux-ci soient couverts par les
recettes.
Fonction de coût total:
- exprime la liaison entre la quantité produite Q et le coût C(Q)
- fonction positive et croissante
Fonction de coût moyen (ou unitaire):
- coût total divisé par la quantité produite.
Cm(Q) = C(Q) / Q
- Un taux de variation peut représenter le coût moyen de production sur une certaine
tranche de production.
Exemple : Soit C = f(Q) = 2 Q2 + 14 Q + 46 ,
où Q s’exprime en unités de volume et C en unités monétaires.
C est-elle une fonction de coût total sur [0, + [ ?
-
C est la somme de termes positifs, donc C est positive.
-
C’= f ’(Q) = 4 Q + 14. Donc C’ est positive pour Q  0 et C est croissante.
La fonction C est donc une fonction de coût total sur [0, + [.
Le coût moyen est :
Cm(Q) = [2 Q2 + 14 Q + 46] / Q = 2 Q + 14 + 46/Q
Il est défini sur ]0, + [.
- Fonction de revenu
R (Q) = Q * P(Q),
où P est le prix unitaire (dépendant de Q) et Q la quantité vendue.
- Fonction bénéfice
B(Q) = R(Q) - C(Q), où R(Q) est la recette totale et C(Q) le coût total.
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Exemple
Soit la fonction de demande
P = - 0,25 Q + 4.
et soit la fonction de coût total d’un certain produit :
C(Q) = 0,05 Q3 - 0,3 Q2 + 2 Q + 4
i) Trouver la fonction de bénéfice total
B(Q) = P Q - C(Q)
Remarque 1: la fonction de demande n’est définie que si Q > 0 et P > 0, ce qui signifie - 0,25
Q + 4 > 0 et donc Q < 16. Le domaine de définition de la fonction de demande est donc ]0,
16[.
Remarque 2: la fonction de coût total n’est définie que pour Q > 0. De plus, elle doit être
positive et croissante. Ces deux propriétés ne se vérifient pas par des techniques particulières
aux polynômes du troisième degré. Il va falloir utiliser les dérivées...
Soit donc
C(Q) = 0,05 Q3 - 0,3 Q2 + 2 Q + 4
Alors C’(Q) = 0,15 Q2 - 0,6 Q + 2
Calculons le discriminant:
 = (- 0,6)2 - 4 * 0,15 * 2
= - 0,84.
Le discriminant est toujours négatif. Le trinôme n’a pas de racines réelles et est donc toujours
du signe du coefficient du terme de degré 2, c’est-à-dire positif.
Puisque sa dérivée est positive, la fonction C est donc toujours croissante. Pour Q = 0, elle
vaut 4. Donc, la fonction C est positive pour Q > 0.
La fonction C est donc une fonction de coût total sur ]0, + [.
On peut donc définir une fonction bénéfice au plus sur ]0, 16[.
B = P Q - C(Q)
soit B = (-0,25 Q + 4) Q - (0,05 Q3 - 0,3 Q2 + 2 Q + 4)
d’où B = - 0,05 Q3 + 0,05 Q2 + 2 Q - 4
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ii) Peut-on déterminer un maximum de bénéfice B ? Si oui, pour quelle valeur de
Q?
Pour étudier si une fonction définie sur un intervalle [a, b] admet un extrémum en un point c
de ]a, b[, on cherche :
i) si la dérivée première s’annule en un point c de ]a,b[
ii) si la dérivée première change de signe en passant par ce point.
Calculons donc la dérivée B’.
B’ = - 0,15 Q2 + 0,1 Q + 2
Il faut chercher quand - 0,15 Q2 + 0,1 Q + 2 = 0
Le discriminant vaut
 = (0,10)2 - 4 * (- 0,15) * 2 = 1,21 = (1,10)2.
Les racines sont donc Q1 = (-0,1 + 1,10) / 2 * (- 0,15) = - 10/3 < 0
Q2 = (-0,1 - 1,10) / 2 * (- 0,15) = 4
La dérivée B’ est positive entre Q1 et Q2., soit positive entre 0 et 4. La fonction est donc
croissante avant 4 et décroissante après. Il y a donc un maximum en 4.
Ce maximum vaut B(4) = 1,6.
La dérivée en économie
coût marginal : variation du coût total C(Q) entraînée par la variation infiniment
petite des quantités produites.
En fait, dérivée du coût total
Notation usuelle : C ’(Q) = dC / dQ
revenu marginal : dérivée de la fonction revenu
R’(Q) = dR / dQ.
bénéfice marginal : dérivée de la fonction bénéfice
B’(Q) = dB/dQ.
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Élasticité
Au lieu de comparer les variations absolues f et x par -l’étude du rapport
les économistes s’intéressent fréquemment aux variations relatives
x
, et à leur quotient
x
 f
f
x
x
 f
f
 f
,
x
,
, qu’ils nomment élasticité de f en x.
Exemple : pour mesurer la sensibilité d’un bien par rapport aux variations de prix
d’un bien, on calcule
Q
Q
, appelé élasticité de la demande Q de ce bien par
P
P
rapport à son prix P.
Le mathématicien, lui, s’intéresse à l’élasticité « instantanée », c’est à dire à la
limite lorsque x tend vers zéro du rapport :
or
 f
f
f x
f
 x 
x
f
x f
x
x
 f
f
x
x
(d’après les règles de division des fractions)
Cette limite est donc égale à f ’(x) x / f(x) lorsque f est dérivable.
D’où la définition :
On appelle élasticité de f en x et on note ef(x) la quantité x f ’(x)/f(x).
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Exemple : Dans une Région, pour une catégorie déterminée de terrains à bâtir, la
demande Q pour un prix d’achat P s’exprime par la relation suivante :
Q = 50 000 – 0,4 P
Où Q désigne le nombre de terrains à bâtir que souhaitent acquérir les ménages
lorsque le prix d‘achat est P.
i) Quel est le domaine de définition économique ?
Il faut que P  0 et Q  0, ce qui signifie 50 000 – 0,4 P  0
soit 50 000  0,4 P
ou encore P  125 000
Le domaine de définition de la demande est donc ]0, 125 000[
ii) Quelle est l’élasticité de la demande par rapport au prix pour P = 120 000 ?
L’élasticité va se calculer à l’aide de la formule ;
eD(P) = P * D’/D
Pour ce prix, la demande est :
D = 50 000 – 0,4*120 000 = 2 000.
La dérivée D’ de la demande est :
D’ = - 0,4
L’élasticité pour P = 120 000 est donc :
e = - 0,4 * 120 000 / 2000 = - 24
Comme e = ( D/ D ) : ( P/ P)
on a ( D/ D ) = ( P/ P) * e
soit ( D/ D ) = -24 * 0,01 = - 0,24
Cela signifie que, pour un accroissement du prix de 1% autour de 120 000 unités
monétaires, il y aura une diminution de la demande de 24%.
L’accroissement de prix serait alors de 1 200 unités monétaires et la demande
diminuerait de
2 000 * 0,24 = 480 terrains.
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Exemple supplémentaire
Une entreprise décide la fabrication en grande série d’un article. Le coût de
fabrication de chaque article est de 200 unités monétaires auquel s’ajoutent les frais
fixes de production qui s’élèvent à 1 500 000 unités monétaires.
i) a - Quel est le coût de fabrication de n articles (frais fixes + frais variables) ?
Si n désigne le nombre d’articles produits, le coût total de fabrication est:
C(n) = 1 500 000 + 200 n
Remarque 1: Dans cet exemple, la fonction n’est définie que pour des valeurs entières
positives de la variable, puisque n désigne un nombre entier d’objets.
Du point de vue du mathématicien, la fonction qui à x associe f(x) = 1 500 000 + 200 x est
définie pour toutes les valeurs réelles de x .
On différenciera ces deux domaines de définition en parlant de domaine de définition
économique pour le premier.
Remarque 2: La fonction qui intervient dans cet exemple est une fonction affine, dont la
représentation graphique est une droite, ou plus exactement une portion de droite.
Remarque 3: La fonction est toujours positive sur son domaine de définition économique
(car somme de termes positifs). C’est une caractéristique générale des fonctions de coût total.
Remarque 4: La fonction de coût total est croissante, ce qui peut se voir facilement puisque
le coefficient directeur est positif (c’est 200 !!). C’est encore une caractéristique générale des
fonctions de coût total.
b- Exprimer le prix de revient r(n), en francs, d’un article en fonction du nombre n
d’articles fabriqués.
Le coût de revient unitaire est le quotient du coût total par le nombre d’articles
fabriqués, soit
r(n) = C(n) / n = 1 500 000 / n + 200
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Remarque 1: Le domaine de définition économique est encore l’ensemble des entiers
positifs. Il est différent du domaine de définition mathématique qui serait IR - {0}.
Remarque 2: On reconnaît une fonction homographique dont la représentation graphique
est une hyperbole.
Remarque 3: Nous allons étudier la croissance directement en calculant r(n) - r(m), lorsque
n et m sont deux entiers tels que n < m.
r(n) - r(m) = (1 500 000 / n +200) - (1 500 000 / m + 200)
= 1 500 000 / n - 1 500 000 / m
= 1 500 000 (m - n) / mn
Le signe de r(n) - r(m) ne dépend que du signe de m-n, puisque m et n sont des entiers
positifs.
d’où
r(n) - r(m) > 0, soit
r(n) > r(m).
Dans ce cas, la fonction coût de revient est constamment décroissante.
ii) La demande de cet article sur le marché est fonction de son prix de vente unitaire
p. Une étude de marché a montré que, pour un prix de vente unitaire p, le nombre
d’articles demandés est n(p) = 2 100 000 - 6 000 p, où p est un nombre entier
exprimé en unités monétaires et appartenant à l’intervalle [200, 350].
Montrer que le bénéfice total correspondant, en unités monétaires, est alors:
B = - 6 103 p2 + 33 105 p - 4 215 105
Remarque 1: La fonction qui au prix associe le nombre d’articles demandés s’appelle une
fonction de demande. Notons que c’est une fonction décroissante, et qu’une des
caractéristiques des fonctions de demande est d’être monotone (croissante uniquement pour
les produits rares).
Son domaine de définition économique se détermine en écrivant sous forme d’équations ou
d’inéquations les conditions ou contraintes économiques.
Ainsi, le prix est forcément un nombre positif (ou strictement positif, selon les conventions),
donc la condition minimale est p  0. Cependant, le coût de fabrication par article est de
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200 unités monétaires, donc le prix de vente est forcément supérieur à 200 unités monétaires.
C’est la borne inférieure de 200.
Le nombre d’articles demandés est aussi positif, donc n(p)  0.
2 100 000 - 6 000 p  0
soit
2 100 000  6 000 p
et donc
p  350.
On retrouve la borne supérieure figurant dans l’énoncé pour l’étude de la fonction de
demande.
Remarque 2: On définit aussi en économie la fonction bénéfice comme la fonction qui à un
prix associe la différence entre le chiffre d’affaires et les coûts.
d’où
B(p) = p * n(p) - c[n(p)]
On a donc:
B = p (2 100 000 - 6 000 p)
- 1 500 000 - 200 (2 100 000 -
6 000 p)
B = - 6 000 p2 + 3 300 000 p + 421 500 000
En utilisant les puissances de 10, on obtient l’équation du texte.
Remarque 3: Un bénéfice au sens usuel du terme doit être positif (sinon, il s’agit d’une
perte). En fait, il s’agit encore d’un problème de domaine de définition économique.
Remarque 4: La fonction qui à p associe B(p) est une fonction trinôme du second degré,
dont la représentation graphique est une parabole, ou plus exactement une portion de
parabole sur son domaine de définition économique.