donc PGCD - Collège Mathurin Martin

3ème
Arithmétique
1 – La division euclidienne.
11- Définition
a) Exemple.
72 et
72 = 15  4 + 12
15
b) Définition
La division euclidienne de a par b est l’opération qui permet de calculer le quotient entier de a par b
ainsi que le reste.
On écrit
a=bq+r
avec
0r<b
c) Exercice. Effectuer la division euclidienne de 346 par 22
A la main
A la machine
346 :22 = 15.72727 = 22 x 15 +
0,722727x 22 = 22 x 15 +16
346 = 22 x 15 + 16
A la machine
346 OPTN CALC INT 22
= 22 x 15 + reste
reste = 346 CALC RMDR 22
= 16
donc 346 = 22 x 15 + 16
12- Notion de diviseurs et de multiples.
Effectuer la division euclidienne de 608 par 32.
608 = 32  19 + 0
On dit que 32 est un diviseur de 608 ou que 32 divise 608 ou que 608 est un multiple de 32
Définition.
Lorsqu’il existe un entier q tel que n = d  q , on dit que :
n est divisible par d.
ou
n est un multiple de d.
ou
d est un diviseur de n.
ou
d divise n.
Exemples.
a)
32 = 8  4 donc, on peut dire que :
32 est divisible par 8 ou 32 est un multiple de 8.
8 est diviseur de 32 ou 8 divise 32.
b)
Effectuer, à la calculatrice, la division euclidienne de 689 par 12.
689 = 12  57 + 5 donc 12 n’est pas un diviseur de 689
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Remarques.
47 = 1  47 donc 47 a au moins deux diviseurs : 1 et 47
a) 1 est un diviseur de n’importe quel nombre. A = a  1
b) Tout nombre supérieur à 1 a au moins deux diviseurs : 1 et lui même.
13 – Rappel des critères de divisibilités.
Un nombre est divisible par 2 lorsqu’il est pair
Un nombre est divisible par 3 lorsque somme des ses chiffres est un multiple de 3
Un nombre est divisible par 5 lorsqu’il se termine par 0 ou 5
Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de se chiffres est un multiple de 9
Un nombre est divisible par 10 lorsqu’il se termine par 0
2 - PGCD (plus grand commun diviseur)
21 - Diviseurs communs.
a) Exemple. Rechercher les diviseurs communs à 60 et à 48.
60
60
48
1
48
1
2
2
3
3
4
4
5
6
6
8
10
12
12
16
15
24
20
30
Les diviseurs communs à 60 et à 48 sont : 1; 2 ; 3; 4; 6; 12;
Le plus grand d’entre eux est 12. Donc le PGCD de 60 et 48 est 12
b) Propriétés des diviseurs communs.
27
1
2
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3 est un diviseur commun à 27 et 12. On peut donc partager les deux segments en segments égaux de
longueur 3.
3 est alors aussi un diviseur de 27 + 12.
27
1
2
27- 1
2
3 est aussi alors un diviseur de 27 – 12
Propriété (admise).
Un diviseur commun à deux entiers naturels a et b est aussi un diviseur de leur somme et leur différence
22 - PGCD.
a) Activité
b) Définition du PGCD.
Le plus grand des diviseurs communs à deux nombres entiers naturels a et b est noté PGCD ( a ; b).
PGCD signifie le Plus Grand Commun Diviseur.
c) Trois méthodes de détermination du PGCD
1. Ecrire tous les diviseurs de chacun des nombres ; repérer les diviseurs communs ;
choisir le plus grand
2. Algorithme des soustractions successives :
Propriété utilisée
Si a >b avec a et b entiers strictement positifs; PGCD(a ; b) = PGCD (a ; a – b)
Méthode

Faire la différence des deux nombres dont on veut calculer le PGCD

Faire la différence entre le plus petit des deux nombres et le résultat de la
soustraction précédente

Recommencer jusqu’à obtenir un reste nul

Le PGCD est le dernier reste non nul
Exemple : PGCD (117 ; 91)
117 – 91 = 26
91 – 26 = 65
65 – 26 = 39
39 – 26 = 13
10
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13 – 13 = 0
donc PGCD (117 ; 91) = 13
3. Algorithme d’Euclide
Propriété utilisée :
Si a >b avec a et b entiers strictement positifs
PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) ou r est le reste de la division euclidienne de a par
b
 Faire la division euclidienne des deux nombres

Faire la division euclidienne du plus petit des deux nombres et du reste de
la division euclidienne précédente

Recommencer jusqu’à obtenir un reste nul

Le PGCD est le dernier reste non nul
Exemple : PGCD (117 ; 91)
117 = 91 x 1 + 26
91 = 26 x 3 + 13
26 = 13 x 2 + 0
donc PGCD (117 ; 91) = 13
23 - Fraction irréductible.
a - Nombres premiers entre eux.
Lorsque deux nombres n’ont pas d’autres diviseurs communs que 1, leur PGCD est 1
Exemple : 5 et 4 n’ont que 1 comme diviseurs communs : PGCD ( 5 ; 4 ) = 1
On dit que 5 et 4 sont premiers entre eux
Définition.
On dit que deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est 1
Exemples.
PGCD ( 17 ; 13) = 1 donc 17 et 13 sont premiers entre eux
PGCD ( 24 ; 18) = 6 donc 24 et 18 ne sont pas premiers ente eux
b - Fraction irréductible.
Définition.
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
10
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Exemple. PGCD ( 15 ; 13 ) = 1, c’est à dire que 15 et 13 sont ……………….
13
est donc une fraction irréductible.
15
Propriété. (admise)
Lorsque l’on simplifie une fraction
PGCD ( 60 ; 48 ) = 12
a
par le PGCD ( a ; b ), la fraction obtenue est irréductible.
b
60
60 : 12
5
=
=
48
48 : 12
4
La fraction obtenue est irréductible car on a simplifié
60
par PGCD ( 60 ; 48).
48
24 - Exercices
Exercice 1. Dans chaque cas, déterminer tous les diviseurs communs aux deux nombres.
a) 15 et 27
b) 112 et 78.
c) 78 et 52
Exercice 2.
1) Déterminer un diviseur commun de 72 et de 20.
2) En déduire un diviseur de 92 puis de 52.
Exercice 3.
1) Démontrer que un diviseur commun à 122 et 72 est aussi un diviseur commun à 72 et 50.
2) Démontrer que un diviseur commun à 56 et 77 est aussi un diviseur commun à 77 et 133.
Exercice 4. Dans chaque cas, déterminer le PGCD des deux nombres.
a)
75 et 45
b) 48 et 152
c) 62 et 35
d) 72 et 71
e) 196 et 56
f) 312 et 84
Exercice 5.
n et d sont deux nombres entiers positifs avec d diviseur de n. Quel est le PGCD de n et de d ?
n est un nombre entier positif. Quel est le PGCD de n et de 1 ?
Exercice 6. Dans chaque cas, déterminer tous les diviseurs communs aux deux nombres.
a) 15 et 27
b) 112 et 78.
c) 78 et 52
Exercice 7.
1) Déterminer un diviseur commun de 72 et de 20.
2) En déduire un diviseur de 92 puis de 52.
Exercice 8.
1) Démontrer qu’un diviseur commun à 122 et 72 est aussi un diviseur commun à 72 et 50.
10
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Arithmétique
2) Démontrer qu’un diviseur commun à 56 et 77 est aussi un diviseur commun à 77 et 133.
Exercice 9.
Dans chaque cas, déterminer le PGCD des deux nombres.
c)
75 et 45
b) 48 et 152
c) 62 et 35
d) 72 et 71
e) 196 et 56
f) 312 et 84
Exercice 10.
n et d sont deux nombres entiers positifs avec d diviseur de n. Quel est le PGCD de n et de d ?
n est un nombre entier positif. Quel est le PGCD de n et de 1 ?
Exercice 11
Déterminer rapidement le PGCD ( 162 ; 72 ) grâce à l’algorithme d’Euclide
On va donner une méthode en se basant sur deux remarques :
1) Plus les nombres sont petits, plus il est rapide de déterminer leur PGCD.
2) Si un nombre k est un diviseur du nombre a alors PGCD( a ; k ) = ……….
Explication et méthode.
a) Prenons un diviseur commun à 162 et 72 ( exemple 6).
d)
Effectuons la division euclidienne de 162 par 72 : 162 = 72  ………. + ……….
Visualisation
1
62
7
2
7
2
1
8
Un diviseur commun ( exemple 6 )de 162 et 72 partage ………….. et aussi les deux ………, il partage
donc exactement …………..
En effet, ce diviseur commun à 162 et à 72 est aussi un diviseur commun à …………… et ……….donc,
d’après une propriété des diviseurs, il est un diviseur de …………….…. donc de ………………
En particulier, on l’admet, Le PGCD ( 162 ; 72) est le même que le PGCD ( 72 ; 18 ).
PGCD( 162 ; 72 ) = PGCD ( ……….. ; ……….)
e)
Effectuons la division euclidienne de 72 par 18 :
10
72 = 18  …….. + …….
3ème
Arithmétique
18 est un diviseur de 72 donc le plus grand diviseur commun à 72 et 18 est ………….
PGCD( 162 ; 72 ) = PGCD ( 72 ; 18) = …………
On écrit :
Dividende
Diviseur
162
72
quotient
reste
Le PGCD( 162 ; 72) est le dernier reste non nul : 18.
Applications : dans chaque cas, déterminer le PGCD des deux nombres.
493 et 377
1053 et 325
527 et 403
2006 et 2005
45 et 28
Exercice 12.
Simplifier au maximum la fraction
1050
. Pourquoi la fraction obtenue est-elle irréductible ?
1575
Exercice 13.
1) 60 et 84 sont-il premiers entre eux ?
2) 143 et 45 sont-ils premiers entre eux ?
3) Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ?
4) 65 et 42 sont-ils premiers entre eux ?
5)
23
est-elle irréductible ?
22
6)
85
est-elle irréductible ?
51
Exercice 14.
1) La fraction
60775
est-elle irréductible ?
114400
2) Sinon, simplifier cette fraction pour la rendre irréductible.
Exercice 15.
1) Sans aucun calculs, démonter que la fraction
3822
n’est pas irréductible.
9240
2) Calculer PGCD( 3822 ; 9240 ).
3) Simplifier cette fraction pour la rendre irréductible.
10
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Arithmétique
Exercice 16.
325
.
1053
Ecrire sous forme de fraction irréductible le nombre
Exercice 5.
279
279 93
Une calculatrice simplifie la fraction 600 de la façon suivante : 600 200.La fraction obtenue
est irréductible. En déduire le PGCD ( 279 ; 600).
Exercice 17.
Les fractions suivantes sont-elles irréductibles ?
1961
2173
1789
1998
798
527
Exercice 18. Un artiste dispose d’une toile de 60 cm sur 75 cm.
Il veut y peindre un pavage composé de carrés identiques mais de couleurs différentes.
La longueur du côté d’un carré est un nombre entier de centimètres. Il rempli toute la toile avec les carrés.
Quelle est la plus grande longueur possible pour le côté d’un carré.
Exercice 19. Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises. Il souhaite réaliser des tartes ayant
la même composition : chaque tarte aura le même nombre de framboises et chaque tarte aura le même
nombre de fraises. Il désire utiliser tous les fruits et il veut faire le maximum de tartes.
1) Combien de tartes va-il réaliser ?
2) Calculer alors le nombre de framboises et de fraises dans chaque tarte.
Exercice 20.
Un centre aéré organise une sortie à la mer pour 315 enfants. Il a 42 accompagnateurs. Combien de
groupes comportant le même nombre d’enfants et aussi le même nombre d’accompagnateurs peut-on
constituer ?
Exercice 21.
Une boite de rangement a la forme d’un pavé droit de dimensions 60 cm ; 36 cm et 24 cm. Elle est
remplie exactement par des cubes dont l’arête est un entier naturel. Quel peut être le nombre de cubes
contenus dans la boite ?
Exercice 22.
Un collège comprenant 294 garçons et 210 filles décide d’organiser une épreuve sportive pour tous les
élèves. Les professeurs doivent constituer le plus grand nombre possible d’équipes, chaque équipe devant
avoir, d’une part, le même nombre de filles et, d’autre part, le même nombre de garçons.
1) Combien y aura-t-il d’équipes constituées ?
10
3ème
Arithmétique
2) Combien y aura-t-il de filles et de garçons dans chaque équipe ?
Exercice 23.
Un chef d’orchestre fait répéter 372 choristes hommes et 775 choristes femmes pour un concert. Il veut
faire des groupes de répétition de sorte que :le nombre de choristes femmes soit le même dans chaque
groupe ; le nombre de choristes hommes soit le même dans chaque groupe ; chaque choriste appartienne à
un groupe.
1) Quel nombre maximal de groupes pourra-t-il faire ?
2) Combien y aura-t-il alors de choristes hommes et de choristes femmes dans chaque groupe ?
Exercice 24.
Un agriculteur possède un champs rectangulaire de 135 m sur 39 m. Sur les bords de son champs, il veut
planter des petits sapins espacés d’une même distance d’un nombre entier de mètres le plus grand
possible. De plus, il veut mettre un arbre à chaque coin. Combien d’arbre doit-il planter ? ( Commencer
par déterminer l’espace entre deux arbres ).
Exercice 25.
1) Démontrer que, quel que soit le nombre entier relatif n, le nombre 5n2 + 15 est un multiple de 5.
2) Démontrer que le nombre 4n3 + 16 n² est divisible par le nombre (n + 4 ).
Exercice 26. On veut déterminer les entiers naturels x et y tels que :
xy = 4 374
et
PGCD( x ; y ) = 27.
1) Démontrer que x = 27a et y = 27b avec a et b des entiers naturels et a > b.
2) Calculer le produit ab.
3) Déterminer toutes les valeurs de a et de b possibles.
4) En déduire toutes les valeurs de x et de y possibles.
Exercice 27. On considère la fraction A =
6n  2
, n étant un entier naturel.
14n  5
1) Démontrer que, quel que soit n : 14n – 5 = 2 ( 6n – 2) + 2n – 1
6n – 2 = 3 ( 2n – 1 ) + 1
2n – 1 = 1 ( 2n – 1 ) + 0
2) La fraction A est-elle irréductible pour tout entier naturel n ?
10
x>y
3ème
Arithmétique
Exercice 28.
Démontrer que tous les nombres de 3 chiffres, ces 3 chiffres étant identiques, sont divisibles par 37.
Exercice 29. Deux clubs de sports, l’un de 120 membres et l’autre de 144 membres, fusionnent. L’équipe
dirigeante sera constituée par des représentants des deux clubs et le nombre de représentants de chaque
club sera proportionnel au nombre de membres. Combien de représentants de chaque club y aura-t-il dans
l’équipe dirigeante sachant que cette équipe doit être la plus restreinte possible ?
10