Fiche élève

MODULE : TP D’ALGORITHMIQUE SUR LES PROBABILITES
Exercice 1 : lancer d’un dé à 6 faces
Partie A
On s’intéresse au lancer d’un dé équilibré à 6 faces.
Pour cela, on simule le lancer de ce dernier sur le logiciel de programmation XCAS à l’aide de
l’instruction rand.
Remarque : l’instruction rand(6) permet d’obtenir un nombre aléatoire entre 0 et 5. Or pour simuler
un lancer de dé il faut un entier entre 1 et 6, on utilise donc l’instruction rand(6)+1.
1) Ecrire un programme qui permet de simuler le lancer du dé c'est-à-dire qui permet
d’afficher un nombre aléatoire entre 1 et 6.
2) Simuler le lancer 10 fois, c'est-à-dire exécuter le programme 10 fois et noter les résultats
dans le tableau suivant :
3)
Numéro du
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
lancer
Face du dé
4) On décide de reproduire cette expérience un grand nombre de fois, ce nombre étant défini
avant le début de l’expérience. Il paraît alors fastidieux de reproduire la même démarche
que précédemment, Quelle instruction peut-on imaginer ?
Ecrire cet algorithme permettant d’afficher le résultat de chacun des lancers pour un
nombre de lancers donné.
Le rédiger sur le logiciel XCAS et le tester pour 15 lancers.
Remarque : en langage XCAS la boucle pour se rédige :
Donne le départ du compteur.
Ici 1
pour k de 1 jusque n
Faire
…
fpour;
le compteur k est automatiquement
incrémenté de 1 en 1.
Donne l’arrêt du compteur.
Ici lorsque le compteur est inférieur
ou égal à n.
Remarque : faire afficher le numéro du lancer dans l’exécution du programme
Partie B
On veut maintenant chercher le nombre d’apparitions de la face 6.
Ecrire un algorithme qui permet d’afficher ce résultat pour un nombre de lancers donnés.
Piste : modifier l’algorithme en utilisant une instruction conditionnelle.
Le tester sur le logiciel XCAS pour 1000 lancers.
1
Exercice 2 : lancer de 2 dés à 6 faces
Partie A
On s’intéresse maintenant à la somme des faces obtenues lors du lancer de 2 dés équilibrés à 6
faces.
1) Ecrire un algorithme qui permet de simuler cette expérience pour un lancer.
2) On veut réaliser cette expérience 10 fois sans à avoir à exécuter le programme à chaque
lancer.
a) En utilisant une boucle pour, écrire un algorithme qui permet de simuler l’expérience.
b) Ecrire ce programme sur le logiciel XCAS et simuler l’expérience pour 10 lancers.
Partie B
En réalisant la même expérience, on veut connaître le nombre d’apparitions de la somme 8.
Ecrire un algorithme qui permet d’afficher ce résultat pour un nombre de lancers donnés.
Le tester sur le logiciel XCAS pour 1000 lancers.
Exercice 3 : travail à la maison
On considère l’algorithme suivant :
Variables
n, S, k
Entrée
Saisir n
Initialisation
S prend la valeur 0
Traitement
Pour k allant de 1 jusqu’à n
S prend la valeur S+k
FinPour
Sortie
Afficher S
1) En détaillant chaque étape, faire fonctionner l’algorithme avec l’entrée 5. Pour cela
compléter le tableau suivant :
Etapes
Valeur de n
Valeur de k
Valeur de S
Initialisation :
2
2) Que calcule cet algorithme ?
Exercice 4 : travail en groupe – somme de 2 dés tétraédriques
Cette partie se fait en groupe 3 ou 4.
Le travail sera rendu sur feuille (1 feuille pour le groupe), et un groupe sera choisi de manière
aléatoire pour exposer son travail à la classe.
On lance deux dés tétraédriques (quatre faces en forme de triangles équilatéraux numérotées de 1
à 4) bien équilibrés, et on ajoute les deux faces obtenues. Les sommes possibles sont ainsi : 2, 3, 4,
5, 6, 7 et 8.
On s’intéresse à la probabilité de chaque somme possible.
1)
a) Ecrire un algorithme permettant de simuler l’expérience.
Tester ce dernier sur le logiciel XCAS.
b) Adapter l’algorithme précédent de façon à simuler N fois l’expérience et obtenir la
fréquence de réalisation de chaque somme possible sur ces N expériences, où N est un
entier.
Tester l’algorithme à l’aide du logiciel XCAS pour N=1000.
2) Peut-on affirmer que les sept valeurs possibles de la somme sont équiprobables ? Expliquer
la démarche.
3) Prolongement : Julie et Maxime jouent au jeu suivant :
À chaque lancer des deux dés :
 si la somme des faces vaut 5, Julie gagne 9 € (que lui donne Maxime) ;
 si la somme des faces vaut 6, Julie perd 10 € (qu’elle donne à Maxime) ;
 sinon, personne ne gagne ni ne perd d’argent.
On admet que le jeu ne s’arrête pas par manque d’argent de l’un ou de l’autre
a) Adapter l’algorithme de la question 1) de façon à simuler N parties, où N est un entier.
b) Peut-on dire que le jeu est à la faveur de Maxime ? Expliquer la démarche.
3
CORRECTION DU MODULE 7 : TP D’ALGORITHMIQUE SUR LES PROBABILITES
Exercice 1 : lancer d’un dé à 6 faces
Partie A
Partie B
Exercice 2
1)
2)
4
3ème partie : travail à la maison
5
Etapes
Valeur de n
Initialisation : on affecte 5 à n et 0 à S
5
Entrée dans la boucle pour : la valeur 1 est
affectée à k.
On calcule S+k=0+1=1 et on affecte le
résultat à S.
La valeur 2 est affectée automatiquement à
k.
On calcule S +k = 1 + 2 = 3 et on affecte le
résultat à S.
La valeur 3 est affectée automatiquement à
k.
On calcule S + k = 3 + 3 = 6 et on affecte le
résultat à S.
La valeur 4 est affectée automatiquement à
k.
On calcule S +ki = 6 + 4 = 10 et on affecte le
résultat à S.
La valeur 5 est affectée automatiquement à
k.
On calcule S + k = 10 + 5 = 15 et on affecte le
résultat à S.
k a atteint la valeur de n : on sort de la
boucle Pour.
On affiche la valeur de S : l’algorithme
renvoie 15.
Valeur de k
Valeur de S
0
1
1
2
3
3
6
4
10
5
15
Lorsque l’algorithme a été exécuté, les valeurs
des variables ne sont pas conservées pour les
exécutions suivantes.
4ème partie : travail en groupe – somme de 2 dés tétraédriques
1)
a) On peut simuler le lancer d'un dé tétraédrique bien équilibré à l'aide d'un générateur
d'entiers aléatoires entre 1 et 4. On peut donc ici :
 simuler le lancer de deux dés par deux générateurs d'entiers aléatoires entre 1 et 4,
 puis afficher la somme des résultats obtenus.
On peut éventuellement résumer la démarche par l'algorithme :
b) Il s'agit de recommencer N fois l'expérience précédente, en introduisant un compteur à
incrémenter pour chaque somme possible (qu'on aura initialisé à 0). Ainsi :
 on initialise les compteurs N2, N3, …, N7 et N8 à 0 ;
6
 on simule N fois le lancer de deux dés tétraédriques ; à chaque lancer, en notant i la somme
obtenue, on ajoute 1 au compteur Ni ;
 on conclut en affichant pour chaque somme i possible la fréquence Ni/N.
On peut éventuellement résumer la démarche par l'algorithme :
2) En observant la distribution des fréquences des sommes possibles sur plusieurs lancers, on
peut rejeter le modèle de l'équiprobabilité.
Ici on a représenté la distribution des fréquences pour une simulation de 2000 lancers :
7
3)
a) On propose :
 on initialise les gains (algébriques) de Julie (J) et Maxime (M) à 0 ;
 on simule N lancers de deux dés tétraédriques ; à chaque lancer, si la somme obtenue est 5,
alors on ajoute 9 au gain de Julie et on enlève 9 au gain de Maxime ; si la somme obtenue
est 6, alors on enlève 10 au gain de Julie et on ajoute 10 au gain de Maxime ;
 on affiche le gain de chacun à l'issue des N parties.
On peut éventuellement résumer la démarche par l'algorithme :
b) On peut simuler plusieurs parties, en notant les gains de Maxime. On peut choisir par
exemple de simuler plusieurs fois 100 parties, et regarder le gain de Maxime sur ces 100
parties.
On a noté ci-dessous les 10 résultats de 100 parties simulées :
-34 ; -75 ; -64 ; -92 ; 56 ; -139 ; 7 ; -25 ; -3 ; -63
On peut alors penser que le jeu n'est pas favorable à
Maxime dans la plupart des cas (le gain est plus souvent négatif que positif).
8