IREM DE STRASBOURG GROUPE STATISTIQUES LOI DU CHI-DEUX Définition : Soit X i i 1,...,n une suite de variables aléatoires indépendantes normales centrées réduites (c’est à dire telles que L Xi N 0,1 ). La somme des carrés des X i , S n X 2 i est une i1 variable aléatoire qui suit une loi du chi-deux à n degrés de liberté. On note L S Xn2 Propriétés : Si L S Xn2 alors E S n et Var S 2n Si L K1 Xn21 et L K 2 Xn22 et si K1 K2 alors L K1 K 2 Xn21n 2 Fonctions densité de probabilité de la loi du X n2 pour quelques valeurs de n. Une situation ou intervient la loi du chi-deux : Soit X i i 1,...,n un n-échantillon tel que L Xi N , avec et inconnus. Dans ce cas est estimé par : X 2 1 n 1 n 2 X S Xi X et par i c n 1 i 1 n i 1 n 1n Sc 2 2 n S2 1 n 2 2 2 S X X On a alors : L ou encore avec X L X i n 1 n 1 2 n i 1 2 769805532 23/02/02 1/4 Version du 18/04/17 IREM DE STRASBOURG GROUPE STATISTIQUES TEST D’ADEQUATION A UNE LOI On considère une variable X à r modalités pour laquelle on a une série statistique d’effectifs n1, n2 ,..., nr . On note n n1 n2 ... nr l’effectif total. On se demande si ces observations correspondent à la loi de probabilité définie sur les mêmes r modalités par les probabilités p1 , p2 ,..., pr . On veut tester H0 : L X p1 , p2 ,..., pr contre H1 : L X p1 , p2 ,..., pr On définit la statistique du X 2 d’adéquation par : r kh ni npi 2 npi Les ni sont les effectifs observés, n n1 n2 ... nr est l’effectif total et les npi sont les i 1 effectifs « théoriques » de chaque modalité. Propriété : Si l’hypothèse H 0 est vraie alors la statistique kh est la réalisation lorsque n et ni pour i 1,...r d’une variable aléatoire KH telle que L KH Xr2 1 . En pratique , nous utilisons cette loi asymptotique dés que n 50 et npi 5 pour i 1,...r . Si la condition npi 5 n’est pas remplie on regroupera les modalités voisines pour qu’elle soit remplie. Règle de décision : Pour un seuil donné, les tables du X 2 nous donnent une constante c0 telle que : P X r21 c0 . Si kh c0 j’accepte l’hypothèse H 0 au niveau 1 Si kh c0 je rejette l’hypothèse H 0 au seuil . 769805532 23/02/02 2/4 Version du 18/04/17 IREM DE STRASBOURG GROUPE STATISTIQUES Exemple : souris des villes et souris des champs. Dans une étude portant sur l’orientation spatiale chez les souris, les animaux de l’expérience ont été placés un par un au centre d’un labyrinthe radiaire comportant 8 allées orientées dans les huit directions de la rose des vents. Chaque animal s’est échappé par l’une de ces allées. Les expériences ont porté d’une part sur des souris de laboratoire et d’autre part sur des souris sauvages récemment capturées en un lieu situé au nord-est du laboratoire. Les répartitions des directions de fuite sont données dans le tableau ci-dessous. Directions Souris de laboratoire 17 25 13 28 19 20 22 16 N NO O SO S SE E NE Souris sauvages 26 17 9 2 3 16 33 54 On désire tester, dans le cas des souris de laboratoire d’une part puis dans le cas des souris sauvages l’hypothèse que le choix de la direction de fuite se fait au hasard. L’effectif total (160) ainsi que les effectifs théoriques des 8 modalités (20) vérifient les conditions d’application du test d’adéquation du X 2 . Directions N NO O SO S SE E NE Souris de laboratoire ni 17 25 13 28 19 20 22 16 160 npi (ni-npi)²/npi 20 0,45 20 20 20 20 20 20 1,25 2,45 3,20 0,05 0,00 0,20 20 0,80 8,40 Souris sauvages ni 26 17 9 2 3 16 33 54 npi (ni-npi)²/npi 20 1,80 20 20 20 20 20 20 0,45 6,05 16,20 14,45 0,80 8,45 20 57,80 106,00 160 Choisissons le seuil de 0.05. Le nombre de degrés de liberté est 8-1=7. La lecture dans la table du X 2 donne c0 14.07 . Dans le cas des souris de laboratoire : kh 8.4 est inférieur à c0 14.07 . Les écarts entre les valeurs observés et les valeurs théoriques ne sont pas significatifs et on accepte l’hypothèse H 0 au niveau 1 . Dans le cas des souris sauvages : kh 104 est largement supérieur à c0 14.07 . les écarts entre les valeurs observés et les valeurs théoriques sont significatifs et on rejette l’hypothèse H 0 au seuil . 769805532 23/02/02 3/4 Version du 18/04/17 IREM DE STRASBOURG GROUPE STATISTIQUES TABLE DE LA FONCTION DE REPARTITION DU X 2 Degré Probabilité 0,005 liberté 1 0,00 2 0,01 3 0,07 4 0,21 5 0,41 6 0,68 7 0,99 8 1,34 9 1,73 10 2,16 11 2,60 12 3,07 13 3,57 14 4,07 15 4,60 16 5,14 17 5,70 18 6,26 19 6,84 20 7,43 21 8,03 22 8,64 23 9,26 24 9,89 25 10,52 26 11,16 27 11,81 28 12,46 29 13,12 30 13,79 31 14,46 32 15,13 33 15,82 34 16,50 35 17,19 36 17,89 37 18,59 38 19,29 39 20,00 40 20,71 769805532 23/02/02 0,010 0,00 0,02 0,11 0,30 0,55 0,87 1,24 1,65 2,09 2,56 3,05 3,57 4,11 4,66 5,23 5,81 6,41 7,01 7,63 8,26 8,90 9,54 10,20 10,86 11,52 12,20 12,88 13,56 14,26 14,95 15,66 16,36 17,07 17,79 18,51 19,23 19,96 20,69 21,43 22,16 0,025 0,00 0,05 0,22 0,48 0,83 1,24 1,69 2,18 2,70 3,25 3,82 4,40 5,01 5,63 6,26 6,91 7,56 8,23 8,91 9,59 10,28 10,98 11,69 12,40 13,12 13,84 14,57 15,31 16,05 16,79 17,54 18,29 19,05 19,81 20,57 21,34 22,11 22,88 23,65 24,43 0,050 0,00 0,10 0,35 0,71 1,15 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94 4,57 5,23 5,89 6,57 7,26 7,96 8,67 9,39 10,12 10,85 11,59 12,34 13,09 13,85 14,61 15,38 16,15 16,93 17,71 18,49 19,28 20,07 20,87 21,66 22,47 23,27 24,07 24,88 25,70 26,51 0,100 0,02 0,21 0,58 1,06 1,61 2,20 2,83 3,49 4,17 4,87 5,58 6,30 7,04 7,79 8,55 9,31 10,09 10,86 11,65 12,44 13,24 14,04 14,85 15,66 16,47 17,29 18,11 18,94 19,77 20,60 21,43 22,27 23,11 23,95 24,80 25,64 26,49 27,34 28,20 29,05 4/4 0,900 2,71 4,61 6,25 7,78 9,24 10,64 12,02 13,36 14,68 15,99 17,28 18,55 19,81 21,06 22,31 23,54 24,77 25,99 27,20 28,41 29,62 30,81 32,01 33,20 34,38 35,56 36,74 37,92 39,09 40,26 41,42 42,58 43,75 44,90 46,06 47,21 48,36 49,51 50,66 51,81 0,950 3,84 5,99 7,81 9,49 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,68 21,03 22,36 23,68 25,00 26,30 27,59 28,87 30,14 31,41 32,67 33,92 35,17 36,42 37,65 38,89 40,11 41,34 42,56 43,77 44,99 46,19 47,40 48,60 49,80 51,00 52,19 53,38 54,57 55,76 0,975 5,02 7,38 9,35 11,14 12,83 14,45 16,01 17,53 19,02 20,48 21,92 23,34 24,74 26,12 27,49 28,85 30,19 31,53 32,85 34,17 35,48 36,78 38,08 39,36 40,65 41,92 43,19 44,46 45,72 46,98 48,23 49,48 50,73 51,97 53,20 54,44 55,67 56,90 58,12 59,34 0,990 6,63 9,21 11,34 13,28 15,09 16,81 18,48 20,09 21,67 23,21 24,73 26,22 27,69 29,14 30,58 32,00 33,41 34,81 36,19 37,57 38,93 40,29 41,64 42,98 44,31 45,64 46,96 48,28 49,59 50,89 52,19 53,49 54,78 56,06 57,34 58,62 59,89 61,16 62,43 63,69 Version du 18/04/17 0,995 7,88 10,60 12,84 14,86 16,75 18,55 20,28 21,95 23,59 25,19 26,76 28,30 29,82 31,32 32,80 34,27 35,72 37,16 38,58 40,00 41,40 42,80 44,18 45,56 46,93 48,29 49,65 50,99 52,34 53,67 55,00 56,33 57,65 58,96 60,27 61,58 62,88 64,18 65,48 66,77