Propositions pour le sujet du bacc. blanc

Bacc blanc - Décembre 2006
Corrigé de l'exercice de spécialité
Exercice II (5 points) (Pour les candidats qui ont choisi la spécialité Maths).
On se propose dans cet exercice d'étudier quelques propriétés des nombres qui s'écrivent en système décimal uniquement
avec le chiffre 1. Ainsi, N1 = 1, N2 = 11, N3 = 111, …
Pour k entier strictement positif, on note Nk le nombre qui s'écrit à l'aide de k chiffres 1,
Nk = 10k-1 + 10k-2 + … + 10 + 1.
1.
Citer deux nombres premiers inférieurs à 10 n'apparaissant jamais dans la décomposition d'un tel nombre Nk.
Justifier brièvement la réponse.
Les nombres 2 et 5 n'apparaissent jamais dans la décomposition d'un tel nombre Nk puisque les nombres Nk ont tous un
chiffre des unités égal à 1 et qu'un nombre est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est pair et qu'un nombre
est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.
2.
Donner la décomposition en facteurs premiers de N3 , N4 , N5 .
N3 = 111 = 337 ; N4 = 1111 = 11101 ; N5 = 11111 = 41271.
3.
On rappelle que pour tout nombre réel x et tout entier naturel n non nul,
xn - 1 = (x - 1)(xn-1 + xn-2 + … + x + 1).
On suppose que k n'est pas premier et que k = pq, où p et q sont différents de 1.
a) Démontrer que Nk est divisible par Np.
(10 p  1)(10 p ( q1)  ...  1)
10 k  1 10 pq  1
(10 p )q  1
=
=
=
= Np.(10p(q-1)+…+1).
9
9
9
9
Il en résulte que Nk est divisible par Np .
Nk = 10k-1 + 10k-2 + … + 10 + 1 =
b)
En déduire une condition nécessaire pour que Nk soit premier.
Cette condition est-elle suffisante ?
Pour que Nk soit premier il faut que k soit premier, sinon Nk est divisible par un nombre Np d'près la question a).
Cette condition n'est pas suffisante, comme on le voit par le contre-exemple de N3 où 3 est premier et N3 ne l'est pas.
Justifier en citant un théorème que 106  1 (7).
En déduire que, pour tout entier m multiple de 6, 10m  1 (7).
Le nombre 10 est premier avec 7, le théorème de Fermat montre alors que 106  1 (7).
Pour tout entier m multiple de 6, m = 6m', on a: 10m  106m'  (106)m'  1m'  1 (7) (compatibilité des congruences avec les
puissances).
4.
a)
b) Soit r le reste de la division d'un entier m par 6; on suppose que r  0. Démontrer que le reste de la division de 10m
par 7 est différent de 1.
On pose m = 6q+r , 0<r<6. On a: : 10m  106q+r  106q10r  10r (7) (compatibilité des congruences avec les
puissances).
Le tableau suivant montre qu'aucun de ces nombres 10r n'est congru à 1 modulo 7:
1
2
3
4
5
r
3
2
6
4
5
10r 
c) Déduire des questions 4.a) et 4.b) que 7 divise Nk si et seulement si k est multiple de 6.
Condition nécessaire: si 7 divise Nk , alors 7 divise 9Nk = 10k-1, ce qui donne que 10k -1  0 (7).
Ceci montre que 10k  1 (7) et les questions a) et b) montrent alors que k est multiple de 6.
Condition suffisant: Si k est multiple de 6, alors 10k - 1  0 (7) et par suite 7 divise 10k - 1 = 9Nk. Or 7 est premier avec 9.
Le théorème de Gauss montre alors que 7 divise Nk.
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Bacc blanc - Décembre 2007
Corrigé de l'exercice de spécialité
Énoncé:
Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres:
an = 410n - 1 ,
bn = 210n - 1 ,
cn = 210n + 1 .
1. a) Calculer: a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 , a3 , b3 , c3 .
b) Démontrer an et cn sont divisibles par 3.
c) Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 donnée ci-dessous, que b3 est un nombre
premier
d) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, bncn = a2n .
En déduire la décomposition en produit de nombres premiers de a6.
e) Montrer que: PGCD(bn,cn) = PGCD(cn,2)
En déduire que bn et cn sont premiers entre eux.
2. On considère l’équation : (1)
b3x + c3y = 1 , d’inconnues les entiers relatifs x et y.
a) Justifier le fait que (1) possède au moins une solution.
b) Appliquer l’algorithme d’Euclide aux nombres b3 et c3; en déduire une solution particulière de l'équation (1).
c) Résoudre l’équation (1).
Liste des nombres premiers inférieurs à 100:
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ;
43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.
________________________________________________________________________
Solution:
1. a) a1 = 39, b1 = 19, c1 = 21, a2 = 399, b2 = 199, c2 = 201, a3 = 3999, b3 = 1999, c3 = 2001.
b) 10  1 (3) d'où, pour tout entier naturel n, 10n  1 (3) par compatibilité des congruences avec les puissances.
D'autre part, 4  1 (3), ce qui donne par compatibilité des congruences avec la multiplication et l'addition:
an  410n - 1  11 - 1  0 (3) et cn  210n + 1  21 + 1  3  0 (3).
Les nombres an et cn sont donc divisibles par 3.
c) b3 = 1999 et 1999  44,7. Le nombre 1999 n'est divisible par aucun nombre premier inférieur à 44. Il est donc
premier.
d) bncn = (210n - 1)(210n + 1) = (210n)² - 1 = 410n - 1 = an.
e) 
On applique la propriété: PGCD(u;v) = PGCD(v;u-kv) avec u = bn , v = cn et k = 1:
PGCD(bn,cn) = PGCD(cn,bn-cn) = PGCD(cn;-2) = PGCD(cn;2)

Le nombre cn étant impair puisqu'il est de la forme 2p+1, PGCD(cn;2) = 1.
On en déduit que PGCD(bn;cn) = 1, ce qui montre que bn et cn sont premiers entre eux.
2. a) Comme b3 et c3 sont premiers entre eux, le théorème de Bézout montre qu'il existe au moins deux entiers relatifs x
et y tels que b3x + c3y = 1 , ce qui montre que l'équation (1) admet au moins une solution.
b) b3 = 1999 et c3 = 2001. Les divisions de l'algorithme d'Euclide donnent:
2001 = 19991 + 2
1999 = 2999 + 1
2 = 12 + 0
Ce qui justifie de nouveau que 1999 et 2001 sont premiers entre eux. Ces divisions donnent:
1 = 1999 - 2999 = 1999 - 999(2001 - 1999) = 19991000 - 2001999.
Une solution particulière de l'équation (1) est: (x0;y0) = ( 1000;-999).
c) Résolution de l'équation (1):

Soit (x;y) une solution de (1). On a: 1999x + 2001y = 1 et, d'après le b), 19991000 + 2001(-999) = 1. En soustrayant
membre à membre ces deux égalités, on obtient: 1999(x-1000) + 2001(y+999) = 0, ce qui donne:
1999(x-1000) = -2001(y-1) (1').
On en déduit que 1999, qui divise 1999(x-1000), divise 2001(y+999). Comme 1999 est premier avec 2001, d'après 1.c)
alors 1999 divise y+999, d'après le théorème de Gauss. On a donc: y+999 = 1999k (k  Î), soit y = 1999k -999, kÎ.
En remplaçant dans (1'), y+999 par 1999k, on obtient: 1999(x-1000) = -20011999k , ce qui donne x-1000 = -2001k et
x = -2001k + 1000.
On en déduit que, si (x;y) est une solution de (1), alors: (x;y) = (-2001k + 1000; 1999k -999), k  Î.

Réciproquement, si (x;y) = (-2001k + 1000; 1999k -999), k  Î., alors:
1999x + 2001y = 1999(-2001k+1000)+2001(1999k-999) = 1. Donc (x;y) est une solution de (1).
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
Conclusion: l'ensemble solution de l'équation (1) est: S = {(x;y) = (-2001k + 1000; 1999k -999), k  Î}.
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