cours - Stepec Muriel

Chapitre 11
Terminale S
LOIS DE PROBABILITES
I
Lois de probabilités discrètes
1)
Loi de Bernoulli
Sur le parcours de Matilda, il y a 3 feux tricolores. On suppose les réglages des feux indépendants
les uns des autres. Chaque feu reste vert pendant 25 secondes et il s'écoule 35 secondes avant qu'il ne
repasse au vert.
Construire un arbre de probabilités pour décrire complètement le trajet.
Définition:
2)
Un épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que 2 issues, l'une
appelée succès de probabilité p, l'autre appelée échec de probabilité 1-p
On appelle loi de Bernoulli une loi de la forme suivante:
issue
Succès (S)
Echec( S )
probabilité
p
1-p
Loi Binomiale
Reprenons l'exemple précédent. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de feux verts
rencontrés par Matilda sur son trajet.
1) Vérifier que p(X=1) = 3x Error! x Error! 2
2) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
La loi X est appelée loi binomiale de paramètre n = 3 et p = Error!
Remarque : (p + (1-p) )3 = p3 + 3p(1-p)2 + 3p2(1-p) + (1-p)3 on retrouve la formule du binôme.
Le nombre d'issues pour X=1 est 3 car cela correspond au nombre de partie de 1 élément parmi 3.
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Chapitre 11
Terminale S
En effet pour X=1 on a un V et deux V , les mots ainsi constitués s'obtiennent en plaçant un V dans 3
cases numérotées, donc le nombre de parties de 1 élément parmi 3, le nombre de choix possibles est
( 3;1 )
Définition:
Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes (c'est à dire que l'issue de l'une ne dépend pas de l'issue des épreuves
précédentes)
La variable aléatoire X à valeurs dans { 0,1,…,n} qui correspond au nombre de succès suit
la loi binomiale de paramètre n et p
Théorème:
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p
La loi X est définie par p (X=k) = ( n;k ) pk(1-p)n-k pour 0  k  n
L'espérance et la variance de X sont E(X) = n p et V(X) = n p(1-p)
Exercices : 1,4,7,8 p303
II
Lois de probabilités continues
Jusqu’à présent, on a définit une loi de probabilité sur un ensemble fini d’issues d’une expérience
aléatoire. Voici comment définir une loi de probabilité sur des intervalles.
1)
Loi de probabilité continues (ou à densité)
Définition :
On envisage deux situations I = [a ;b] ou I = [a ;+  [
f désigne une fonction continue positive sur l’intervalle I telle que :
si I = [a ;b] , alors Error! = 1
si I = [a ;+  [ , alors lim;
Error! = 1
x+
On définit alors la loi de probabilité sur I de densité f de la façon suivante :
Pour tout intervalle [c ;d]  I
P( c  X d ) = Error!
Dans le cas ou I = [a ;+  [ , alors pour tout intervalle [c ;+  [  I
P ( X  c) = Error!
Conséquences :
P ( X = c) = Error! = 0 donc P ( X  c) = P ( X < c)
Soit J et J’ deux intervalles formant une partition de I ( J
donc P ( X  c) = 1 - P ( X > c).
J’ = I ) alors on peut écrire P( J ) = 1 – P( J’)
Exemple :
Le choix au hasard d’un nombre réel dans un intervalle [-1 ;4] se modélise par une loi uniforme P sur
[1 ; 4] (car la probabilité d’obtenir un nombre x est la même que la probabilité d’obtenir y ) de densité
constante Error! ( car (4-(-1))x Error! = 1, l’aire doit être égale à 1)
Si l’on considère la loi uniforme définie précédemment :
la probabilité d’obtenir un réel égal à  est : P() = 0
la probabilité d’obtenir un réel positif est : P(0 X 4) =4 x Error! = Error!
-1
4
2)
Loi uniforme
a)
Loi uniforme sur [ 0 ;1]
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Chapitre 11
Définition :
Terminale S
La loi uniforme sur [0 ;1] a pour densité la fonction constante f définie sur [ 0 ; 1 ]
par f(x) =1
1
conséquence : si [a ; b ]  [0 ; 1] alors P( a<X<b) = b-a
0
b)
1
Loi uniforme
Définition :
La loi uniforme sur un intervalle [a ;b] (a < b) a pour densité la fonction constante
Error!
a
3)
b
Loi exponentielle
Définition :
La loi exponentielle de paramètre  sur [ 0 ; +  [ a pour densité la fonction f définie sur
[ 0 ; +  [ par f(x) = e -x , où  est un réel strictement positif.

Conséquences :
Pour tout intervalle [a ;b]  [0 ;+ [ on P( a X  b ) = Error! = [ - e-x ] ab = - e-b + e-a = e-a-e-b
P (X  0) = lim;
Error!
x+
=1
Exemple :
La durée de vie X (en h) d’un composant électronique a été modélisée par la loi exponentielle de
paramètre  = 0.0006 sur [0 ; +  [
1) Quelle est la probabilité qu’un de ces composants, pris au hasard, ait une durée de vie inférieure à
1000 heures ?
2) Quelle est la probabilité qu’un de ces composants, pris au hasard, soit encore en état de marche au
bout de 500 heures ?
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Chapitre 11
4)
Terminale S
Variables sans mémoires
On dit que la durée de vie est sans mémoire (ou sans vieillissement) lorsque la probabilité que le
composant fonctionne à l’instant t, ne dépend pas de t.
Définition :
Une variable aléatoire positive est sans mémoire (ou sans vieillissement) lorsque
pour tout t  0 et h  0, P ( X  t + h / X  t ) = P ( X  h )
Théorème :
Une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle est sans mémoire.
Réciproquement, si X est sans mémoire, alors sa loi est exponentielle.
Démon. : ROC montrer que X suit une loi exponentielle implique X sans mémoire
Demie vie :
Soit une variable aléatoire X sans mémoire ( qui suit donc une loi exponentielle).
On appelle demie vie la durée  telle que P(X<  ) = 0,5
Si  est le paramètre, P(X<  ) = 1-e , d’ou  = Error!
Exercices :13, 15, 17, 23p 303-304 , 45 p309, 57, 58 p311
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