Exercice 1 Trouver deux nombres a et b tels que leur ppcm est 2100 et la somme de leurs carrés est 12 681. On pose a' = da et b' = db où d est le pgcd(a ; b) avec pgcd(a' ; b') = 1. On a de plus md = ab ou encore md = a'b'd² ou enfin m = a'b'd Le système devient : a ' b ' d 2100 2 2 2 d a ' b ' 12681 On a 12681 = 3² 1409 donc, nécessairement d² = 3² ou d = 3 Le système devient : a ' b ' 700 2 2 a ' b ' 1409 On utilise une astuce qui permet de "fabriquer" lune identité remarquable dans la deuxième égalité. (a' + b')² = a'² + 2a'b' + b'² = 1409 + 2700 = 2809 = 53² Le système devient enfin : a ' b ' 700 a ' b ' 53 que l'on résout en résolvant l'équation X² – SX + P = 0 avec P = 700 et S = 53. (On pourrait aussi résoudre par substitution, et le résultat serait le même). S S ² 4 P 53 53² 4 700 53 3 X 2 2 2 Soient les solutions : a' = 25 et b' = 28 ou leurs symétriques a' = 28 et b' = 25 Soit, pour les valeurs de a et b : S = {(75 ; 84) ; (84 ; 75) } Exercice 2 1. Démontrer qu'il existe au moins deux entiers relatifs u et v tels que 13u – 23v = 1. Comme 13 et 23 sont premiers entre eux, il existe, d'après le théorème de Bézout, un couple (u ; v) vérifiant l'équation donnée. 2. Déterminer, à l'aide de l'algorithme d'Euclide, deux de ces entiers. 23 = 13 1 + 10 13 = 10 1 + 3 10 = 3 3 + 1 1 = 10 – 3 3 1 = 10 – 3 (13 – 10) = 10 – 3 13 + 3 10 = 4 10 – 3 13 1 = 4 10 – 3 13 = 4 (23 – 13) – 3 13 = 4 23 – 4 13 – 3 13 = 4 23 – 7 13 1 = 4 23 – 7 13 Le couple (– 7 ; – 4) est solution de l'équation 13u – 23v = 1. 3. Résoudre l'équation –156x + 276y = 24 dans l'ensemble des entiers relatifs. On peut diviser par 12 les deux membres de cette égalité et l'équation devient : – 13x + 23 y = 2 ou encore 13x – 23y = – 2 On sait, d'après la question 2 que le couple les valeurs x = – 7 (–2) = 14 et y = – 4 (– 2) = 8 sont des solutions particulières de cette équation. On a : 13x – 23y = – 2 1314 – 238 = – 2 __________________ 13(x – 14) – 23(y – 8) = 0 13(x – 14) = 23(y – 8) 13 divise le produit 23(y – 8) et est premier avec 23 donc il divise y – 8 d'après le théorème de Gauss. On a donc : y – 8 = 13k ou y = 13k + 8 (avec k entier relatif) En remplaçant dans l'équation (E) on obtient : 13(x – 14) = 23 13k ou encore x – 14 = 23k ou x = 23k + 14 Les solutions de l'équation –156x + 276y = 24 sont donc de la forme (23k + 14 ; 13k + 8) avec k entier relatif. Exercice 3 n étant un entier relatif quelconque, on pose a = n – 1 et b = n² – 3n + 6 Préliminaire : Démonstration de cours Démontrer que pgcd(a ; b) = pgcd (b ; a – bq) avec q entier relatif. 1. a. Montrer que le pgcd( a ; b) est égal au pgcd( a ; 4) On a n² – 3n + 6 = (n – 1)(n – 2) + 4, d'où le résultat. b. Déterminer, suivant les valeurs de n, le pgcd( a ; b) pgcd( a ; b) = pgcd( a ; 4) est égal à 1 ; 2 ou 4. n – 1 = 4k ou n = 4k + 1 n – 1 = 4k + 1 ou n = 4k + 2 n – 1 = 4k + 2 ou n = 4k + 3 n – 1 = 4k + 3 ou n = 4k 2. Pour quelles valeurs de n le nombre alors pgcd( a ; b) = 4 alors pgcd( a ; b) = 1 alors pgcd( a ; b) = 2 alors pgcd( a ; b) = 1 n ² 3n 6 est-il un entier relatif ? n 1 n² 3n 6 (n 1)(n 2) 4 4 n2 n 1 n 1 n 1 pour que ce nombre soit un entier relatif, il faut que n – 1 | 4, soit n–1=–4 n=–3 n–1=–2 n=–1 n–1=–1 n=0 n–1=1 n=2 n–1=2 n=3 n–1=4 n=5