M6. Théorème du moment cinétique.

E1. Electrocinétique : Lois générales dans le cadre de
l’approximation quasistationnaire, dipôles.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Intensité d’un courant électrique.
1.1. Courant électrique.
i) Définition.
ii) Sens du courant. Orientation d’un circuit.
1.2. Intensité d’un courant électrique.
i) Définition.
ii) Mesure. Ordre de grandeur.
1.3. Intensité conservative. ARQS.
i) Intensité conservative.
ii) Approximation des régimes quasistationnaires.
Potentiel et tension.
2.1. Energie potentielle d’un porteur de charge. Potentiel.
2.2. Tension entre deux points d’un circuit. Mesure.
2.3. Potentiel en un point.
Vocabulaire de l’électrocinétique.
Lois de Kirchhoff en régime stationnaire.
4.1. Loi des nœuds.
4.2. Loi des mailles.
4.3. Etude d’un réseau linéaire par les lois de Kirchhoff.
i) Position du problème.
ii) Exemple : Le pont de Wheatstone.
iii) Utilisation des symétries.
Etude énergétique d’un dipôle.
5.1. Conventions d’orientation.
5.2. Puissance électrique échangée par un dipôle en convention récepteur.
5.3. Fonctionnement générateur ou récepteur d’un dipôle.
Caractéristiques d’un dipôle.
6.1. Caractéristiques statiques.
6.2. Caractéristiques dynamiques.
6.3. Dipôles actifs ou passifs.
6.4. Dipôles linéaires.
Dipôles passifs linéaires fondamentaux.
7.1. Conducteur ohmique ou résistor.
i) Loi d’Ohm.
ii) Puissance échangée.
7.2. Condensateur idéal.
i) Relation courant tension.
ii) Aspect énergétique.
iii) Caractéristiques.
7.3. Bobine idéale.
i) Relation courant tension.
ii) Aspect énergétique.
iii) Caractéristiques.Dipôles actifs linéaires.
7.4. Sources indépendantes.
7.5. Sources commandées.
7.6. Modélisation d’un dipôle actif linéaire.
i) Caractéristique.
ii) Modélisation de Thévenin.
iii) Modélisation de Norton.
Exemples de dipôles non linéaires.
8.1. Varistance.
8.2. Electrolyseur.
8.3. Diode à jonction.
8.4. Alimentation stabilisée.
E2. Réseaux linéaires.
Théorèmes généraux.
1. Association en série de dipôles linéaires.
1.1. Cas général.
1.2. Association de dipôles de même type.
i) Association de résistors.
ii) Association de générateurs réels libres.
iii) Association de condensateurs idéaux.
iv) Association de bobines idéales.
1.3. Pont diviseur de tension.
2. Association en parallèle de dipôles linéaires.
2.1. Cas général.
2.2. Association de dipôles de même type.
v) Association de résistors.
2.3.
vi) Association de générateurs réels libres.
vii) Association de condensateurs idéaux.
viii) Association de bobines idéales.
Pont diviseur de courant.
3. Association de dipôles passifs non linéaires.
4. Association de dipôles linéaires passifs et actifs.
4.1. Circuit à une maille : Loi de Pouillet.
4.2. Circuits à plusieurs mailles.
ix) Lois de Kirchhoff.
a) Enoncé.
b) Position du problème.
x) Loi des nœuds en termes de potentiel.
xi) Théorème de Millman.
xii) Exemples.
5. Théorème d’Helmhotz de superposition.
5.1. Extinction d’une source.
5.2. Enoncé.
5.3. Exemple.
E3. Réseaux linéaires en régime transitoire.
Exemple du circuit (R, L,C).
6. Régime libre du circuit (R, C).
6.1. Equations différentielles.
6.2. Régime libre.
6.3. Aspect énergétique.
7. Régime libre du circuit (R, L).
7.1. Equations différentielles.
7.2. Régime libre.
7.3. Aspect énergétique.
8. Régime libre du circuit (R, L, C) série.
8.1. Equations différentielles.
8.2. Régime libre.
i)
Q < 1/2 : Régime apériodique.
ii) Q = 1/2 : Régime critique.
iii) Q > 1/2 : Régime pseudo-périodique.
8.3. Aspect énergétique.
i)
Cas général.
ii) Cas du régime non amorti.
iii) Cas du régime pseudo-périodique faiblement amorti.
9. Réponse à un échelon de tension.
9.1. Charge d’un condensateur.
9.2. Etablissement du courant dans un circuit inductif.
9.3. Cas du circuit (R, L, C ) série.
E4. Réseaux en régime sinusoïdal forcé.
10. Régime sinusoïdal forcé.
11. Représentation complexe d’une grandeur sinusoïdale.
12. Représentation de Fresnel d’une grandeur sinusoïdale.
12.1. Définition.
12.2. Représentation des dérivées et des primitives sinusoïdales.
13. Lois de Kirchhoff en notation complexe.
14. Impédances complexes.
14.1. Définitions.
14.2. Impédances des dipôles fondamentaux.
i)
Conducteur ohmique.
ii) Bobine idéale.
iii) Condensateur idéal.
14.3. Association d’impédances.
i)
Association série.
ii) Association parallèle.
15. Diviseurs de tension. Diviseurs de courant.
15.1. Diviseur de tension.
15.2. Exemple d’un diviseur de tension sans effet de filtrage.
15.3. Diviseur de courant.
16. Etude du circuit (R, L, C) série.
16.1. Impédance complexe du circuit
i)
Expression.
ii) Introduction des variables non dimensionnées de fréquence et d’amortissement.
iii) Graphes Z(x) et  (x) pour différentes valeurs de Q.
16.2. Réponse en intensité.
i)
Amplitude et déphasage de l’intensité.
ii) Résonance en intensité.
iii) Bande passante.
16.3. Réponse en tension aux bornes du condensateur
i)
Amplitude et déphasage de la tension.
ii) Résonance en tension
17. Lois et théorèmes généraux en régime sinusoïdal forcé.
17.1. Loi des nœuds en termes de potentiels. Théorème de Millman.
17.2. Théorème de superposition.
E5. Fonctions de transfert des réseaux linéaires.
18. Fonction de transfert.
18.1. Ordre d’un circuit linéaire.
18.2. Fonction de transfert.
i)
Définition.
ii) Nature.
18.3. Propriétés des fonctions de transfert.
i)
Dépendance de H (j ) avec la charge.
ii) Module et argument.
iii) Chaîne d’étages en cascade : factorisation.
19. Filtre parfait.
19.1. Définition.
19.2. Fonction de transfert d’un filtre parfait.
19.3. Filtres fondamentaux.
20. Diagramme de Bode.
20.1. Gain d’un filtre en décibels.
20.2. Diagramme de Bode.
i)
Définition
ii) Etude asymptotique et diagramme asymptotique.
iii) Bande passante.
21. Filtre passe-haut d’ordre 1.
21.1. Fonction de transfert.
21.2. Courbe de réponse en gain.
21.3. Courbe de réponse en phase.
22. Filtre passe-bas d’ordre 2.
22.1. Fonction de transfert.
22.2. Courbe de réponse en gain.
22.3. Courbe de réponse en phase.
23. Filtre passe-bande d’ordre 2.
23.1. Fonction de transfert.
23.2. Courbe de réponse en gain.
23.3. Courbe de réponse en phase.
24. Relation entre fonction de transfert et équation différentielle d’un système linéaire. Réponse fréquentielle.
25.
E6. Filtres actifs du second ordre.
26. Définition.
27. Filtre passe-bande d’ordre 2 : Structure de Sallen et Key.
27.1. Structure de Sallen et Key.
27.2. Filtre passe-bande de Sallen et Key.
27.3. Fonction de transfert.
27.4. Stabilité du montage.
27.5. Diagramme de Bode.
28. Filtre passe-bas d’ordre 2 : Structure de Rauch.
28.1. Structure de Rauch.
28.2. Filtre passe-bas de Rauch.
28.3. Fonction de transfert.
28.4. Diagramme de Bode.
E7. Puissance en régime sinusoïdal forcé.
29. Définitions.
29.1. Puissance instantanée.
29.2. Puissance moyenne. Facteur de puissance.
i)
Moyenne temporelle d’une grandeur g(t).
ii) Puissance moyenne.
29.3. Expression du facteur de puissance.
29.4. Autres expressions de la puissance active.
30. Valeurs efficaces.
30.1. Définition.
30.2. Intensité et tension efficaces.
i)
Régime harmonique.
ii) Cas d’une tension symétrique en créneaux.
30.3. Puissance active et valeurs efficaces.
31. Adaptation d’impédances.
32.
33.
¤ PCSI ¤
M1. Cinématique du point.
1.
Propos de la cinématique.
2.
Cadre spatio-temporel de la cinématique newtonienne.
2.1. Notion d’événement.
2.2. Repère de temps.
2.3. Repères d’espace.
2.4. Notion de référentiel.
i)
Définition.
ii)
Référentiels usuels.
iii)
Mouvement.
iv)
Trajectoire d’un point mobile.
v)
Relativité du mouvement.
2.5. Hypothèses implicites de la mécanique newtonienne.
3.
Systèmes usuels de coordonnées.
3.1. Coordonnées cartésiennes.
3.2. Coordonnées cylindro-polaires.
i)
Repérage d'un point.
ii)
Base locale.
iii)
Relations entre les coordonnées cylindro-polaires et cartésiennes.
3.3. Coordonnées sphériques.
i)
Repérage d'un point.
ii)
Base locale.
4.
Dérivation d'une fonction vectorielle.
4.1. Définition.
4.2. Propriétés.
4.3. Expression de la dérivée en coordonnées cartésiennes.
4.4. Dérivée des vecteurs de la base locale des coordonnées cylindro-polaires.
5.
Vitesse d'un point.
5.1. Vecteur vitesse.
5.2. Expression en coordonnées cartésiennes.
5.3. Expression en coordonnées cylindro-polaires.
6.
Accélération d'un point.
6.1. Vecteur accélération.
6.2. Expression en coordonnées cartésiennes.
6.3. Expression en coordonnées cylindro-polaires.
7.
Exemples de mouvements.
7.1. Mouvement de vecteur accélération constant.
7.2. Mouvement rectiligne sinusoïdal.
7.3. Cas du mouvement circulaire.
8.
Hodographe.
8.1. Espace des vitesses.
8.2. Définition de l'hodographe.
M2. Dynamique du point dans un référentiel galiléen.
1. Masse et quantité de mouvement d’un point matériel.
1.1. Masse.
1.2. Quantité de mouvement.
2. Forces exercées sur un point matériel.
2.1. Définition.
2.2. Additivité des forces.
2.3. Classification des forces.
2.4. Forces usuelles en mécanique.
i)
Force gravitationnelle. Force électrique.
ii) Tension d’un ressort.
iii) Contact entre deux solides.
iv) Forces de frottement fluide. Résistance de l’air.
3. Lois de Newton.
3.1. Première loi de Newton : Principe de l’inertie.
v)
Enoncé.
vi)
Référentiel galiléen.
Deuxième loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique.
vii)
Enoncé.
viii)
Relativité galiléenne.
3.3. Troisième loi de Newton : Principe des actions réciproques.
ix)
Enoncé.
x)
Conservation de la quantité de mouvement.
4. Applications.
4.1. Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme.
xi) Sans résistance de l’air. Mouvement parabolique
xii) Cas d’une force de frottement proportionnelle à la vitesse.
Mouvement d’une masse accrochée à un ressort dont l’autre extrémité est fixe.
3.2.
M3. Puissance et énergie.
1. Puissance d’une force.
1.1. Définition.
1.2. Exemples de forces de puissance nulle.
1.3. Additivité.
2. Travail d’une force.
2.1. Travail élémentaire.
i)
Définition.
ii)
Expression.
2.2. Travail au cours d’un déplacement fini.
2.3. Forces conservatives.
i)
Définition.
ii) Exemples.
a)Particule dans le champ de pesanteur.
b) Particule chargée dans le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle.
c)Particule soumise à l’action d’un ressort.
3. Théorème de l’énergie cinétique. Cas d’un référentiel galiléen.
3.1. Théorème de la puissance cinétique.
3.2. Théorème de l’énergie cinétique.
3.3. Théorème de l’énergie cinétique et équation du mouvement. Exemple.
4. Energie potentielle dans les problèmes à un degré de liberté.
4.1. Définition.
4.2. Energies potentielles de quelques champ de forces.
i)
Energie potentielle newtonienne.
ii) Energie potentielle de pesanteur.
iii) Energie potentielle élastique.
4.3. Expression du champ de force à partir de l’énergie potentielle dont il dérive.
4.4. Equilibre d’un point matériel dans un champ de forces.
i)
Problème à un degré de liberté.
ii) Condition d’équilibre.
iii) Stabilité de l’équilibre.
5. Energie mécanique d’un point matériel.
5.1. Définition.
5.2. Théorème de l’énergie mécanique. Cas d’un référentiel galiléen.
5.3. Conservation de l’énergie mécanique. Intégrale première de l’énergie.
5.4. Discussion qualitative d’un mouvement à un degré de liberté en évolution conservative.
M4. Oscillateur harmonique. Oscillateur amorti.
1. Oscillateur harmonique.
1.1. Définition.
1.2. Propriétés.
1.3. Evolution de x(t).
1.4. Etude énergétique.
i)
Invariant de l’énergie mécanique.
ii) Equipartition de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle.
1.5. Exemple du pendule élastique vertical.
2. Portrait de phase.
2.1. Définition.
2.2. Propriétés des trajectoires de phase.
2.3. Portrait de phase d’un oscillateur harmonique.
2.4.
iii)
Equation des trajectoires de phase.
iv)
Portrait de phase dans le plan ( x,
y  x
o
).
v)
Aspect énergétique.
Portrait de phase d’un pendule simple en évolution conservative.
3. Oscillateur harmonique amorti par frottement visqueux.
3.1. Equation différentielle du mouvement.
3.2. Nature du mouvement.
3.3. Etude énergétique.
vi) Puissance des forces de frottement.
vii) Cas du régime pseudo-périodique.
3.4. Portrait de phase.
viii) Point attracteur.
ix) Aspect énergétique. Irréversibilité.
M5. Oscillations forcées. Résonances.
1. Modèle de l’oscillateur étudié.
1.1. Description : Oscillations forcées par déplacement de l’oscillateur.
1.2. Equation différentielle du mouvement. Solution générale de la réponse en élongation.
2. Réponse forcée à une excitation sinusoïdale.
2.1. Importance de ce cas.
2.2. Réponse harmonique en élongation.
i)
Solution de la réponse en élongation. Méthode de la représentation complexe.
ii) Etude de Xm(u).
iii) Etude du déphasage de la réponse en élongation.
2.3. Réponse harmonique en vitesse.
iv) Expression de l’amplitude complexe de la vitesse.
v)
Etude de Vm(u).
vi) Etude du déphasage de la réponse en vitesse.
2.4. Impédance mécanique.
2.5. Etude énergétique.
3. Analogies électromécaniques.
M6. Théorème du moment cinétique.
1. Moment d’une force.
1.1. Outil mathématique : produit vectoriel.
1.2. Moment d’une force par rapport à un point.
1.3. Moment d’une force par rapport à un axe orienté.
2. Moment cinétique d’un point matériel dans un référentiel R.
2.1. Moment cinétique par rapport à un point.
2.2. Moment cinétique par rapport à un axe orienté.
3. Théorème du moment cinétique dans un référentiel galiléen R.
3.1. Théorème du moment cinétique par rapport à un point fixe d’un référentiel galiléen.
3.2. Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe d’un référentiel galiléen.
3.3. Conservation du moment cinétique : Mouvement à force centrale.
i)
Définition.
ii) Conservation du moment cinétique.
iii) Mouvement plan. Loi des aires.
iv) Formules de Binet.
M7. Force centrale conservative. Mouvement newtonien.
1. Force centrale conservative.
1.1. Définition
1.2. Champ de force consevatif.
1.3. Attraction et répulsion.
1.4. Interaction newtonienne.
i) Interaction de gravitation.
Loi de gravitation.
Champ de gravitation.
ii) Interaction coulombienne.
iii) Fonction énergie potentielle.
2. Lois de conservation.
2.1. Conservation du moment cinétique.
i) Loi des aires. Deuxième loi de Kepler.
ii) Formules de Binet. Rappels
2.2. Conservation de l’énergie mécanique.
i) Expression.
ii) Energie potentielle effective.
iii) Discussion qualitative du mouvement radial
2.3. Loi de conservation caractéristique de l’interaction newtonienne : Conservation du vecteur de Runge-Lenz.
3. Mouvement newtonien.
3.1. Equation des trajectoires.
i) Première méthode : Conservation de l’énergie mécanique.
ii) Deuxième méthode : Vecteur de Runge-Lenz.
iii) Troisième méthode : Relation fondamentale de la dynamique.
3.2. Relation entre excentricité et énergie mécanique.
3.3. Mouvement hyperbolique ( e > 1 ).
3.4. Mouvement parabolique ( e = 1 ).
3.5. Mouvement elliptique ( 0 < e < 1 ).
i) Première loi de Kepler.
ii) Troisième loi de Kepler.
iii) Variation de la vitesse sur l’ellipse.
3.6. Cas particulier où e = 0.
4. Mouvement des satellites terrestres.
4.1. Cadre de l’étude.
4.2. Vitesses cosmiques.
i) Vitesse circulaire.
ii) Vitesse parabolique.
M8. Changements de référentiels.
Cinématique.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Position du problème et notations.
Translation. Rotation autour d'un axe fixe.
2.1. Translation.
2.2. Rotation autour d'un axe fixe.
Dérivées d'un vecteur par rapport au temps relatives à R et R’.
3.1. R’ est en rotation autour d'un axe fixe de R.
i)
Description des référentiels.
ii)
Dérivée dans R des vecteurs unitaires de R’.
iii)
Dérivées d'un vecteur dans R et dans R’.
3.2. R’ est en translation par rapport à R.
3.3. R’ est en mouvement quelconque par rapport à R.
Composition des vecteurs rotation.
Composition des vitesses.
5.1. Loi de composition.
5.2. Point coïncident. Vitesse d'entraînement.
5.3. Cas particuliers.
i)
Cas d'une translation de R’ par rapport à R.
ii)
Cas où R’ est en rotation par rapport à R autour d'un axe fixe.
Composition des accélérations.
6.1. Loi de composition.
6.2. Accélération d'entraînement.
6.3. Accélération de Coriolis.
M9. Dynamique du point dans un référentiel non galiléen.
Forces d’inertie.
1. Loi de la dynamique dans un référentiel non galiléen.
1.1. Caractère galiléen d’un référentiel
1.2. Enoncé du principe fondamental dans un référentiel non galiléen.
1.3. Cas particuliers.
i)
1.4.
Translation.
a)Mouvement de translation suivant un axe horizontal.
b) Mouvement de translation d’une cabine d’ascenseur suivant la verticale.
1.3.i.b.1.
Poids apparent.
1.3.i.b.2.
Impesanteur
ii) Rotation uniforme autour d’un axe fixe.
Statique du point matériel dans un référentiel non galiléen.
2. Théorème du moment cinétique dans un référentiel non galiléen.
3. Energie cinétique et puissance en référentiel non galiléen
3.1. Théorème de l’énergie cinétique.
3.2. Forces d’inertie non conservatives.
i)
Cas général.
ii) Cas d’un référentiel R’ non galiléen en rotation autour d’un axe fixe d’un référentiel R galiléen.
3.3. Energie mécanique d’un pont matériel dans un référentiel non galiléen.
M10.Caractère galiléen approché du référentiel géocentrique ou
d’un référentiel terrestre.
1. Les référentiels d’étude. Hypothèses et notations.
2. Dynamique dans le référentiel géocentrique.
2.1. Relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel géocentrique.
2.2. Terme différentiel ou terme de marée.
2.3. Caractère quasi-galiléen du référentiel géocentrique en domaine terrestre.
2.4. Effets du terme différentiel.
i) Effet d’accélération différentiel.
ii) Théorie statique des marées océaniques.
3. Dynamique dans le référentiel terrestre.
3.1. Expression de la loi fondamentale de la dynamique dans le référentiel terrestre.
3.2. Définition expérimentale du poids d’un corps.
3.3. Relation fondamentale de la dynamique simplifiée.
3.4. Importance des termes axifuge et de Coriolis.
3.5. Mise en évidence de la force de Coriolis terrestre.
i) Mouvement dans le plan horizontal : déviation d’une particule mobile dans l’hémisphère nord.
ii) Mouvement vertical : déviation vers l’est lors d’une chute libre.
M11. Système de 2 points matériels.
1. Eléments cinétiques.
1.1. Barycentre.
1.2. Résultante cinétique.
i)
Définition.
ii) Vitesse du barycentre.
1.3. Moment cinétique.
i)
Définition.
ii) Moment cinétique par rapport à un axe.
1.4. Energie cinétique.
1.5. Référentiel barycentrique.
i)
Définition.
ii) Résultante cinétique dans R*.
iii) Moment cinétique barycentrique.
1.6. Théorèmes de Kœnig.
i)
Théorème de Kœnig relatif à l’énergie cinétique.
ii) Théorème de Kœnig relatif au moment cinétique.
2. Etude dynamique.
2.1. Forces extérieures et forces intérieures à un système.
2.2. Théorème de la quantité de mouvement.
2.3. Théorème du moment cinétique.
i)
Expression dans un référentiel galiléen.
ii) Théorème du moment cinétique barycentrique.
iii) Théorème scalaire du moment cinétique.
2.4. Cas d’un référentiel non galiléen.
2.5. Lois de conservation.
3. Etude énergétique.
3.1. Puissance des forces intérieures.
3.2. Théorème de l’énergie cinétique.
i)
Théorème de la puissance cinétique.
ii) Théorème de l’énergie cinétique.
3.3. Energie potentielle.
i)
Cas des forces intérieures.
ii) Energie potentielle totale.
3.4. Energie mécanique.
i)
Définition.
ii) Théorème de l’énergie mécanique.
4. Système isolé de deux points matériels. Réduction canonique.
4.1. Réduction canonique d’un problème à deux corps.
i)
Notation. Hypothèses. Objet du problème.
ii) Mouvement d’ensemble des particules. Caractère galiléen du référentiel barycentrique.
iii) Mouvement relatif des particules.
iv) Mouvement des particules dans R.
v)
Mouvement barycentrique des particules. Réduction canonique.
4.2. Lois de conservation.
i)
Conservation de la quantité de mouvement.
ii) Conservation du moment cinétique.
iii) Energie cinétique.
iv) Conservation de l’énergie mécanique.
v)
Energie potentielle effective.