Leçon 22

Leçon 22
Vibrations transversales d'une corde : équation de propagation. Corde de
Melde : ondes stationnaires, résonance (PC).
------------------Bibliographie : distinguer la corde (ondes progressives) de la corde de Melde (ondes stationnaires, résonance).
 Tec & Doc Ondes : chapitre 4. Le mieux.
 Ellipses Ondes : dur deux chapitres. Bien aussi.
 Hachette Ondes : chapitre 2. Moyen mais bien pour les manips ; défaut : ne montre pas bien que les ondes
stationnaires sont dues aux conditions aux limites alors que TecDoc le fait.
 Dunod Méca des Fluides : chapitre 10. Moyen.
I. EQUATION DE D’ALEMBERT POUR UNE CORDE :
On prend comme modèle la corde en caoutchouc dirigée suivant Ox, & une perturbation transversale (définir les ondes transversales & longitudinales) suivant Oy.
1. Les hypothèses du modèle : on suppose que :
 il n’y a pas de pertes d’énergie de l'onde dans le milieu ;
 le milieu est homogène & isotrope ;
 le milieu n’est pas dispersif ;
Il résulte de la première hypothèse qu’il n'y a pas amortissement de l'onde, & des autres que la vitesse de
dx
propagation de l’onde V 
est une constante.
dt
2. Etablissement de l'équation de propagation à une dimension pour une corde : bien préciser
dm
 cste , & on
les 3 hypothèses de calcul. On isole une tranche dx de corde, de masse linéique  
dl
appelle x, t  l'angle entre la tangente à la corde & l'horizontale, supposé petit (hypothèse 1). La corde

est tendue avec la tension F appliquée à l’extrémité. On appelle T x, t  la tension de la corde en un point
& à un instant quelconques. La vibration étant transversale, l’accélération est seulement suivant Oy (hypothèse 2). La projection de la RFD donne alors (en négligeant la pesanteur, hypothèse 3, justifiée sur la
corde entière qui est soutenue, donc le poids est compensé par des réactions, mais moins net sur
l’élément) :
2 y
 T  x  dx, t . sin  x  dx, t   T x, t . sin x, t 
t 2
sur Ox : 0  T x  dx, t . cos x  dx, t   T x, t . cos x, t  . Au premier ordre : la norme de la tension
sur Oy : dx
est une constante T = F, & un DL donne : dx
l'équation de d'Alembert :
3.
Intégration
de
2 y
x 2

1 2 y
V 2 x 2
l'équation
2 y
t 2
 F .dx.
 0, avec V 
de
F
.

propagation
  x  Vt,   x  Vt , l’équation d'onde devient
y

2 y
  , d’où
 F .dx.
, car tan  
2
x
x
x
:
par
le
changement
de
variable
2
 y
 0 , dont la solution est : y,   F ()  G() ,

soit aussi :
yx, t   F x  Vt   Gx  Vt  .
4. Le théorème de Fourier : l’onde, phénomène périodique, peut être décomposée en série de Fourier, ce qui revient à prendre des cosinus pour les fonctions F & G. L'argument des cosinus étant néces-
sairement sans dimension s'écrira : k. (x ± V. t). La double périodicité (en x & t) implique :   kV &
  VT . Définir l'onde plane (purement sinusoïdale), & donc une onde quelconque est donc une superposition d’ondes planes.
5. Généralisation : pour une onde se propageant suivant une direction quelconque, l'équation du
plan d'onde fournit l’expression de la phase, d’où on déduit la forme la plus générale d’une onde plane


en notations réelles : f  Fo cos t  k .r & en complexes : f  Re f  Fo exp j t  k .r , où
 2 



k 
u est appelé vecteur d'onde. Alors
 j ,    jk & la relation de dispersion 2  k 2V 2

t
conduit à la forme la plus générale de l'équation d’onde, ou équation de d’Alembert. Interprétation :
l'équation d’onde étant en V2, ne distingue pas V & -V (onde incidente & onde réfléchie). Les deux
termes apparaissent toujours dans la solution mathématique, ce sont les conditions aux limites qui déterminent le choix :





 milieu ouvert (infini) : pas de conditions aux limites, pas d’onde réfléchie, paramètres continus, onde
progressive (x & t dans le même cosinus).
 milieu fermé (fini) : conditions aux limites, onde réfléchie, paramètres discontinus, onde stationnaire
(x & t dans des cosinus différents).
II. CORDE DE MELDE :
Pour la corde en caoutchouc, on a deux types de conditions aux limites : une extrémité est nécessairement tenue, l'autre est libre ou non. Montrer (manip) que l'onde réfléchie est de l'autre côté si la corde
est libre, & du même côté sinon. Comme on a en vue la corde de Melde, on suppose une corde fixée à
ses deux extrémités (malgré le vibreur), d’où les conditions aux limites : y (x = 0, t) = y (x = L, t) = 0,
t . D’après ce qui précède, on a : y x, t   Yo cost  kx  Y 'o cost  kx .
1. Calcul de y(x, t) : on écrit les deux conditions aux limites :
 en x = 0 : y x  0, t   Yo cos t  Y 'o cos t  0  Y 'o  Yo (réflexion totale de l'onde) & on transforme la différence de cosinus en produit : y x, t   2Yo sin t sin kx .
2L
En x = L : 2Yo sin t sin kL  0  kL  n   n 
quantification. D’où la solution :
n
 x   Vt 
y  x, t    Yon sin  n  sin  n  , ressemble à une série de Fourier. Dans le cas de l'acoustique,
L
 L 
n
l’ensemble des {Yon} constitue le timbre responsable de la richesse du son (violon par exemple), le diapason ne fournissant que le fondamental, donc purement sinusoïdal.
2L
Vt
& n  n .
n
L
Si ces conditions sont vérifiées, on a la condition de résonance. Préciser que n = 1 correspond au fondamental, n = 2 à l'harmonique 2, etc.. & montrer comment sortir les sons sur une corde de guitare par
exemple. Manip : montrer à l'aide du stroboscope que les ondes ne sont stationnaires que si la condition
de résonance est réalisée. Dans ce cas, on peut vérifier les relations précédentes, n étant donné par le
nombre de fuseaux.
2. Interprétation : les longueurs d'onde & les pulsations possibles sont :  n 
Chaque terme de la série de Fourier correspond à un mode propre. Au sens des mathématiques, c'est
un vecteur propre, qui correspond donc à la résonance. Si on connaît bien le sujet, on peut faire
l’analogie avec la Mécanique Quantique (fonction d’onde, mesure). La notion de paquet d’onde correspond à une variation continue, & la série de Fourier devient l'intégrale de Fourier.