Modèle mathématique.
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UPVM Sciences DAEU-B MATHS G.Lauton ; Y.Bourekh ; N.Gonzalez THÈME N°2 : NOMBRES RATIONNELS ET REELS 2008/2009 ) FRACTIONS ET PROPORTIONNALITE [ ajout ] II) DES NOMBRES QUI NE SONT PAS RATIONNELS Ex .1 Ex II.1 : 1) Deux fontaines rempliraient un bassin : la première en 2 h. et la seconde en 3 h. Un robinet placé à sa base le viderait en 4 heures. Connaissez-vous des nombres qui ne sont pas rationnels ? a) Si l’on ouvre les 2 fontaines et que l’on ferme le robinet, quel est le temps mis pour remplir le bassin ? On va montrer que 2 n’est pas rationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction. b) Si l’on ouvre les 2 fontaines et le robinet pendant 1 heure, quelle est la fraction du bassin sera remplie ? 2 est-il rationnel4 ? Lesquels ? On va raisonner par l’absurde, et donc supposer que s’écrire sous la forme d’une fraction. 2 peut A) Question préliminaire 2) Deux ouvriers travaillant ensemble feraient un ouvrage en 20 heures. Le premier seul le ferait en 32 heures. 1) Si un nombre n est pair, son carré est-il pair ou impair ? a) Quel serait le temps mis par le second pour réaliser cet ouvrage seul ? 2) Même question si n est impair. b) Quelle fraction de l’ouvrage le premier fait-il de plus que le second ? 3) Si n2 est pair, que peut-on dire de n ? Justifier à l’aide de l’une des questions précédentes. I) DECIMAUX ET RATIONNELS B) Supposons qu’il existe 2 entiers p et q tels que 2 = Error! avec Error! irréductible, autrement dit p et q premiers entre eux. Ex I.1 a) Le nombre Error! est-il décimal1 ? 2 b) Effectuer la division de 13 par 11. Donner une troncature au millième du quotient, puis un arrondi au millième. c) Peut-on prévoir quels seront les quinzième et vingtième chiffres après la virgule si l’on poursuit la division de 13 par 11 ? 2) On considère le nombre a = 3,128282828….dont la partie décimale se poursuit par une alternance sans fin de 2 et de 8. a) Calculer la différence 1000 a – 10 a. b) En déduire que le nombre a est un nombre rationnel3 que l’on précisera. 1) Démontrer dans ces conditions que p2 = 2q2 et en déduire que p est pair. Expliquer pourquoi q est alors impair. 2) Puisque p est pair, notons k le nombre entier tel que p = 2k. Démontrer que 2k2 = q2 et en déduire que q est pair. 3) En déduire que Ex II.2 : Calculs de radicaux.. 1) a) Calculer la hauteur d’un triangle équilatéral en fonction du côté a du triangle. b) Même question avec la diagonale d’un carré. 2) Écrire les nombres sous la forme a b (a Є Z, b Є ℕ) a) 6 5 – Ex I.2 1) Citer 2 nombres entiers, 2 décimaux et 2 rationnels. 2) Le nombre 2 est-il décimal ? Est-il rationnel ? Pourquoi ? 3) Le nombre 3,55 est-il rationnel ? Pourquoi ? 4) Le nombre Error! est-il rationnel ? Est-il décimal ? Pourquoi ? Compléter : 5) Un nombre entier est un aussi un nombre ……………………………………… 2 est irrationnel. 20 – 45 b) 3 3 + 5 12 - 75 3) Développer et réduire : a) ( 2 + 3)2 b) ( 2 - 5)2 4) Soit l’expression A(x) = (x - c) (2 5 + 2 3) – (x + 6)(2 5 - 6) 2 3) , x Є ℝ a) Développer A(x) b) Factoriser A(x) c) Calculer A( 5) 5) Montrer que Error! a pour inverse Error! 6) Soit B = 3 + 2 2 - 3 - 2 2 C = Error! Montrer que B2 est un entier, et que C est un nombre rationnel. L’ensemble des nombres réels est noté ……………………………… et…………………………………………… Ainsi, l’ensemble des nombres entiers (noté ……………………..) est ………………………… dans l’ensemble des nombres décimaux (noté ……………………) qui est lui-même …………………………… dans l’ensemble des nombres rationnels (noté ………………………….) III) VALEUR ABSOLUE ET ENCADREMENT DANS ℝ Activité III.1 1) On considère la droite graduée ci-dessous, où sont placés les points A(-7), B(5), C(-1), D(2) et O(0). 1 A -7 -6 -5 -4 -3 -2 C O -1 0 D 1 B 2 3 4 Calculez les distances suivantes, en détaillant le calcul que vous avez effectué: BD = ...... AB = ...... OD = ...... OC = ...... 5 6 7 CD = ...... AC = ...... 2) Toujours sur ce même axe gradué, on considère maintenant un point M d'abscisse variable x , noté M (x) . Calculez les distances suivantes en fonction de x : a) Si x < 5 , BM = ...... b) Si x > 5 , BM = ...... c) Si x = 5 , BM = ...... 3) Procédez de même pour calculer, en fonction de x, la distance OM . Cette distance entre le point M d'abscisse x et le point O d'abscisse 0 s'appelle la valeur absolue de x, notée ∣x∣ . ∣x∣ = x si ...... ∣x∣ = −x si ...... 4) On considère maintenant un autre point fixe quelconque N (x0 ). Calculez la distance MN en fonction de x et de x0 Si x <x0 , MN = ...... Si x >x0 , MN = ...... Si x =x0 , MN = ...... Cette distance entre les points M d'abscisse x et N d'abscisse x0 s'exprime par la valeur absolue de x- x0, notée ∣x−x0∣ . ∣x−x0∣ = x−x0 si ...... ∣x−x0∣ = x0−x si ...... Ex III.2 Rappel : [a ;b] est l’ensemble des nombres réels qui sont compris entre a et b inclus. Un intervalle fermé [a ;b] s’écrit aussi [c – r ; c + r] où c est le centre de l’intervalle et r est le rayon de l’intervalle. 1) Donner les valeurs de c et de r dans le cas où l’intervalle est [1 ; 3]. Même question pour l’intervalle [ - 2 ; + 3] 2) Cas général : Donner les expressions de c et de r dans le cas où l’intervalle est [a ;b] 3) Soit l’intervalle I : ∣x ∣ ≤ 2 intervalle J : ∣x – 9 ∣ ≤ 4 intervalle K : ∣x – 8 ∣ ≤ 6 a) Figurer sur l’axe gradué ci-dessous les intervalles correspondant à : I, J et K. -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 9 10 11 12 13 14 15 4 5 6 7 b) Exprimer sous la forme : ∣x – c ∣ ≤ r les intervalles I∩ J, I ∩ K, J ∩K et I ∩ J ∩ K. 4) Même question pour I = [3 ;6], J = [5 ; 8] et K = I ∩ J -3 -2 -1 0 5) Même question avec -7 -6 -5 1 2 3 I : ∣x + 4 ∣ < 2 -4 -3 -2 4 5 J : ∣x - 1 ∣ < 5 -1 0 1 6 7 K : ∣3x + 5 ∣ < 2 2 3 VOCABULAIRE 1 Nombre décimal : C’est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres derrière la virgule, autrement dit que s’écrit sous la forme a × 10p (où a et p sont des entiers relatifs). 2 Troncature : C’est une valeur approchée d’un nombre ; pour avoir une troncature on « coupe » de la partie décimale d'un nombre à un certain nombre de chiffres après la virgule. Par exemple, la troncature de 12,2687 au dixième est 12,2, et la troncature de 12,2687 au centième est 12,26. 3 Nombre rationnel : C’est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. 4 Un peu d’histoire….Pythagore avait découvert que certains segments ne sont pas mesurables, au sens où on l’entendait à l’époque. Ainsi, on ne savait pas exprimer, sous forme de fraction, la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1, ce nombre que l’on note aujourd’hui 2. Ces nombres nouveaux, appelés de nos jours irrationnels, ont posé beaucoup de problèmes aussi bien scientifiques que philosophiques aux mathématiciens de l’époque et il a fallu attendre le IXème siècle (environ 1500 ans après Pythagore) pour qu’on les considère comme de vrais nombres. Pythagore, effrayé par sa découverte, a gardé ses résultats secrets, réservés à de rares initiés. Ce n’est pas le cas d’Euclide qui, lui, a transmis son héritage scientifique dans ses Eléments (13 volumes) où se mêlent géométrie et arithmétique. Les éléments d’Euclide constituent le livre le plus édité (800 éditions) après la Bible ! 2
