Bac blanc n°2 - j.galtier

Classe de terminale S2
Bac blanc du 8 avril 2005
Exercice 1 (Bac S, septembre 2004, national, 4 points)
1. Soit g la fonction définie sur ] 1 ; + [ par g ( x) 
1
.
x( x 2  1)
a) Déterminer les nombres réels a, b, c tels que l’on ait, pour tout
réel x > 1 :
a
b
c
g ( x)  

.
x x 1 x 1
b) Trouver une primitive G de g sur ] 1 ; + [
2x
2. Soit f la fonction définie sur ] 1 ; + [ par f ( x)  2
.
( x  1) 2
Trouver une primitive F de f sur ]1 ; + [.
3. En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer
3
2x
I  2
ln xdx .
2
(
x

1)
2
On donnera le résultat exact sous la forme I  p ln 2  q ln 3 , avec p
et q rationnels.
Exercice 2 (d’après Bac S, septembre 2004, national, 5 points)
Un récipient contient un gaz constitué de deux sortes de particules, 75%
de particules A, et 25% de particules B. Les particules sont projetées
sur une cible formée de deux compartiments K1 et K2. Une particule au
hasard parmi les particules de type A entre dans K1 avec la probabilité
1
2
et dans K2 avec la probabilité . Une particule au hasard parmi les
3
3
particules de type B entre dans chacun des compartiments avec la
1
probabilité .
2
1. Soit une particule au hasard. Déterminer la probabilité des
événements suivants :
A1 : la particule est de type A et elle entre dans le compartiment K1
A2 : la particule est de type A et elle entre dans le compartiment K2
B1 : la particule est de type B et elle entre dans le compartiment K1
B2 : la particule est de type B et elle entre dans le compartiment K2
C1 : la particule entre dans le compartiment K1
C2 : la particule entre dans le compartiment K2
2. On projette 5 particules successivement sur la cible, da façon
indépendante. On admet que le nombre de particules est
suffisamment grand pour que les proportions 75% et 25% restent
constantes au cours de l’expérience. Déterminer la probabilité de
l’événement « il y a au moins une particule dans K2 ».
3. Dans cette question, on ne connaît pas la proportion de particules de
chaque sorte, on appelle p la probabilité qu’une particule soit de
type A.
a) Quelle est la probabilité qu’elle soit de type B ?
b) Exprimer en fonction de p les probabilités des événements C1 et
C2 .
c) En déduire un protocole permettant de déterminer la valeur de p.
Exercice 3 (bac S, Polynésie, septembre 2004, 6 points)
La courbe  ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f
ln x
définie sur 0 ;   par f ( x) 
1 x .
x
1. a) Montrer que f est dérivable, et que pour tout réel strictement
positif x, f ’(x) est du signe de N ( x)    2( x x  1)  ln x  .
b) Calculer N(1) et déterminer le signe de N(x) en distinguant les
cas 0  x  1 et x > 1.
c) En déduire le ses de variation de f et les coordonnées du point de
 d’ordonnée maximale.
2. On note, pour tout réel a de l’intervalle ]0 ; 1[, (a) l’aire,
exprimée en unités d’aire, du domaine grisé.
4. En remarquant que, pour tout entier n, un1  un  f (un ) , déterminer
le sens de variation de la suite (un). En déduire que la suite (un)
admet une limite l.
5. Quelle est la valeur de l ?
a
Exercice 4 (Bac S, Inde 2005, 5 points )
r r
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O, u, v) . On
désigne par I le point d’affixe zI  1 , par A le point d’affixe
zA  1  2i , par B le point d’affixe zB  2  2i et par  le cercle de
diamètre [AB].
On fera une figure que l’on complètera au fur et à mesure, en prenant
2cm pour unité.
1. Déterminer le centre du cercle  et calculer son rayon.
3  9i
2. Soit D le point d’affixe z D 
. Ecrire zD sous forme
4  2i
algébrique et montrer que D est un point du cercle .
3. Sur le cercle , on considère le point E d’affixe z E tel que
uur uuur

I , E  .
4
1
a) Préciser le module et un argument de z E  .
2
5 2 2 5 2

i.
b) En déduire que z E 
4
4
4. Soit r l’application du plan dans lui-même qui, à tout point M

i 
1
1
d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que z '  e 4  z   .
2
2

a) Déterminer la nature de r et ses éléments caractéristiques.
b) Soit K le point d’affixe zK  2 . Déterminer par le calcul l’image
de K par r. Comment peut-on retrouver géométriquement ce
résultat ?

a) Exprimer (a) en fonction de a (on pourra employer une
intégration par parties).
b) Calculer la limite de (a) quand a tend vers 0. Donner une
interprétation géométrique de cette limite.
3. On définit maintenant une suite  un n¥ par son premier terme u0
élément de ]1 ; 2[ et, pour tout entier naturel n, un 1 
ln(un )
1 .
un
ln x
 1.
x
b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un
appartient à ]1 ; 2[.
a) Démontrer que, pour tout réel x appartenant à ]1 ; 2[, 0 
