Construction du « rectangle d`or » à partir d`un angle de 72° et les

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Construction du « rectangle d’or » à partir d’un
angle de 72°, propriétés du pentagone régulier
Parcours sur « le triangle d’or » et le « triangle
sacré de Pythagore » (III)
(Voir les articles « Une séquence autour du nombre
d’or » et « Variantes sur le parcours autour du nombre
d’or en troisième », dans notre site IREM)
IREM, IUFM, UCBN, INSPECTION DES MATHEMATIQUES
Académie de Caen Basse-Normandie
Auteur : Dr. Ruben Rodriguez Herrera
Agrégé de mathématiques
Niveau : 3ème du collège
Objectifs : à travers un parcours les élèves réinvestissent des propriétés de la
géométrie, développent les capacités à chercher, à modéliser, à formaliser à travers des
propriétés géométriques et aussi des propriétés de l’algèbre, à s’auto-évaluer.
Mots clés : nombre d’or, rectangle d’or, rapport, proportion, angles complémentaires,
triangles de « même forme », propriétés algébriques du calcul littéral, identités
remarquables, racine carrée, équations.
Matériel : papier cartonné, instruments de géométrie, ciseaux, ordinateur.
Remarque: dans ce parcours autour du rectangle d’or il
nous parait indispensable du point de vue culturel et aussi
géométrique de retrouver une construction à partir du
triangle d’or et du pentagone régulier, de même que
retrouver le nombre d’or dans le « triangle sacré » de
Pythagore.
Phase 1) On travaille sur la construction du pentagone régulier à partir des angles de
360°:5 =72°.
On part dans cette phase de l’analyse des élèves des propriétés d’un pentagone
régulier pour pouvoir trouver un programme de construction.
Notamment on tient compte de deux propriétés caractéristiques : le pentagone régulier
est inscriptible dans un cercle et tous ses côtés sont de même longueur.
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Ainsi que d’autres propriétés comme, par exemple : les angles au centre de chaque
côté ont la même mesure égale à 360° :5 = 72°
Les élèves trouvent le programme de construction le plus facile : celui qui trace un
cercle puis les cinq angles de 72° au centre et ensuite les intersections des côtés des
angles avec le cercle les sommets ABCDE du pentagone.
Ici les élèves sont invités à déduire la nature de cinq triangles et les mesures de leurs
angles. C’est ainsi qu’ils réinvestissent leurs compétences en géométrie.
Les cinq triangles sont isocèles et les angles de même mesure le sont de 54°.
Phase 2) On analyse aussi d’autres programmes, par exemple celui qui part du tracé
d’une diagonale du pentagone.
Avec les élèves on arrive à la construction
suivante :
1) On trace un cercle de centre O
2) On place un point A sur le cercle et on
trace une demi-droite [AO) puis un angle de
18° ayant la dernière demi-droite comme
côté. M’autre côté de cet angle coupe le
cercle en C
3) On trace le point D symétrique de C par
rapport à la droite (AO)
4) On complète le pentagone régulier par
report de la longueur CD
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Remarque : les triangles comme, par exemple, ACD sont dits « triangles d’or », car ils
contiennent le « nombre d’or », comme on le verra par la suite avec les élèves.
Le nombre d’or dans le pentagone
Phase3) Lorsque que les élèves ont bien construit le pentagone régulier à partir de
l’angle de 72°, on s’intéresse au rapport entre la longueur d’une diagonale et la longueur
du côté du pentagone.
On trace par exemple deux diagonales [AD] et [BE] qui se coupent en G.
On observe avec les élèves que les triangles AED et AGE sont isocèles et ont les mêmes
angles : deux de 36° et un de 108°. De même les triangles ABG et GED sont isocèles et
ont deux angles de 72° et un de 36°
Donc on constate que le rapport AD/AE est égal au rapport AE/(AD-AE).
Et on choisit avec les élèves [AE] comme unité, c'est-à-dire AE = 1 et on pose AD = x
Puis on obtient l’égalité des rapports : AD/AE = AE/(AD-AE) qui s’écrit x/1 =1/(x-1)
Ce qui donne x(x-1 )= 1 ou bien x² = x+1. C'est-à-dire que x est le nombre
d’or
rencontré précédemment.
Les triangles tels que ADC sont les «
triangles d’or »
Donc le rapport entre la diagonale et le côté d’un pentagone
régulier est le nombre d’or.
Phase 3 On arrive à la construction suivante :
1) On trace un segment [AB] puis deux perpendiculaires à (AB) une en A et l’autre en
B.
2) On trace la médiatrice de [AB] et un angle de 72° ayant un côté [AB] et l’autre qui
coupe la médiatrice en O.
3) On trace le cercle de centre A et de rayon AO qui coupe l’une des perpendiculaires
de (1) en F.
4) On complète le rectangle ABGF , le carré FGHJ.
Alors les rectangles AFGB et AJHB sont deux rectangles d’or
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Phase 4) les élèves argumentent à partir du nombre d’or trouvé dans le travail avec le
pentagone régulier : si l’on prend par exemple AB = 1 alors le rapport AF/AB est égal
au nombre d’or.
Phase 5) Les élèves sont invités à chercher des informations sur le nombre d’or, le
triangle d’or et le pentagone régulier en relation avec l’histoire des arts, de
l’architecture, à la nature et au nombre d’or...
Voici quelques informations qui peuvent susciter chez les élèves l’envie de démontrer
encore la validité d’autres constructions qui contiennent le nombre d’or.
1) Méthode ancienne à partir des angles
AB=2
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Une méthode de construction qui n'est pas très connue. Peut être plus ancienne, car elle
utilise les angles, donc elle suppose beaucoup de connaissances de l’Astronomie
Quand on trace un angle de 36°) sur un diamètre de longueur 2 alors on trouve le nombre
d’or sur la longueur de l’autre côté de l’angle qui n’est pas un diamètre.
Cette figure est utilisée pour les Pentagrammes qui ont servi à construire le fameux Polyèdre
de Dürer, dans son tableau « Mélancolie I » en 1514.
Les élèves peuvent le démontrer avec l’aide de l’enseignant en calculant d’abord le cosinus
de 36° dans la figure du pentagone.
Ici AH = 1/2 car on avait choisi AE = 1 et AO = (1+5)/2 -1 = ( 5 -1)/2
Donc cos 36° = ½ /(( 5 -1)/2) = 1/5 -1) = 5 +1)/4, c’est à dire que cos36° vaut la
moitié du nombre d’or.
Alors dans la figure suivante on voit que si BD = 2 et comme cos36° est égal à la moitié du
nombre d’or, on peut écrire que ED/2 est égal à la moitié du nombre d’or et donc ED est égal
au nombre d’or qui vaut (1+5)/2 . Les élèves remarquent que si l’on construit un rectangle
ayant pour dimensions la largeur égale au rayon AD et la longueur égale à ED on obtient un
rectangle d’or.
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2) le nombre d’or dans la « géométrie sacrée »
Recherche sur « Le triangle sacré ou de Pythagore » qui à pour longueur des côtés 3 ;
4 ; 5 dans une unité quelconque, son cercle inscrit et ses bissectrices ;
Dans « Le triangle sacré de Pythagore » le calcul de la longueur de ses bissectrices
permet de retrouver le nombre d’or.
Phase 1) Les élèves sont invités à tracer le triangle ABC (avec une unité de 2cm),
rectangle en B, AB=3 unités, (c'est-à-dire 6cm), BC=4 unités, (c'est-à-dire 8cm), AC= 5
unités (c'est-à-dire 10cm). Puis ils tracent les trois bissectrices, le cercle inscrit, les
rayons avec les points de contact des trois côtés tangents et ainsi ils obtiennent un
ensemble de triangles qu’ ils sont conviés à étudier. Ils trouvent ceux qui sont
semblables, ainsi que d’autres propriétés des figures simples usuelles qui sont incluses
dans cette riche figure.
Voici une figure que les élèves peuvent obtenir.
Voici une liste non exhaustive de propriétés, que les élèves selon ses compétences
trouveront et les démontreront :
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1) BHFG est un carré
Les justifications sont d’une difficulté accessible aux les élèves de troisième.
2) les triangles AGF et AEF sont superposables
Ici la difficulté de l’argumentation est moyenne.
3) idem pour « les triangles CHF et CEF qui sont superposables ».
4) Puis des triangles semblables comme, par exemple :
Les triangles ABD et AGF sont semblables, car les trois angles de ABD sont de même
mesure que les trois angles de AGF. Dans cette famille des triangles semblables, ils
peuvent en trouver d’autres, par exemple : FHD
Phase2) On invite les élèves à s’intéresser à chaque bissectrice et à faire une figure
simple avec cette bissectrice. Par exemple :
Ici on observe la bissectrice (AD) pour évaluer la distance AD.
On suggère de tracer la perpendiculaire (DP) afin de mettre en évidence l’autre point
P sur le côté [AC] qui est à la même distance de la bissectrice que B.
On remarque que AP = AB = 3 et que PC = 5-3=2.
On réfléchit sur le triangle DPC qui est semblable au triangle ABC, toujours avec
l’argument des angles.
On peut écrire que : PC/DC = BC/AC ;
C'est-à-dire :
2/DC = 4/5 donc DC=5/2
Et BD = BC-DC = 4 – 5/2 = 3/2
Et les élèves calculent par Pythagore dans le triangle ABD
AD² = AB²+BD²
AD² = 3² + (3/2)² = 9 +9/4 =9(1+1/4)=(9/4)(5)
Et AD = (3/2)(5)
On trouve avec les élèves que AD+3/2 = 3((1+ 5)/2)
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C'est-à-dire que AD+AB : 2 est égal à trois fois le nombre d’or
Remarque : on peut inviter les élèves à vérifier expérimentalement par les mesures sur
leur figure, ce qui donne (1,5+3,3)/3=4,8 :3=1,6 (ce qui est une approximation par défaut
à 0 ,1 près du nombre d’or).
Puis on observe la bissectrice (RC) et la longueur RC
Pour cela les élèves sont invités à appliquer la même méthode que pour la bissectrice
précédente.
AS = 5-4 =1
AS/AR = AB/AC c'est-à-dire 1/AR=3/5 d’où AR=5/3 , puis RB=3-5/3 = 4/3
et RC²= 4² +(4/3)² = 16+16/9 = 16(1+1/9) = (16/9)(10)
RC= (4/3) 10 =(4/3)(2)(5)
Les élèves vérifient expérimentalement par les mesures sur le papier ou avec le logiciel
GEOGEBRA.
Les élèves disent que RC n’a pas une relation si simple que AD avec le nombre d’or.
Et pour finir cette recherche sur « le triangle sacré », les bissectrices et le nombre d’or
on calcule la dernière longueur de la bissectrice (BT) de l’angle droit.
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Ici si on trace la perpendiculaire à (AB) passant par T on a :
WT =WB
WT/(AB-WT) = BC/AB c'est-à-dire WT/(3-WT) = 4/3
D’où 3WT=12-4WT et WT=12/7
Donc BT= (12/7)2.
Les élèves vérifient expérimentalement avec les mesures ce résultat.
Les élèves disent que cette longueur de la troisième bissectrice n’a pas un rapport
simple non plus avec le nombre d’or
Conclusion : les élèves disent que seulement la bissectrice de l’angle opposé au côté de
4 unités du triangle sacré de Pythagore a une relation simple avec le nombre d’or.
Remarque : les élèves trouvent dans leur recherche documentaire sur le nombre d’or
d’autres propriétés qui attirent leur intérêt et qui enrichissent leur culture en même
temps qu’ils trouvent une image plus positive de mathématiques car le nombre d’or se
trouve même dans la nature. Par exemple les élèves peuvent constater s’il est vrai que chez
les tournesols ou encore les pâquerettes, la disposition des fleurs centrales (ou fleurons), ou
des graines, sur le réceptacle dessine des spirales répondant à des règles précises et elles se
disposent en tournant soit dans le sens des aiguilles d'une montre, soit en sens inverse et que
les nombres de fleurons de chaque type de spirale sont constants et sont des nombres
successifs de la suite de Fibonacci, ( suite que les élèves peuvent aussi étudier un peu en
troisième), par exemple 34/21 ou 55/34 ou 89/55 et ils constatent que, 34/21= 1.61 de même
que les autres quotients. Les élèves trouvent dans leur recherches documentaires,
qu’apparemment, le corps humain serait lui aussi « régit par les proportions divines ». Il parait
que la hauteur totale d’une personne divisée par la hauteur de son nombril est égale au
nombre d’or, il en serait de même pour la hauteur du nombril divisée par la distance nombrilgenou, ou encore la distance coude-main divisée par celle du coude au poignet. Evidemment,
ces règles doivent être basées sur des observations statistiques et les élèves peuvent réinvestir
leurs compétences en statistiques du programme de la troisième pour étudier ce « mythe » sur
le corps humain…
Une autre piste interdisciplinaire se trouve dans la poésie, la musique et le nombre d’or.
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Par exemple dans la musique des mots du poème de Baudelaire où on voit un rythme
harmonieux d’un vers de 8 pieds et d’un vers de 5 pieds, (syllabes phonétiques), (et 5/8=1,6)
« Que j’aime voir, chère indolente
De ton corps si beau,
Comme une étoffe vacillante,
Miroiter la peau !
(Charles Baudelaire)
Conclusion générale des trois articles:
Un riche parcours interdisciplinaire autour du nombre d’or dans l’enseignement des
mathématiques contribue à favoriser le développement des compétences géométriques et
aussi des valeurs spirituelles qui concernent la esthétique des formes. C’est cette
recherche qui donne une autre dimension aux études en mathématiques au collège et il
ne faut pas hésiter en tant qu’enseignant à transmettre à nos jeunes élèves, cet amour
pour la beauté qui existe dans les mathématiques, dont le nombre d’or, le rectangle d’or,
le triangle d’or, le triangle sacré ne sont qu’un bel exemple.
Merci de votre attention
Ruben Rodriguez Herrera