Polynômes de Legendre : récurrence linéaire On utilise ici les résultats et les notations de Polynômes orthogonaux : introduction. L'espace vectoriel E des polynômes à coefficients réels est muni du produit scalaire défini par: 1 (P, Q) E : P Q P(t)Q(t) dt. 1 On désigne par (L ) la suite de polynômes orthogonaux tels que L (1) 1 . n nN n D'après la question 5.a. de Polynômes orthogonaux : introduction, la suite (L n ) nN vérifie une relation de récurrence. On se propose de calculer les coefficients n , n , n qui figurent dans cette relation. 1. Calculer cn pour tout entier n. 2. Montrer que n N, L n ( x) (1) n L n ( x). 3. Montrer que n 0 pour tout n (prendre la valeur en 1 et en 1). 4. Exprimer n en fonction de n 1 , n , L n-1 , L n 2 2 (n est le coefficient dominant de Ln). Exprimer n en fonction de n et de n1 . 5. En considérant Ln L n1 , montrer que n 6. Montrer que L n 2 n L n1 n1 2 2. 1 . Préciser les valeurs de n et de n en fonction de n. 2n 1 7. Préciser la relation de récurrence vérifiée par la suite (Q ) des polynômes n nN orthogonaux unitaires (de coefficients dominants égaux à 1). Commentaires Avec cette relation de récurrence, on peut former des Fractions de Tchébychev (niveau 2). On peut aussi rapprocher ce texte de Polynômes de Laguerre : récurrence linéaire (niveau 2) Dans Polynômes de Legendre : convergence simple (niveau 2), on étudie la convergence de la suite des Ln(x) lorsque x est un nombre complexe qui n'est pas dans le segment [0,1]. Solution 1. 2 si n est pair. Un calcul immédiat d'intégrale conduit à cn n 1 0 si n est impair. 2. Posons Sn ( x) L n ( x) . Le changement de variable y x dans l'intégrale définissant S p S q montre que les polynômes Sn forment une suite orthogonale. On en déduit que Sn ne diffère de Ln que par un coefficient multiplicatif. La comparaison des coefficients dominants conduit à la formule de l'énoncé. 3. D'après 2., L n (1) (1) n . La relation de récurrence X L n n L n1 n L n n L n1 conduit à 1 n n n et 1 n n n , lorsqu'on la considère respectivement en 1 et en 1 , d'où la valeur de n. 4. Comme le degré de XLn-1 est n avec un coefficient dominant n-1, on peut écrire : XL n1 n1 L n polynôme de degré < n, n XL n L n1 n1 L n 2 L n n-1 L n n1 L n , n . 2 2 n n L n1 n L n1 2 XL n L n1 L n XL n1 De même, XL n n L n1 polynôme de degré < n+1 , d'où : n1 XL n L n1 n n . 2 n1 L n1 Comme L n (1) L n1 (1) 1 et L n Ln1 0 , une intégration par parties conduit à Ln L n1 2. 5. D'autre part, Ln n n n X polynôme de degré n 1 donc n1 2 Ln L n 1 n n L n 1 . n1 6. La relation de récurrence, prise en 1, avec les expressions trouvées pour n , n , n donne : 2 n1 L n n1 n n 1 2 1 n avec et n Ln , 2 2 n1 2 n1 2 n L n1 n L n1 n n 1 2 2 2 2 Ln , Ln . d'où 1 L n 2 2 2n 1 2 2n 1 Ensuite n et enfin : 2 n1 n L n1 n n = n 2 n n 1 , n n . 2 2n 1 2n + 1 n 1 2n 1 On obtient finalement : XL n ou encore : Ln 7. n n 1 L n1 L n1 , 2n 1 2n 1 2n 1 n 1 XL n 1 L n2 . n n Notons dn le coefficient dominant de Ln, nous avons alors : d n2 2n 1 (n 1)n Ln dn Qn , dn d n1 , . n dn (2n 3)( 2n 1) On en déduit d n Q n 2n 1 n 1 X d n 1 Q n 1 d n 2 Q n 2 , puis : n n (n 1) 2 n 2, Q n XQ n1 Q n2 . (2n 1)( 2n 3)