Probabilités : loi binomiale I) Épreuve de Bernoulli (mathématicien

Probabilités : loi binomiale
I) Épreuve de Bernoulli (mathématicien du 18ème siècle)
Définition : on appelle « Épreuve de Bernoulli » de paramètre p une
expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles : une appelée
« Succès », de probabilité p et l'autre « Échec » de probabilité (1 – p).
Exemple 1 : on lance une pièce, et on appelle « Pile » le succès :
1
2
1
2
P
P (la barre sur P signifie : événement contraire de P).
Exemple 2 : on lance un dé, et le succès est l'événement « 2 » (par ex.) :
1
6
la face est 2
5
6
la faceest 2 (autrement dit, la face n'est pas 2)
II) Loi binomiale
Propriété : on répète n fois de suite, de manière indépendante, la même
épreuve de Bernoulli de paramètre p et on appelle X la variable aléatoire
égale au nombre de succès parmi n. La loi de X est donnée par la
formule :
()
P ( X = k )= n p k × (1− p)n− k
k
n
(
)
où k s'appelle
le coefficient binomial et
n
C
(
)
se lit « k parmi n » et est obtenu par la calculatrice. k est noté aussi
k
n
Exemple : Dans un jeu, un candidat estime que, quelle que soit la
question posée, il a une chance sur trois de répondre correctement à la
question. Il gagne 100 € par réponse correcte. Le présentateur lui pose
successivement trois questions. On note G si la réponse est correcte et P si la
réponse est fausse.
a) Construis l'arbre pondéré (probabiliste) du jeu.
b) Si le chemin du candidat est (P ; P ; G), quel est son gain ?
c) Calcule la probabilité pour que le candidat ait le chemin (P ; P ; G).
d) Quel est le nombre de chemins pour lesquels il a gagné 100 € ?
e) Calcule la probabilité que le candidat gagne 100 €.
a) L'arbre pondéré (probabiliste) :
2
3
1ère question :
2
3
3ème qu. :
P
3
P
2
3
2ème quest. :
1
G
2
3
1
3
P
G
2
3 3
1
G P
1
3
P
2
3
1
3
G
P
G
2
3 3
1
1
3
G P
G
b) Le chemin (P ; P ; G) signifie que le candidat n'a gagné qu'une seule
fois, à la dernière question, donc son gain final est de 100 €.
c) La probabilité du chemin (P ; P ; G) s'obtient en multipliant toutes
les probabilités sur le chemin :
2 2 1 4
× × =
≈ 0,148≈ 14,8%
P(P ; P ; G) = 3 3 3 27
.
d) Le nombre de chemins où le candidat gagne 100 € est obtenu
lorqu'on a 1 fois G et 2 fois P , dans n'importe quel ordre :
3 =3
(
) ,
La calculatrice donne : 1
correspondant aux 3 chemins : (P ; P ; G)
;
(P ; G ; P)
;
(G ; P ; P).
(CASIO graph35 : consultez : http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/190_graph35plus.pdf
T. I. 83+ : consultez : http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/190_ti83plus.pdf ).
e) La probabilité de gagner 100 € est donc égale au nombre de
chemins permettant de gagner 100 € multiplié par la probabilité d'un de
ces chemin, c'est la loi binomiale :
1 2 2
4 3× 4 4
P (Gagner 100 € )= P(1 Succès parmi 3)= 3 × × × = 3× =
= ≈ 0,444≈ 44,4 %
27 3× 9 9
1 3 3 3
()
.