Exercice 3 : Etude d`un oscillateur - leprof

Exercice 1 : Pendule simple et énergie
Calculatrice autorisée
Le mouvement d'un pendule a été enregistré à l'aide d'une table à digitaliser reliée à
un ordinateur et disposée verticalement.
Ce pendule est constitué du mobile à coussin d'air de masse m, adapté à la table,
suspendu à l'extrémité d'un fil inextensible et de masse négligeable devant celle du
mobile. L'autre extrémité du fil est accrochée en un point fixe O. On pourra
assimiler ce pendule à un pendule simple de longueur L.
Le plan vertical du mouvement du pendule est rapporté à un axe horizontal x'x et à
un axe vertical z'z, d'origine G0, orientés comme l'indique la figure ci-dessus.
Données : L = 41 cm ; m = 236 g et g = 9,8 m.s-2.
À l'aide d'un logiciel adapté, on enregistre les différentes positions du centre d'inertie G du mobile. On obtient
la succession de points représentée sur le document 1 en annexe :
1- Etude du mouvement
L'intervalle de temps entre 2 points consécutifs est  = 30 ms .
1.1- Déterminer, dans le système d'axes, les valeurs V3 et V5 des vecteurs vitesse instantanée du centre d'inertie
du mobile aux points G3 et G5. Représenter ces vecteurs à l'échelle : 1 cm 0,1 m.s-1 .[0,75 pt]
1.2- Construire, avec l'origine au point G4, le vecteur V4 = V5 - V3, et déterminer, à l'aide de l'échelle
précédente la valeur V4 du vecteur V4. [0,75 pt]
1.3- Calculer la valeur a4 du vecteur accélération du centre d'inertie au point G4. [0,5 pt]
2- Etude énergétique
2.1- Etude théorique
Rappeler l'expression, en explicitant chaque terme :
2.1.a) de l'énergie cinétique du pendule simple ainsi constitué, [0,25 pt]
2.1.b) de l'énergie potentielle du pendule en fonction de z. Le niveau de référence des énergies potentielles est
choisi à la position d'équilibre. [0,25 pt]
2.1.c) Donner l'expression de l'énergie mécanique totale du pendule. [0,25 pt]
2.2- Exploitation des courbes d'énergie
2.2.a) En justifiant votre choix, attribuer
l'énergie correspondant à chaque type de courbe
ci-après.
[0,75 pt]
1
2.2.b) Expliquer brièvement ce qui se passe du point de vue énergétique lors des oscillations. [0,5 pt]
2.3- Etude des oscillations Faire l'analyse dimensionnelle des quatre formules suivantes. En déduire l'expression
de la période propre des petites oscillations d'un pendule simple.
mg
L
L
g
T0 = 2
; T0 = 2
; T0 = 2 ; T0 = 2
.
[1,25pt]
L
g
g
L
2.4- Dans la réalité, au cours du temps, on constate que les oscillations sont légèrement amorties.
2.4.a) Quelle est l'origine de cet amortissement ? [0,25 pt]
2.4.b) Que devient l'énergie perdue ?
[0,25 pt]
ANNEXE
Document 1 :
Exercice 2 : Sur une balançoire
Les parties 1 et 2 de cet exercice sont indépendantes.
Deux enfants, Pierre (10 ans) et Sophie (7 ans) font de la balançoire dans un square.
Pour simplifier l’étude mécanique, le système S1 {Sophie sur le siège, balançoire} peut être modélisé par un
pendule simple de longueur L et de masse m1.
De même, le système S2 {Pierre sur le siège, balançoire} peut être modélisé par un pendule simple de longueur
L et de masse m2 > m1.
Toute l’étude mécanique est effectuée dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.
Données numériques :
longueur du pendule simple L = 1,80 m
distance sol-extrémité du pendule à l’équilibre : h = 0,50 m
intensité de la pesanteur : g = 9,8 N.kg-1
Dans les deux premières parties de cet exercice, on vérifiera par une étude mécanique si les intuitions physiques
des enfants sont exactes.
Partie 1 : oscillations libres
Cette première partie permet de savoir si l’affirmation suivante de Pierre est correcte :
« Je suis plus lourd que toi, je me balancerai donc plus rapidement ». Cette affirmation peut être
traduite en langage scientifique par : « la période de mes oscillations sera plus courte ».
2
1.1- Dans le cas d’oscillations de faibles amplitudes l’expression de la période propre des oscillations du
système S2 est l’une des trois proposées ci-dessous :
m2
m2
L
T02 = 2
T02 = 2
T02 = 2
g
g
L
En procédant à une analyse dimensionnelle, proposer la seule possible.
1.2- En déduire si l’affirmation de Pierre est correcte ou non.
1.3- Sophie, assise sur la balançoire, est lâchée à la date t0 = 0, sans vitesse initiale, d’un point A d’abscisse

angulaire A = m = 50°. Le repère d’étude choisi est (O, i ,) : voir figure 1.
z
L
Figure 1
m
A
+
B

k
h
x

i
En considérant qu’il n’y a pas de frottements choisir, en justifiant parmi les quatre courbes suivantes, celle qui
correspond à l’évolution temporelle de l’abscisse angulaire  du système S1 en fonction du temps.
O
Figure 2
Figure 3
Figure 5
Figure 4
1.4- Mesurer alors la valeur de la période propre T01 du système S1.
3
Partie 2 : chutes libres
Lors des oscillations, Sophie procède à une expérience en lâchant une bille de métal pendant le mouvement de
façon à ce qu’elle touche le sol loin du point O.
Pierre dit : « pour que la bille aille loin du portique, tu dois la lâcher lorsque tu arrives tout en haut ». Sophie
répond : « non, la bille ira encore plus loin si je la lâche du point le plus bas car c’est là qu’elle va le plus vite ».
Dans toute la suite de l’exercice, on considère que la bille est assimilable à un point matériel de
masse m = 30 g, que la position initiale de la bille avant la chute est confondue avec l’extrémité du pendule
simple et que le mouvement s’effectue sans frottement.
2.1- Quelle est la valeur de vA, vitesse de la bille au point A, si l’on considère que Sophie lâche la bille sans lui
donner d’impulsion ?
2.2- Quelle est la nature du mouvement de la bille après avoir été lâchée du point A ?
2.3- Déterminer l’abscisse x1 de la bille lorsqu’elle atteint le sol.
On étudie maintenant le cas où la bille est lâchée du point B.
2.4- Au cours du mouvement, l’énergie potentielle de pesanteur de la bille est maximale au point A (A = m =
50°) et vaut EPA = 0,34 J.
L’origine des énergies potentielles est choisie à l’altitude du point O tel que z = 0.
En appliquant la loi de conservation de l’énergie mécanique entre A et B, donner l’expression littérale de la
vitesse vB de la bille et montrer que sa valeur est vB = 3,6 m.s –1. 2.5- On a représenté ci-dessous sans souci
d’échelle (figure 6) le vecteur vitesse VB de la bille, lors du second passage de Sophie par la verticale.
z
L
m
Figure 6
A
+
B
VB
h
x
O 
i
Donner les valeurs des coordonnées vBx et vBz du vecteur vitesse VB .

2.6- En utilisant la seconde loi de Newton, donner les coordonnées ax et az du vecteur accélération a de la bille
au cours de sa chute.
2.7- Établir les équations horaires x(t) et z(t) en prenant pour origine des dates l’instant de passage au point B
dans le sens indiqué sur la figure 6.
1 g
2.8- Montrer que l’équation de la trajectoire de la bille est de la forme : z(x) = x² + h
2 VB2
2.9- Donner l’expression littérale de l’abscisse x2 de la bille lorsqu’elle atteint le sol et calculer sa valeur.
2.10- Comparer x1 et x2 et dire si Sophie a raison dans ce cas d’étude.
Exercice 3 : Etude d’un oscillateur
Notre objectif est d'étudier le mouvement d'une masse m attachée à un support immobile
par un ressort horizontal de constante de raideur k.
1- L'oscillateur harmonique
Une masse est libre de se déplacer sans frottement sur un rail horizontal. Après avoir
écarté la masse de sa position d'équilibre, on la libère sans vitesse initiale.
4
1.1- Représenter sur le schéma donné en annexe 1 à rendre avec la copie les forces agissant sur la masse m. Le
point O donne l'abscisse du centre de gravité G à la position d'équilibre du système. Dans cette position le
ressort n'est ni étiré ni comprimé.
1.2- En utilisant la deuxième loi de Newton, démontrer que l'équation différentielle du mouvement relative à
k
d2x
 02 
l'abscisse x du centre de gravité G du mobile à l'instant t s'écrit : 2  02 x =0
où
m
dt
On établira cette équation dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
1.3- Montrer que l'expression x(t) = A.sin(0 t + ) est solution de cette équation différentielle.
1.4- On suppose qu'à l'instant initial t = 0 s, l'oscillateur possède une amplitude x0 = 2 cm et une vitesse
 dx 
= 0. Déterminer les constantes A et  qui correspondent à ces conditions initiales.
 
 dt  t 0s
1.5- Exprimer la période propre T0 des oscillations de l'oscillateur en fonction de k et m.
2- Etude énergétique
2.1- Établir l'expression du travail élémentaire W d'une force extérieure appliquée à l'extrémité du ressort pour
un allongement très petit x. Déterminer par méthode graphique ou par intégration le travail effectué W par
cette force pour un allongement x à partir de l'origine O.
2.2- Donner l'expression de l'énergie potentielle élastique du système {masse - ressort} en fonction de
l'allongement x.
2.3- Donner l'expression de l'énergie cinétique de la masse m et de l'énergie totale du système.
2.4- Quelle est l'hypothèse qui permet d'affirmer, dans cet exercice, que l'énergie totale du système reste
constante ? En déduire son expression en fonction k et de l'amplitude maximale x0.
3- application a la molécule de chlorure d'hydrogène
Notre objectif est d'étudier le mouvement de vibration d'une molécule de chlorure d'hydrogène (HCI). Cette
molécule peut-être modélisée par une masse m correspondant à l'atome d'hydrogène, un support immobile
correspondant à l'atome de chlore, les deux parties étant reliées par un ressort de constante de raideur k qui
représente la liaison entre les deux atomes.
3.1- Calculer la période propre T0 pour la molécule de chlorure d'hydrogène sachant que la constante
d'Avogadro NA vaut 6,02.1023 mol–1, que la masse molaire atomique M de l'hydrogène est de 1,00 g.mol–1 et
que la constante de raideur k vaut 510 N.m–1.
3.2- Ce système peut fonctionner comme un résonateur, une onde électromagnétique de fréquence  constituant
son excitateur. Pour quelle valeur de la fréquence de l'onde observera-t-on le phénomène de résonance ?
3.3- Calculer la longueur d'onde dans le vide correspondant à cette fréquence et en déduire dans quel domaine
de radiation est située l'onde excitatrice.
(Célérité de la lumière : c = 3,00.108 m.s–1).
3.4- On remplace l'hydrogène par le deutérium noté 21 H de masse double par rapport à celle de l'hydrogène ;
que devient la fréquence propre de vibration (ou d'oscillation) ?
ANNEXE
G
x
O
Exercice 4 : La suspension de la 2 CV Citroën
Produite à plus de 5 millions d'exemplaires de 1948 à 1990 par les usines Citroën, la 2 CV présente un système
de suspension dont le schéma simplifié est représenté figure 1 Le rôle de la suspension est d'assurer le confort
5
des pas s agers, de protéger les organes du véhicule, d'absorber les vibrations et d'améliorer la tenue de route
du véhicule (appui constant de s roues au sol).
1
2 /3
4
5
6
Désignation des éléments
Description
Pot de suspension
Ressorts de suspension
Les tirants
Bras de suspension
Amortisseurs
Cylindre en tôle contenant les ressorts de suspension
Ressorts à spires non jointives
Tige d'acier assurant la liaison ressort bras de suspension
Montés sur une traverse par des roulements
Du type télescopique monté horizontalement
1- Étude d'un oscillateur mécanique horizontal modélisant la suspension de la 2 CV On considère le système
oscillant suivant :
On suppose que la force de frottement du support sur la m a s s e m est proportionnelle (coefficient de
proportionnalité ) à la vitesse, mais de s e n s opposé à celle-ci. Lorsque G est au d e s s u s du point O le ressort
est au repos.
On donne : la m a s s e m = 100 kg ; intensité de la pesanteur g = 9,81 m.s-2.
1.1- L'expression de la période propre T0 de cet oscillateur est T0= 2
m
.
k
Que représente k dans cette expression ? Quelle est son unité ?
1.2- Déduire l'expression littérale de k à partir de l'expression précédente.
1.3- Calculer k sachant que T0 vaut environ une demi-seconde.
1.4- Faire un bilan des forces appliquées sur la m ass e m lorsqu'elle est dans la position indiquée sur la figure
2. Représenter les vecteurs forces sur le schéma fourni en ANNEXE s a n s souci d'échelle. Aucun calcul
n'est demandé.
1.5- En utilisant la seconde loi de Newton, établir l'équation différentielle du mouvement et montrer qu'elle est
k
d²x
dx
du type : ax + .vx +
. x = 0 ; avec ax =
accélération de G et vx =
la vitesse de G.
m
dt ²
dt
1.5.a) Exprimer  en fonction de  et m.
1.5.b) On considère le terme a nul, l'équation différentielle devient alors
Montrer que la fonction x(t) = Xm.cos (
d²x k
+ .x = 0
dt ² m
2
t+ ) est solution de l'équation différentielle précédente, quelles que
T0
soient Xm et  constantes.
1.5.c) Quel type d'oscillations obtient-on si le terme  est nul ? (la masse évolue sans frottement).
1.5.d) Une 2 CV aborde une bosse sur la route avec une vitesse de 20 km.h-1.
6
Décrire le mouvement de la 2 CV après le passage de la bosse si on suppose que la suspension de chaque roue
se comporte comme un oscillateur mécanique élastique sans frottement.
2- Phénomène de résonance.
La 2CV roule à une vitesse constante de 5,0 m.s-1 sur une route régulièrement bosselée dont la distance entre
deux bosses est d= 1,00 m. La route joue le rôle d'excitateur pour la suspension de la 2CV.
2.1- A que] type d'oscillations la suspension de la 2CV est-elle soumise ? A quelle condition entre-t-elle en
résonance ?
2.2- Calculer la durée écoulée t lorsque la 2CV a parcouru la distance d.
2.3- Comparer t et T0 (période propre du système de suspension). La suspension de la 2 CV entre-t-elle en
résonance ?
2.4- Quel élément, représenté sur la figure 1, permet de limiter le phénomène de résonance ? Justifier.
ANNEXE
Exercice 5 : Un jeu d’enfant
Le jouet ci-contre est constitué d’une figurine décorative accrochée à un ressort à fixer au
plafond d’une chambre d’enfant.
Les élèves font des expériences avec ce jouet afin de réinvestir leurs connaissances sur les
mouvements oscillants et de déterminer les caractéristiques du système étudié.
Dans toute l’étude, on négligera les forces de frottements et la poussée d’Archimède.
1- Mesures de période
1.1- La figurine est éloignée verticalement vers le bas de sa position d’équilibre puis
abandonnée. Décrire le mouvement de la figurine.
1.2- Définir la période du mouvement.
1.3- Les élèves veulent déterminer la période du mouvement. À l’aide d’un chronomètre, ils
obtiennent une durée égale à 13,8 s pour 10 périodes.
1.3.a) Pourquoi ont-ils mesuré plusieurs périodes ?
1.3.b) Quelle est la valeur d’une période ?
2- Afin de déterminer la constante de raideur du ressort, ils décrochent la figurine, suspendent à sa place
différentes masses marquées, de valeur m. Lorsque la masse marquée est à l’équilibre, ils mesurent la longueur
L du ressort.
La longueur du ressort à vide est L0 = 25,5 cm.
On prendra g = 9,8 N.kg-1.
2.1- Faire un bilan des forces qui s’exercent sur la masse marquée et le représenter sur un schéma.
2.2- En étudiant l’équilibre de la masse marquée, établir l’expression de k, constante de raideur du ressort en
fonction de m, g, L0 et L.
2.3- À partir de la mesure ci-dessous, calculer la valeur numérique de k.
Masse m (g)
20,0
Longueur L du ressort (cm)
40,1
3- Les élèves étudient maintenant l’influence de la masse sur la période T0 du mouvement.
De nouvelles mesures sont réalisées à l’aide de masses marquées en remplacement de la figurine.
On obtient le tableau de mesures ci-dessous :
Masse (g)
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
7
Période (s)
0,78
0,95
1,10
1,23
1,35
1,43
3.1- Quelle est l’influence de la masse sur la période T0 ?
3.2- Les deux grandeurs sont-elles proportionnelles ? Justifier.
3.3- En effectuant une analyse dimensionnelle, choisir l’expression correcte parmi les expressions ci-dessous.
k
m
(a) T0 = 2
(b) T0 = 2 m  k
(c) T0= 2
m
k
3.4- En déduire la valeur de la masse de la figurine.
4- La figurine en mouvement vertical est ensuite filmée à l’aide d’une webcam.
On déclenche l’enregistrement lorsque la figurine passe par sa position la plus haute.
À l’aide d’un logiciel de traitement vidéo, on obtient la courbe (figure 1) et le tableau (figure 2) donnés en
annexe 1 à rendre avec la copie. La coordonnée z représente la position du centre d’inertie G de la figurine sur
un axe vertical, orienté vers le haut et ayant pour origine la position à l’équilibre.
4.1- En utilisant la figure 1 de l’annexe, déterminer la période et l’amplitude du mouvement.
4.2- En utilisant les données expérimentales du tableau figure 2 de l’annexe, déterminer par un calcul simple
une valeur approchée de la coordonnée vz de la vitesse du centre d’inertie G à l’instant t = 0,24 s.
 2

5- La position de la figurine à chaque instant est donnée par la relation : z(t) = z m  cos t   0 
 T0

5.1- À partir de l’expression précédente, exprimer la fonction vz(t) qui donne la coordonnée de la vitesse à
chaque instant.
5.2- Représenter l’allure de vz(t) sur le graphe de la figure 1 de l’annexe 1 à rendre avec la copie ; l’axe des
ordonnées de vz est représenté à droite. On ne demande aucune graduation de l’axe vz.
5.3- En utilisant les conditions initiales du mouvement, déterminer la valeur de 0.
6- Le logiciel utilisé permet de calculer à chaque instant, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle totale de la
figurine. On obtient alors les courbes de la figure 3 de l’annexe 1 à rendre avec la copie.
6.1- Laquelle des deux courbes proposées correspond à l’énergie cinétique ?
Justifier.
6.2- Comparer la période des énergies à la période de l’oscillateur.
6.3- En quoi ces dernières courbes montrent-elles que les forces de frottement peuvent être négligées ?
ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE
t(s) z(m) vZ(m/s)
0
0,070 0
0,04 0,069 – 0,06
0,08 0,065 – 0,11
0,12 0,060 – 0,16
0,16 0,052 – 0,21
0,20 0,043 – 0,25
0,24 0,032
0,28 0,020 – 0,30
0,32 0,008 – 0,31
0,36 – 0,005 – 0,32
0,40 – 0,017 – 0,31
8
0,44 – 0,029 – 0,29
0,48 – 0,040 – 0,26
0,52 – 0,050 – 0,22
Figure 3
Figure 2
9