T - Unblog

T.P. : ETUDE VIDEO DE LA CHUTE VERTICALE D’UN SOLIDE DANS UN FLUIDE.
RECHERCHE DE MODELES POUR LA FORCE DE FROTTEMENT FLUIDE.
I. Objectifs de la séance
 Exploiter un document vidéo pour tracer l’évolution temporelle de la vitesse d’un
solide en chute verticale dans un fluide.
 Utiliser un tableur pour traiter des données numériques.
 Montrer que l’étude de la chute d’un solide dans un fluide met en évidence des
grandeurs caractéristiques : vitesse limite et temps caractéristique.
 Étudier la validité de modèles pour la force de frottement fluide par confrontation
des prévisions théoriques aux résultats expérimentaux.
II. Recherche de modèles pour la force de frottement fluide ; approche théorique
On considère la chute d’une bille en acier de masse m = 2,09 g, de volume Vbille = 0,40 mL,
lâchée sans vitesse initiale dans de l’huile de paraffine de masse volumique
µhuile = 869 kgm–3. À cette fin, on se propose d’étudier la validité de deux hypothèses
simples plausibles concernant la forme de la relation liant la force f représentant les
frottements fluides à la vitesse v de la bille en mouvement dans l’huile de paraffine.
L’application de la deuxième loi de Newton au solide en mouvement permet d’établir une
équation différentielle dont la fonction inconnue est l’expression, en fonction du temps, de
la vitesse v(t). La résolution de cette équation différentielle par la méthode d’Euler fournit
une courbe représentative de la fonction cherchée.
Si l’hypothèse de départ concernant l’expression de la force de frottement est bonne, une
courbe théorique obtenue par la méthode d’Euler doit passer au plus près des points
expérimentaux. Si, au contraire, il est impossible d’obtenir un recouvrement acceptable,
l’hypothèse de départ doit être revue.
Dans les deux cas évoqués ci-dessous on choisira de prendre l’origine du repère
(O ; i, j, k ) au centre de la bille dans sa position initiale, l’axe Oy étant orienté vers le bas.
1. Préciser le système étudié ainsi que le référentiel d’étude. Faire le bilan des forces
appliquées au système lorsque la bille est en mouvement dans le fluide.
2. Schématiser la situation décrite.
3. Justifier le fait qu’ici vy(t) = v(t).
1) Modèle 1 : cas d’une force de frottement de la forme f  k  v
1. Établir l’expression de l’équation différentielle où v(t) est l’inconnue en fonction de m,
Vbille, µhuile, g et k.
dv(t)
 B  v(t)  A , où
2. Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme
dt
 V
A  g(1  huile bille ) et B  k , puis en déduire que B  A avec vlim la vitesse limite
m
vlim
m
atteinte par la bille.
3. Calculer la valeur de A pour la chute dont l’enregistrement va être étudié. Celle de B
sera calculée ultérieurement à partir de la valeur de la vitesse limite vlim déterminée
expérimentalement lors de la séance.
4. Il est alors possible d’utiliser la méthode d’Euler pour calculer les valeurs de la vitesse
v(tn+1) de la bille à différents instants puisque v(tn) = (A - Bv(tn))t = a(tn)t et
v(tn+1) = v(tn) + v(tn) = v(tn) + a(tn)t, à partir du moment où la valeur de v(t0) = v0 est
connue. Préciser la valeur initiale de la vitesse v0 puis donner les expressions littérales
des étapes de calcul conduisant aux valeurs de la vitesse aux instants de date t1, t2 et t3,
avec ti+1 = ti + t en utilisant la méthode d’Euler. On prendra t  1 s .
30
2) Modèle 2 : cas d’une force de frottement de la forme f '  k' v  v
1. Établir l’expression de l’équation différentielle où v(t) est l’inconnue en fonction de m,
Vbille, µhuile, g et k’.
dv(t)
 C  v2(t)  A , où
2. Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme
dt
 V
A  g(1  huile bille ) et C  k' , puis en déduire que C  2A .
m
m
v lim
3. Par analogie avec ce qui a été fait au II.1.4 et compte tenu de la forme de l’équation
différentielle, donner les expressions littérales des étapes de calcul conduisant aux
valeurs de la vitesse aux instants de date t1, t2 et t3, avec ti+1 = ti + t en utilisant la
méthode d’Euler. On prendra t  1 s .
30
III. Protocole expérimental
1) Exploitation du document vidéo
a) Acquisition des données
Le document vidéo présente la chute d’une bille en acier de masse m = 2,09 g, de volume
Vbille = 0,40 mL, lâchée sans vitesse initiale dans de l’huile de paraffine de masse
volumique µhuile = 869 kgm–3. La séquence vidéo a déjà été coupée pour que le clip
commence à l’instant de date t = 0 s où la bille est lâchée.
● Ouvrir le logiciel Avimeca2® puis cliquer sur le menu Fichiers/Ouvrir un clip vidéo…
et choisir le fichier nommé Chute d’une bille dans un liquide.avi. Cliquer sur le bouton
Ouvrir.
● Pour une meilleure visualisation de l’image, cliquer sur le menu Clip/Adapter puis sur le
bouton OK.
● Visionner le clip en cliquant sur le bouton ► (« lecture »), puis remettre la séquence
vidéo au début en cliquant sue le bouton ▐◄ (« aller à la première image »).
● Dans la partie droite de l’écran, cliquer sur l’onglet Étalonnage et cocher l’option
Origine et sens dans la rubrique Axes. Cliquer alors sur le bouton
Il faut maintenant placer l’origine du repère sur l’image. Cliquer précisément au centre de
la bille pour ce faire. Les axes du repère apparaissent alors en blanc à l’écran.
Conformément à notre choix, l’axe Oy est orienté vers le bas.
● Dans la rubrique Échelles, cocher l’option Échelles identiques puis cliquer sur une
graduation correspondant à une dizaine sur la règle jaune à l’image. Le premier point de
l’échelle est mémorisé.
Cocher la case 2ème point dans la rubrique Échelles puis cliquer sur une autre graduation de
dizaine sur la règle jaune à l’image. Le deuxième point de l’échelle est mémorisé.
Remplacer la valeur 1,41E+0 par la valeur de la distance réelle comprise entre les deux
points choisis sur la règle jaune (0,20 ou 0,30 m).
● Cliquer à présent sur l’onglet Mesures qui contient un tableau dans lequel il va falloir
enregistrer les différentes positions (x ; y) du centre de gravité de la bille aux instants de
date t indiqués. Chacun d’entre eux correspond à une image de la séquence vidéo. Avec le
pointeur, cliquer précisément sur la position du centre d’inertie de la bille. Ses coordonnées
(0 ; 0) s’affichent dans le tableau en face de la date correspondante, ici t = 0 s.
Le film a avancé d’une image, repérer précisément la nouvelle position du centre de gravité
de la bille, et ainsi de suite jusqu’à la 14ème image.
b) Sauvegarde des mesures
● Les valeurs mesurées doivent être maintenant sauvées avant d’être exportées vers un
tableur pour être traitées. Cliquer sur le menu Fichiers/Mesures/Enregistrer dans un
fichier/format Texte (*.txt). Vérifier que le type de séparateur de données coché est bien
Tabulations. Cliquer sur OK. Nommer le fichier dans le répertoire Mes Documents puis
cliquer sur le bouton Enregistrer et fermer Avimeca2®.
2)Traitement des mesures dans le tableur
a) Importation des données et calcul de v
● Ouvrir le logiciel Excel® puis cliquer sur le menu Fichier/Ouvrir. Sélectionner le fichier
qui vient d’être créé puis cliquer sur le bouton Ouvrir.
● L’assistant Importation s’ouvre. Cliquer sur le bouton Suivant jusqu’à la dernière étape
puis sur le bouton Terminer.
Les données acquises sous Avimeca2® sont maintenant dans une feuille de calcul d’Excel®.
● Créer la grandeur vitesse v dans la cellule D2 et préciser son unité dans la cellule D3. Il
faut maintenant faire calculer au tableur la valeur de la vitesse v aux différentes dates
relevées.
● Entrer la valeur de v à la date t = 0 s dans la cellule adéquate, puis inscrire dans la cellule
y
D5 la formule, précédée du signe =, permettant au logiciel de calculer la valeur de v 
t
à l’instant t = 3,310–2 s. Faire vérifier celle-ci par le professeur.
● Copier cette formule dans toutes les cellules de la colonne D jusqu’à D16.
b) Tracé du graphe v = f(t)
● Sélectionner uniquement les cellules A4 à A16 et D4 à D16 à l’aide de la souris en
maintenant la touche Ctrl du clavier enfoncée. Cliquer sur le bouton de l’Assistant
Graphique. Choisir le Type de graphique Nuages de points puis cliquer sur le bouton
Suivant jusqu’à la dernière étape, puis finir en cliquant sur le bouton Terminer.
● En double cliquant sur le graphique puis ensuite sur l’axe des ordonnées, modifier la
valeur maximale de cet axe en tapant 1,5 dans le champ Maximum : de l’onglet
Échelle.
1. Reproduire qualitativement l’allure du graphe v = f(t) et distinguer les deux régimes
d’évolution.
2. Porter sur le graphe le temps caractéristique  ainsi que la vitesse limite vlim dont on
précisera la valeur.
3. Faire alors les calculs du II.1.4 et du II.2.4.
3) Confrontation aux résultats expérimentaux
a) Modèle 1 : cas d’une force de frottement de la forme f  k  v
Le but est ici de faire calculer au tableur la vitesse de la bille, soumise à une force de
frottement f  k  v , aux différents instants de date t en utilisant la méthode d’Euler
afin de voir si cette hypothèse est en accord avec les résultats expérimentaux.
● Taper Modèle 1 dans la cellule E1, puis v(Euler) dans la cellule E2 et préciser son
unité dans la cellule E3. Entrer la valeur de v0 dans la cellule adéquate. Taper a(Euler)
dans la cellule F2 et préciser son unité dans la cellule F3. Entrer la valeur de a(t0) = A
dans la cellule adéquate.
● Inscrire dans la cellule E5 la formule, précédée du signe =, permettant au logiciel de
calculer la valeur de v(t1) = v(t0) + a0t.
● Inscrire dans la cellule F5 la formule, précédée du signe =, permettant au logiciel de
calculer la valeur de a(t1) = A - Bv(t1). Faire vérifier les deux points précédents par le
professeur.
● Copier ces formules dans leur colonne respective jusqu’à la ligne 16 et vérifier
l’accord entre les trois premières valeurs calculées par le tableur et celles obtenues au
III.2.b.3.
● Ajouter la représentation v(Euler) = f(t) sur le graphe précédent. Relier les points.
1. La courbe expérimentale et la courbe théorique sont-elles en bon accord ? Préciser
votre réponse.
2. Que peut-on conclure quant à la validité du modèle de force de frottement en
f  k  v ?
b) Modèle 2 : cas d’une force de frottement de la forme f '  k' v  v
Le but est ici de faire calculer au tableur la vitesse de la bille, soumise à une force de
frottement f '  k' v  v , aux différents instants de date t en utilisant la méthode d’Euler
afin de voir si cette hypothèse est en accord avec les résultats expérimentaux.
● Taper Modèle 2 dans la cellule G1, puis v(Euler) dans la cellule G2 et préciser son
unité dans la cellule G3. Entrer la valeur de v0 dans la cellule adéquate. Taper a(Euler)
dans la cellule H2 et préciser son unité dans la cellule H3. Entrer la valeur de a(t0) = A
dans la cellule adéquate.
● Inscrire dans la cellule G5 la formule permettant au logiciel de calculer la valeur de
v(t1) = v(t0) + a0t.
● Inscrire dans la cellule H5 la formule permettant au logiciel de calculer la valeur de
a(t1) = A - Cv2(t1). Faire vérifier les deux points précédents par le professeur.
● Copier ces formules dans leur colonne respective jusqu’à la ligne 16 et vérifier
l’accord entre les trois premières valeurs calculées par le tableur et celles obtenues au
III.2.b.3.
● Ajouter la représentation v(Euler) = f(t) sur le graphe précédent. Relier les points.
1. La courbe expérimentale et la courbe théorique sont-elles en bon accord ? Préciser
votre réponse.
2. Que peut-on conclure quant à la validité du modèle de force de frottement en
f '  k' v  v ?