Calcul des débits d`air en ventilation naturelle

Calcul des débits d’air en ventilation naturelle
Terminologie
x:
:
a :
v :
V:
1:
2:
z:
H:
S:
:
e :
i :
0 :
P:
Pa :
Pv :
p :
pe :
pi :
te :
ti :
Te :
Ti :
g:
:
X:
M:
Q:
W:
PM :
Altitude par rapport à l’ouverture basse de ventilation (m).
Masse volumique de l’air humide (kg/m3) sous la pression atmosphérique P
Masse volumique de l’air sec (kg/m3) sous la pression atmosphérique P
Masse volumique de la vapeur d’eau (kg/m3) sous la atmosphérique P
Vitesse de l’air (m/s)
Indice se rapportant à l’ouverture basse
Indice se rapportant à l’ouverture haute
Altitude (m)
Différence d’altitude entre les ouvertures de ventilation haute et basse (m)
Section de passage (m²)
Coefficient d’accident de l’ouverture de ventilation (/)
Masse volumique de l’air extérieur (kg/m3) à la température te
Masse volumique de l’air intérieur (kg/m3) à la température ti
Masse volumique (kg/m3) sous la pression P0 (Pa) et la température absolue T = 1/ (K)
Pression atmosphérique (Pa)
Pression partielle de l’air sec (Pa)
Pression partielle de la vapeur d’eau (Pa)
Perte de pression du circuit aéraulique (Pa)
Pression extérieure (Pa)
Pression intérieure (Pa)
Température extérieure (°C)
Température intérieure (°C)
Température extérieure (K)
Température intérieure (K)
Accélération de la pesanteur (m/s²)
Coefficient de dilatation des gaz (≈ 0,00366)
Altitude de « Plan neutre » où la différence de pression est nulle (m)
Débit massique de ventilation (kg/s)
Débit volumique de ventilation (m3/s)
Degré d’humidité de l’air (kg d’eau/kg d’air sec)
Pression motrice (Pa)
Etude analytique de la distribution verticale des pressions
Objectif : Etablir l’expression de la différence de pression entre l’intérieur et l’extérieur du local en
fonction de x, altitude par rapport à l’ouverture basse de ventilation.
Hypothèses :
- Le circuit aéraulique est constitué de 2 branches verticales (Bi-Hi et He-Be) et de 2 branches
horizontales (Be-Bi et Hi-He). B = bas, H = haut, i = intérieur et e = extérieur.
- Le circuit aéraulique se ferme à l’extérieur du local.
- Pour les branches verticales, la vitesse est constante et la perte de pression est nulle.
- Pour les branches horizontales, la vitesse est identique de part et d’autre des ouvertures de
ventilation et la perte de pression de ces ouvertures est proportionnelle à l’énergie cinétique :

V2
2
où :
 : Masse volumique de l’air (kg/m3)
V : Vitesse de l’air (m/s)
Calcul :
Nous appliquerons au circuit aéraulique l’équation fondamentale de la mécanique des fluides
suivante afin de déterminer les variations de pression correspondantes (se reporter en Annexe 1) :
V2
 .g.dz   dp   .d 2   dP  0
[1]
Pour les branches verticales :
p = - .g.z
[2]
(pe - pi) = (pe1 – pi1) - x.g.(e - i)
[3]
(pe1 – pi1) + (pi2 – pe2) = H.g.(e - i)
[4]
Pour les branches horizontales :
p   . .
V2
2
pe1  pi1   1.e.
[5]
V12
2
[6]
V22
2
[7]
pi2  pe2   2 .i.
( pi2  pe2 )   2   e   S1 
  . . 
( pe1  pi1 )   1   i   S 2 
2
[8]
où :
1:
2:
z:
x:
H:
S:
Indice se rapportant à l’ouverture basse
Indice se rapportant à l’ouverture haute
Altitude (m)
Altitude par rapport à l’ouverture basse de ventilation (m)
Différence d’altitude entre les ouvertures de ventilation haute et basse (m)
Section de passage (m²)
:
e :
i :
te :
ti :
p :
pe :
pi :
g:
Coefficient d’accident de l’ouverture de ventilation (/)
Masse volumique de l’air extérieur (kg/m3) à la température te
Masse volumique de l’air intérieur (kg/m3) à la température ti
Température extérieure (°C)
Température intérieure (°C)
Perte de pression (Pa)
Pression extérieure (Pa)
Pression intérieure (Pa)
Accélération de la pesanteur (m/s²)
Se reporter en Annexe 2 pour le calcul de la masse volumique de l’air humide.
L’expression de la différence de pression entre l’intérieur et l’extérieur du local est alors obtenue
en combinant les relations [3], [4] et [8] :
(pe - pi) = g.(e - i).(X - x)
x
H
    e   S 
1   2 . . 1 
  1   i   S 2 
2
[9]
[10]
où :
X : Altitude de « Plan neutre » où la différence de pression est nulle (m)
Cette différence de pression est positive ou négative selon que x est inférieur ou supérieur à X.
Pour x = X, la différence de pression est nulle et le plan défini par x = X est appelé « Plan
neutre ».
Le plan neutre sépare les zones de dépression et de surpression relativement à l’environnement
extérieur ; cela permet de prévoir, à priori, le sens de circulation de l’air dans une ouverture
quelconque de ventilation.
Cas limites :
- Une ouverture sur l’extérieur pratiquée au niveau du plan neutre n’entraînera pas de
circulation d’air.
- Si S1 est nul, le plan neutre est en partie haute du local.
- Si S2 est nul, le plan neutre est en partie basse du local.
Calcul analytique des débits de ventilation
Le débit massique de ventilation M étant unique, on peut écrire :
M = S1.V1.1 = S2.V2.2
où :
M : Débit massique de ventilation (kg/s)
[11]
Les débits volumiques de ventilation Q sont les suivants :
Q1 = V1.S1
[12]
Q2 = V2.S2
[12’]
où :
Q : Débit volumique de ventilation (m3/s)
L’expression des vitesses dans les ouvertures de ventilation est alors obtenue en combinant les
relations [6] et [7] :
 2( pe1  pi1 ) 

V1  
  1.e 
0,5
 2( pi2  pe2 ) 

V2  

.

i
2


[13]
0,5
[14]
L’équation [9] donne successivement pour x = 0 et x = H :
(pe1 - pi1) = X.g.(e - i)
[15]
(pi2 - pe2) = (H – X).g.(e - i)
[16]
En remplaçant dans les équations [12] et [12’] les vitesses V1 et V2 par leurs expressions [13] et [14]
et, dans ces dernières, les différences de pression (pe1 - pi1) et (pi2 - pe2) par leurs expressions [15]
et [16], on obtient finalement :
 2. X .g ( pe  pi) 

Q1  S1 
 1.e


0,5
 2.( H  X ).g ( pe  pi) 

Q2  S 2 
 2 .i


[17]
0,5
[18]
Etude numérique sous tableur Excel
Objectif : Déterminer directement la différence de pression correspondante à la saisie d’une valeur
d’altitude x.
Le diagramme ci-dessous, pour les valeurs saisies dans la feuille « Exemple », présente la
distribution verticale de la différence de pression (pe - pi).
Différence de pression (pe - pi) (Pa x 100)
150
100
50
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
-50
-100
-150
-200
Altitude x (m)
On peut remarquer, sur la feuille « Exemple », que pour les données saisies et une température
extérieure (te) de -7°C (température minimale de calcul en région parisienne), le débit volumique de
ventilation est proche de 100 m3/h. Cependant, pour une température extérieure (te) de +7°C (valeur
voisine de la moyenne hivernale en région parisienne), le débit volumique de ventilation n’est plus
que de 70 m3/h.
Etude des paramètres d’influence
Le « moteur » de la ventilation naturelle verticale est constitué par :
- l’écart de température entre les ambiances intérieure et extérieure ;
- la différence d’altitude entre les ouvertures de ventilation haute et basse.
Si l’un des ces deux termes est nul, le débit de ventilation l’est également.
Influence sur le débit de ventilation de la température extérieure (te)
La température extérieure joue un rôle fondamental dans le phénomène de ventilation naturelle.
Le diagramme ci-dessous, pour les valeurs saisies dans la feuille « Exemple », présente la variation
des débits de ventilation (Q1, Q2 et M) en fonction de la température extérieure (te).
Débits volumiques Q1 et Q2 (m3/h)
et massique M (kg/h)
125
100
75
50
Q1 (m3/h)
Q2 (m3/h)
M (kg/h)
25
0
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
Température extérieure te (°C)
On constate que :
- Cette influence n’est pas linéaire.
- Le débit de ventilation diminue progressivement lorsque la température extérieure (te)
augmente.
- Le débit de ventilation s’annule lorsque la température extérieure (te) est égale à la température
intérieure (ti).
On peut noter que l’altitude X du plan neutre augmente très légèrement (de 0,06 m) lorsque la
température extérieure (te) passe de -7 à +20°C.
Influence sur le débit de ventilation de la différence d’altitude (H) entre les deux ouvertures de
ventilation
Le diagramme ci-dessous, pour les valeurs saisies dans la feuille « Exemple », présente la variation
du débit volumique d’air neuf (Q1) en fonction de la différence d’altitude (H) entre les deux
ouvertures de ventilation.
100
Débit volumique d'air neuf Q1 (m3/h)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
Hauteur H (m)
On constate que :
- Cette influence n’est pas linéaire.
- Le débit de ventilation augmente progressivement lorsque la différence d’altitude (H) entre les
deux ouvertures de ventilation augmente.
- Le débit de ventilation s’annule lorsque la différence d’altitude (H) entre les deux ouvertures de
ventilation est nulle.
Pour augmenter de façon significative le débit de ventilation, on peut évacuer l’air par une gaine
verticale dont la hauteur peut, dans certains cas, être largement supérieure à la hauteur du local.
Il faut alors tenir compte des pertes de pression dans cette gaine pour déterminer les débits d’air
évacué et introduit.
Influence sur le débit de ventilation de la section de passage (S2) de l’ouverture de ventilation
haute
Le diagramme ci-dessous, pour les valeurs saisies dans la feuille « Exemple », présente la variation
des débits de ventilation (Q1, Q2 et M) en fonction de la section de passage (S2) de l’ouverture de
ventilation haute.
Débits volumiques Q1 et Q2 (m3/h)
et massique M (kg/h)
120
100
80
60
40
Q1 (m3/h)
Q2 (m3/h)
20
M (kg/h)
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
Section de passage S2 de la ventilation haute (m²)
On constate que :
- Cette influence n’est pas linéaire.
- Le débit de ventilation augmente progressivement lorsque la section de passage (S2) de
l’ouverture de ventilation haute augmente.
- Le débit de ventilation s’annule lorsque la section de passage (S2) de l’ouverture de ventilation
haute est nulle.
Le diagramme ci-dessous, pour les valeurs saisies dans la feuille « Exemple », présente la variation
d’altitude du plan neutre (X) en fonction de la section de passage (S2) de l’ouverture de ventilation
haute.
Altitude X du plan neutre (m x 100)
120
100
80
60
40
20
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
Section de passage S2 de la ventilation haute (m²)
On constate que :
- Cette influence n’est pas linéaire.
- L’altitude X du plan neutre augmente avec la section de passage (S2) de l’ouverture de
ventilation haute.
Dimensionnement pratique, sous tableur et via solveur Excel, des
ouvertures de ventilation
Objectif : Dimensionner les ouvertures de ventilation S1 et S2 à partir d’un débit volumique d’air
neuf Q1 requis.
Hypothèses :
- Les sections basse (S1) et haute (S2) de ventilation sont identiques, d’où 1 = 2.
Calcul par approximations successives des débits de ventilation
Objectif : Calculer le débit massique M de ventilation par égalisation de la pression motrice avec la
perte de pression du circuit aéraulique. Cette démarche privilégie l’obtention rapide de
résultats et non l’aspect pédagogique.
Calcul :
La pression motrice, relevant du phénomène de thermosiphon analogue à celui des installations de
chauffage à eau chaude, est égale à :
H.g.(e - i)
[19]
La perte de pression du circuit est égale à :
P1  P2   1.e.
V12
V2
  2 .i. 2
2
2
[20]
où :
V1 
M
S1.e
V2 
M
S 2 .i
Cas particulier des ouvertures multiples
Lorsque plusieurs ouvertures sont pratiquées dans le plan vertical, il n’est plus possible de
déterminer à priori la hauteur du plan neutre.
Il faut alors, pour déterminer la valeur de X, procéder par approximations successives comme suit.
1) On fixe arbitrairement la hauteur X du plan neutre.
2) On calcule, pour chaque ouverture située au-dessous du plan neutre, le débit volumique entrant
par la relation suivante :
 2 g.( X  H1 j ).( e  i) 

Q1 j  S1 j .



.

e
1j


0,5
[21]
où :
1:
j:
Indice se rapportant aux ouvertures situées au-dessous du plan neutre
Indice se rapportant à chaque ouverture
Le débit massique correspondant est le suivant :
M 1 j  Q1 j .e
[22]
3) On calcule, pour chaque ouverture située au-dessus du plan neutre, le débit volumique sortant
par la relation suivante :
 2 g.( H 2 j  X ).( e  i) 

Q2 j  S2 j .



.

i
2
j


0,5
[23]
où :
2:
Indice se rapportant aux ouvertures situées au-dessus du plan neutre
Le débit massique correspondant est le suivant :
M 2 j  Q2 j .i
[24]
4) On calcule la somme des débits massiques entrants (ΣM1j) et la somme des débits massiques
sortants (ΣM2j).
5) Si ΣM1j = ΣM2j, la valeur de X initialement fixée est bien la valeur recherchée. Dans le cas
contraire, il faut modifier la valeur initiale de X, réitérer les calculs ci-avant et recommencer
l’ensemble des opérations jusqu’à obtenir l’égalité parfaite.
Annexe 1 : Equation de Bernoulli
Objectif : Appliquer l’équation fondamentale de la mécanique des fluides, sous forme finie, entre
les points 1 et 2 d’un circuit dépourvu d’organe actif comme, par exemple, un
ventilateur. Cette équation exprime la constance de l’énergie contenue par le fluide réel
qui s’écoule en régime permanent.
Les équations ci-après sont applicables aux fluides non compressibles ou considérés comme tels
dans la plage des pressions en cause. C’est, par exemple, le cas de l’air dans les circuits de
ventilation des bâtiments d’habitation.
Selon la nature des problèmes à résoudre à résoudre, on choisit l’une des trois formes suivantes de
l’équation de Bernoulli.
Equation de Bernoulli exprimée en énergie par unité de poids
L’équation de Bernoulli s’exprime comme suit :
z1 
p1 V12
p
V2

 z2  2  2  h
 .g 2 g
 .g 2 g
[A11]
où :
1:
2:
zn :
pn :
Vn :
h :
:
g:
zn :
Indice se rapportant au point 1
Indice se rapportant au point 2
Altitude du point n (m)
Pression au point n (Pa)
Vitesse de circulation au point n (m/s)
Perte de charge du circuit entre les points 1 et 2 (m)
Masse volumique du fluide (kg/m3)
Accélération de la pesanteur (m/s²)
Energie potentielle de position ou d’altitude.
pn
: Energie potentielle de pression.
 .g
Vn2
: Energie cinétique liée à la vitesse.
2g
Les différents termes de cette équation s’expriment en m.
Equation de Bernoulli exprimée en énergie par unité de masse
L’équation de Bernoulli s’exprime comme suit :
z1.g 
p1


V12
p V2
 z2 .g  2  2  h'
2

2
[A12]
Les différents termes de cette équation s’expriment en m²/s².
Equation de Bernoulli exprimée en énergie par unité de volume
L’équation de Bernoulli s’exprime comme suit :
z1. .g  p1   .
V12
V2
 z2 . .g  p2   . 2  P
2
2
[A13]
où :
P : Perte de pression du circuit entre les points 1 et 2 (Pa)
Les différents termes de cette équation s’expriment en Pascal.
Annexe 2 : Masse volumique de l’air humide
Les lois de Mariotte et de Dalton permettent d’écrire :
 = a + v
[A21]
P = Pa + Pv
[A22]
 P  1 
.

 P0    .T 
  0 .
[A23]
où :
P:
:
a :
v :
Pa :
Pv :
0 :
:
Pression atmosphérique (bar)
Masse volumique de l’air humide (kg/m3) sous la pression atmosphérique P
Masse volumique de l’air sec (kg/m3) sous la pression atmosphérique P
Masse volumique de la vapeur d’eau (kg/m3) sous la atmosphérique P
Pression partielle de l’air sec (bar)
Pression partielle de la vapeur d’eau (bar)
Masse volumique (kg/m3) sous la pression P0 (bar) et la température absolue T = 1/ (K)
Coefficient de dilatation des gaz (≈ 0,00366)
Pour l’air sec, on peut écrire :
 P  Pv   1 
.

 P0    .T 
a  a0 .
[A24]
Pour la vapeur d’eau, on peut écrire :
 Pv   1 
.

 P0    .T 
v  v0 .
[A25]
Quelles que soient la température et la pression dans la plage des valeurs habituelles en air humide,
on a trouvé expérimentalement que :

v
 0,622
a
D’où :
 Pv   1 
.

 P0    .T 
v  a0 . .
[A26]
En remplaçant, dans [A21], a et v par leurs expressions [A24] et [A26] et, après simplification, on
obtient :

a0  P  (  1) Pv 
.

P0 . 
T

[A27]
D’où, en introduisant les valeurs numériques :
P
T 
 Pv 

T 
  348,4.   131,3.
[A28]
On peut écrire :
 W .P 
Pv  

 W 
[A29]
D’où :
P
T 


W .P

 (0,622  W ).T 
  348,4.   131,3.
[A210]