Devoir surveillé N°3.

PCSI. 00/01.
Physique.
Devoir surveillé N°3.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une
présentation claire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi
le vecteur sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
Exercice 1. Etude de différents régimes d'un circuit.
La partie C est totalement indépendante de A et B ; la partie B est pour une grande part
indépendante de A.
A. On considère le circuit ci-dessous composé de deux branches de même résistance R
comportant en outre l'une une self pure L et l'autre un condensateur de capacité C. Elles sont
alimentées par un générateur de tension continue de f.é.m. E et de résistance interne
négligeable. On pose :  = RC = L/R.
Le condensateur étant déchargé, on ferme à l'instant t =0 l'interrupteur K.
On désignera respectivement par i1 et i2 les intensités dans la branche contenant la self et
dans la branche contenant le condensateur.
A.1 Déterminer en fonction du temps le régime transitoire i1 (t) et tracer l'allure de la
courbe correspondante.
A.2 Déterminer de même le régime transitoire i2 (t) et tracer l'allure de la courbe
correspondante.
A.3 A quel instant aura-t-on i1= i2 ?
Application numérique L = 1,0 H ; C = 1,0 F ; R = 1,0.103 
B. On considère toujours le même circuit alimenté par le même générateur.
K étant fermé, le régime permanent est établi. A un instant que l'on choisira comme nouvelle
origine des temps, on ouvre l'interrupteur K.
B.1 Etablir les équations différentielles du second ordre relatives à la charge q du
condensateur d'une part, à l'intensité i du courant d'autre part.
B.2 Indiquer quelles sont à l'ouverture de K les expressions initiales de q et de i.
B.3 En déduire en fonction du temps l'expression, en régime transitoire, de la charge
q(t). On discutera des différents cas possibles suivant les valeurs de R, L et C mais
on ne cherchera pas à déterminer les constantes d'intégration. Donner, dans
chaque cas, l'allure de la courbe q(t).
B.4 Application numérique L = 1,0 H ; C = 1,0 F ; R = 1,0.103  ; E = 10 V.
Déterminer complètement q(t).
C. On considère toujours le même circuit, mais le générateur est remplacé par un générateur
de tension alternative de f.é.m e = Emcost dont la résistance interne est toujours
négligeable. Le condensateur étant déchargé, on ferme l'interrupteur K à l'instant t = 0. On ne
considérera plus maintenant que le régime sinusoïdal forcé.
C.1 Déterminer l'expression de l'amplitude Im1 et du déphasage 1 du courant i1(t) par
rapport à la tension e(t).
C.2 Déterminer l'expression de l'amplitude Im2 et du déphasage 2 du courant i2(t) par
rapport à la tension e(t).
C.3 Quelle relation doit-on avoir entre R, L et C pour que i2 soit en quadrature avance
par à i1 et cela quelle que soit la fréquence ?
C.4 La condition établie en C.3 étant réalisée, déterminer quelle est la valeur de
l'amplitude Vm de la tension VA-VB (voir schéma).
Dépend-elle de la fréquence ?
Exercice 2. Etude du mouvement d'un point dans un cylindre creux, avec et sans
frottement.
Du point le plus bas Mo d'un cylindre creux, de rayon R et d'axe horizontal, est lancé une
particule de masse m avec une vitesse horizontale vo perpendiculaire à la génératrice
passant par Mo.
Cette particule M, qui se déplace dans le plan de section droite du cylindre de centre O, est
repérée à chaque instant par l'angle  = (OMo, OM). On désigne par g le module du champ
de pesanteur supposé uniforme.
A. Le point M glisse sans frottement à l'intérieur du cylindre.
A.1 Exprimer en fonction de m, R, vo et g, le carré de la vitesse angulaire  2 de M en
d d d d 


.
fonction de son élongation angulaire . Remarque :  
dt d dt d
A.2 Déterminer de même la réaction N() du cylindre sur la particule M.
7
A.3 Calculer l'amplitude m des oscillations pour vo  gR et pour vo 
gR .
5
A.4 Pour quelles valeurs de la vitesse initiale vo ( exprimées en fonction de g et de R ),
la particule M sera-t-elle animée d'un mouvement révolutif dans le même sens?
B. Le point M glisse avec frottement solide à l'intérieur du cylindre avec un coefficient de
frottement f= T/N, où T et N sont les modules des composantes tangentielle et normale de la
réaction du cylindre sur M.
B.1 Etablir l'équation différentielle du second ordre en (t), qui fait intervenir les seules
données f, g et R.
Exercice 3. Amplificateur inverseur-non inverseur à gain réglable. Résistance d’entrée.
Dans le montage ci-dessous, on supposera l’amplificateur opérationnel idéal. La position du
curseur C, mobile entre O et N, définit les résistances r et R1- r. On posera X = Ro + R1.
1. Calculer le gain en tension G =
US
de cet amplificateur en fonction de R2, X et du
UE
Rr
.
RX
2. On veut que ce montage fonctionne en amplificateur inverseur-non inverseur, de
gain réglable entre –3 et +0,5 par déplacement du curseur sur la totalité de la
résistance comprise entre les points N et O. On pose R2 = 5 X = 20 k .
paramètre  
Calculer les résistances Ro, R1 et R qu’il faut adopter dans ces conditions.
3. Calculer la résistance d’entrée Re de cet amplificateur en fonction de X, R et .
4. Entre quelles limites varie Re dans les conditions de la deuxième question ?
5. On se place dans les conditions où  est minimal (curseur en O). Déterminer la
résistance R qu’il faut adopter pour que le montage ait le même gain en module
lorsque M est mis à la masse ou lorsque N est mis à la masse.
Application numérique : Ro = 1 k, R1 = 3 k, R2 =5 X = 20 k.
Calculer la résistance R et le module du gain.