9-Les lentilles minces

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7
LES LENTILLES MINCES
A –L’essentiel du cours
7.1 Les généralités
7.1.1 La définition
On appelle lentille, en optique, tout milieu transparent limité par
deux surfaces dont l’une au moins n’est pas plane.
7.1.2 La description
Les éléments géométriques d’une lentille sont donnés sur le document
ci-contre (doc.7.1).
7.1.3 La classification
On distingue :
 les lentilles à bords minces ou convergentes (doc.7.2) ;
 les lentilles à bords épais ou divergentes (doc.7.3).
7.1.4 La formation des images
a.- Les défauts d’une lentille. Une lentille qui présente des aberrations géométriques (sphéricité, distorsion, etc.) ou
chromatiques (dispersion) ne peut donner d’un objet une image nette : on dit qu’elle n’est pas stigmatique (doc.7.4).
b.- Les conditions de Gauss. Une lentille ne donne d’images nettes
que :
− si elle est diaphragmée (rayons traversant la lentille à une petite
distance de l’axe) ;
− si l’objet, situé dans un plan de front, est de petite dimension ;
− si l’objet se trouve au voisinage de l’axe (rayons peu inclinés sur
l’axe) (doc.7.5).
7.2 Les propriétés fondamentales
7.2.1 Le centre optique
 Tout rayon lumineux passant par le centre optique d’une lentille mince (convergente ou divergente) ne subit
aucune déviation (doc.7.6).
2
7.2.2 Les foyers principaux
 Tout rayon incident parallèle à l’axe principal, émerge de la lentille en passant par le foyer principal image
(lentille convergente), ou en semblant provenir du foyer principal image (lentille divergente) (doc.7.7 et 7.8).
 Tout rayon incident qui passe par le foyer principal objet (lentille convergente), ou qui se dirige vers le foyer
principal objet virtuel (lentille divergente), émerge de la lentille parallèlement à l’axe principal.
7.2.3 Les foyers secondaires
 Tout rayon incident parallèle à un axe secondaire OF1’, émerge de la lentille en passant par le foyer secondaire
image F1’ (lentille convergente), ou comme s’il provenait du foyer secondaire image virtuel F1’ (lentille divergente)
(doc.7.9).
 Tout rayon incident qui passe par un foyer secondaire objet F1 (lentille convergente), ou qui se dirige vers un foyer
secondaire objet virtuel F1 (lentille divergente), émerge de la lentille parallèlement à l’axe secondaire F 1O (doc.7.10).
7.2.4 Les plans focaux
Ce sont les plans perpendiculaires à l’axe principal en F (objet) et F’ (image) et
contiennent tous les foyers secondaires objets et images.
La distance f d’un plan focal à la lentille s’appelle distance focale (doc.7.11).
3
7.3 Les images données par les lentilles
REMARQUE.-Pour la construction géométrique des images, voir le
problème résolu 7.1.
7.3.1 Les lentilles convergentes
O B J E T
1. Réel, à l’infini, de diamètre
apparent  .
2. Réel, entre l’infini et 2f.
I M A G E
Réelle, dans le plan focal,
renversée. A’B’ f .
Réelle, renversée, plus
petite; entre f et 2f.
3. Réel, à 2f.
Réelle, renversée, égale;
à 2f.
4. Réel, entre 2f et f (doc.7.12). Réelle, renversée, plus
grande; entre 2f et l’infini.
5. Réel, dans le plan focal.
A  l’infini, de diamètre
apparent ’ ABf.
6. Réel, entre F et O (doc.7.13). . Virtuelle, droite, plus
grande; entre l’infini et O.
7. Réel, sur la lentille.
Virtuelle, coïncide avec
l’objet.
8. Virtuelle, entre O et l’infini
Réelle, droite, plus
(doc.7.14).
petite; entre O et F’.
7.3.2 Les lentilles divergentes
O B J E T
1. Réel, entre l’infini et O
(doc.7.15).
2. Virtuel, entre O et F
(doc.7.16).
3. Virtuel, en F.
I M A G E
Virtuelle, droite, plus
petite; entre F’ et O.
Réelle, droite, plus grande;
entre O et l’infini.
A  l’infini, de diamètre
apparent ’ AB f.
4. Virtuel, entre F et l’infini (1) Virtuelle, renversée;
(doc.7.17).
entre l’infini et F’.
(1)  p 2f  A’B’ AB.  p=2f  A’B’=AB.  p2f  A’B’AB.
4
7.4 Les formules des lentilles
7.4.1 Les formules de Descartes
 Relation de conjugaison :
 Relation de grandissement :
7.4.3 Les formules de Newton
Les foyers objet F et image F’ sont les origines des abscisses des objets et des images (doc.7.20).
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7.5 La vergence des lentilles
7.5.1 La définition
 La vergence C d’une lentille mince est l’inverse de sa distance focale image (doc.7.21).
 Une lentille convergente a une vergence positive, ou convergence, C  0.
 Une lentille divergente a une vergence négative, ou divergence, C  0.

7.5.2 Le théorème des vergences
La vergence d’un système de lentilles
minces accolées, de même axe principal,
est égale à la somme algébrique des
vergences de toutes les lentilles.
7.5.3 L’expression de la vergence
B –Problèmes résolus
7.1
1) A l’aide d’une lentille mince convergente L, de distance focale f = 5cm, on obtient l’image A’B’ d’un objet
AB de 1,5cm de hauteur, placé à 7cm de cette lentille.
a- A l’aide d’un schéma en vraie grandeur, déterminer la position et la grandeur de l’image A’B’.
b- Retrouver par le calcul la position et la grandeur de A’B’.
2) Reprendre les questions précédentes, la lentille ayant été remplacée par une lentille divergente.
1) Construction graphique.
Deux des trois rayons émergents, donnés ci-dessous, déterminent les caractéristiques de l’image (doc.7.22).
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1- Le rayon BI parallèle à l’axe principal, émerge en passant par le foyer principal image F’.
2- Le rayon BO qui passe par le centre optique, n’est pas dévié.
3- Le rayon BJ qui passe par le foyer principal objet F, émerge parallèlement à l’axe principal.
L’intersection B’ de ces rayons détermine l’image B’ du point B. Puisque l’image cherchée est, comme l’objet,
perpendiculaire à l’axe optique, A’B’ donne la position et la grandeur de l’image.
a- La construction graphique nous permet de constater que :
L’image obtenue A’B’ est réelle, renversée (de sens contraire à l’objet), de 3,7 cm de hauteur et située à
17,5 cm (entre le plan antiprincipal image 2f et l’infini).
b- Les positions de l’image et de l’objet sont liées par la relation de conjugaison de Descartes :
L’image est réelle (OA’> 0) et située à 17,5 cm derrière la lentille.
Le grandissement vaut :
L’image renversée ( < 0) a pour hauteur :
A’B’= AB   = 1,5  2,5 = 3,75 cm.
2) Construction graphique
1- Le rayon BI parallèle à l’axe optique, se réfracte comme s’il provenait du foyer principal image F’.
2- Le rayon BJ qui se dirige vers le foyer principal objet F, émerge parallèlement à l’axe principal.
3- Le rayon BO qui passe par le centre optique, n’est pas dévié.
Les prolongements de ces rayons réfractés se coupent en B’, image du point B. A’B’ est donc l’image de AB
(doc.7.23).
a/- D’après la construction graphique on trouve :
L’image A’B’ est virtuelle, droite, de 0,6 cm de hauteur et située à 2,9 cm devant la lentille.
L’image est donc virtuelle (OA’ 0) et située à 2,92 cm en avant de la lentille.
Le grandissement a pour valeur :
L’image droite ( 0) a pour hauteur :
A’B’= AB   = 1,5  5/12 = 0,625 cm.
7
7.2
Un système optique forme une image AB sur un écran E. En avant de celui-ci, on interpose une lentille et on
constate qu’on obtient une nouvelle image réelle A’B’, à condition de déplacer E de 20 cm.
Trouver la nature et la distance focale de la lentille utilisée, et dire dans quel sens il faut déplacer l’écran E
quand l’image A’B’ est :
1) 2 fois plus petite que AB;
2)2 fois plus grande que AB.
L’image AB, qui ne se forme pas à cause de l’interposition de la lentille, joue le rôle d’un objet virtuel pour
celle-ci. La lentille en donne une image réelle A’B’, déplacée de 20 cm.
1) L’image A’B’ étant 2 fois plus petite qu l’objet AB, la relation de grandissement de Descartes donne :
Il faut remarquer que l’objet et l’image sont :
 de même sens, s’ils sont de natures différentes;
 de sens contraires, s’ils sont de même nature.
La relation de cojugaison de Descartes
Puisque OF’ 0, la lentille utilisée est convergente.
2) L’image A’B’ étant 2 fois plus grande que l’objet AB, la relation de grandissement s’écrit :
La distance focale de la lentille utilisée est donnée par
la relation de conjugaison :
Puisque OF’< 0, la lentille est divergente.
8
7.3
Méthode de Bessel. Étant donné un point objet A et un écran E séparés par une distance D, montrer qu’il
existe entre eux deux positions à donner à une lentille convergente L, telles que l’image A’ du point A se
forme sur l’écran E.
En désignant par d la distance de ces deux positions de la lentille, on demande d’exprimer la distance focale
de la lentille en fonction de D et d. Indiquer la condition de possibilité du problème.
Application numérique : D = 1,60 m ; d = 0,80 m.
Pour une culture
Friedrich Wilhelm Bessel
(1784 – 1846)
Astronome et mathématicien allemand.
Les résultats de ses calculs concernant l’orbite de la comète de Halley
sont remarqués par Heinrich Olbers, qui l’encourage à étudier d’autres
comètes. En observant les orbites de certaines planètes, il est amené à
élaborer une étude systématique des propriétés mathématiques de
certaines fonctions connues sous le nom de fonctions de Bessel.
En 1838, il réalise la première mesure sérieuse d’une distance stellaire.
Soit le point A sur l’axe optique de la lentille.
Pour que son image puisse être reçue sur l’écran E, A doit être à gauche de F (foyer objet). Si A est situé entre F
et le point Q d’abscisse  2f (plan antiprincipal objet), son image est à droite du point Q’ d’abscisse 2f (plan
antiprincipal image) (doc.7.26).
Nous voyons donc que la distance D entre le point A et l’écran E est limitée inférieurement.
Avec les conventions et notations adoptées, nous aurons :

AA’= D = p + p’,

et par suite :
OA’= p’= D  p.
La relation de conjugaison de Descartes s’écrit :
D’où:
p2  Dp + Df = 0.
Cette équation n’a de racines et par suite le problème n’est possible que si :
D2  4Df  0, soit D  4f.
 Si D = 4f, il n’y a qu’une seule position de la lentille (doc.7.27) :
P = D/2 = 2f, par suite f = D/4 (méthode de Silbermann).
 Si D  4f, nous trouvons ainsi qu’il y a deux positions possibles de la lentille. Elles sont à une distance de A
donnée par :
Remarquons que :
les deux positions de la lentille sont symétriques l’une de
l’autre par rapport au milieu de AA’.
Il en résulte que :
p1 = p2’ et
p2 = p1’.
C’est une conséquence du principe du retour inverse de
la lumière.
La différence d entre les 2 positions de la lentille étant égale à la différence des racines de cette équation du
second degré, nous pouvons écrire (doc.7.28) :
9
7.4
1) En accolant à une lentille biconvexe L1 , de vergence 25 et d’indice n = 1,5 , un ménisque divergent L2 de
même indice, on obtient une lentille équivalente équiconvexe L (biconvexe à courbures symétriques). Cette
lentille L donne d’un objet réel, situé à 30 cm de son centre optique O, une image réelle située à 60 cm du
centre optique O. Calculer la distance focale de L2 ainsi que les rayons de courbure des lentilles L1 , L2 et L.
2) Les lentilles L1 et L2 sont placées de façon à avoir le même axe principal; la distance de leurs centres
optiques est O1O2 = 3 cm. Un objet lumineux AB = 2 cm est placé perpendiculairement à l’axe commun à
12 cm devant L1. A l’aide d’un schéma en vraie grandeur, déterminer la position et la grandeur de l’image
finale A’B’.
Retrouver ces résultats par le calcul.
1) Soient p et p’ les distances de l’objet et de l’image à la lentille équivalente L.
La vergence C de cette lentille est donnée par la relation de conjugaison :
L’objet et l’image étant réels, on a : p=  0,30 m et p’= 0,60 m.
La vergence du ménisque divergent L2 est calculée par application du théorème des vergences :
C = C1 + C2,
5 = 25 + C2

C2 =  20  .
Par suite, la distance focale de cette lentille serait :
En désignant par R1 le rayon de la face convexe et par R2 le rayon de la face
concave, l’expression de la vergence des lentilles s’écrit (doc.7.29) :
Des équations précédentes, on tire :
R1 = 20 cm ;
R2 = 2,2 cm.
2) La lentille L1 donne de l’objet réel AB une image réelle A1B1. La construction graphique (voir prob. 7.1) nous
permet de mesurer sur la figure :


O1A1 = 6 cm, A1B1 =  1 cm ;
La relation de conjugaison de Descartes donne :
10
Le grandissement 1 s’en déduit :
Puisque les rayons qui forment cette image sont interceptés par L2, l’image A1B1 ne se forme pas et devient un
objet virtuel pour L2. La construction graphique montre que l’image A’B’ de A1B1 à travers L2 est réelle
(doc.7.30).
Mesurons sur la figure :


O2A’ = 7,5 cm, A’B’ =  2,5 cm ;
Retrouvons ces résultats par le calcul.
La relation de conjugaison donne :
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
Avec O2A1 = O1A1  O1O2 = 6  3 = 3 cm et O2F’2 =  5 cm, nous aurons :

Nous retrouvons effectivement une image réelle (O2A’  0).
Le grandissement avec la lentille L2 vaut :
Le grandissement  du système est le produit des grandissements de chacune des lentilles :
 = 2  1 ;
d’où :
 = 2,5   ½ = 1,25.
L’image finale est donc renversée ( 0) et a pour hauteur :
A’B’ = AB   = 2  1,25 = 2,5 cm.
Pour une culture
Johann Theobald Silbermann (1806 – 1865)
Physicien français. Préparateur de physique à la Faculté des sciences et conservateur des collections du conservatoire des arts et
métiers. Il est surtout connu pour avoir, avec Favre, réaliser les premières mesures de thermochimie, à propos des chaleurs de
combustion de corps organiques. On lui doit également un focomètre, pour la mesure des distances focales des lentilles, un
pyromètre, un héliostat, etc.
11
7.5
Un miroir plan M est normal à l’axe optique d’une lentille mince convergente L de distance focale f. La face
réfléchissante du miroir est à la distance fixe OM = 2f de la lentille.
1) Quelle doit être la position d’un objet AB, perpendiculaire à l’axe optique, pour que l’image définitive A’B’
donnée par le système lentille-miroir-lentille soit :
a) égale à AB et de même sens ?
b) égale à AB et de sens contraire ? Quel est l’intérêt de ce cas ?
2) Trouver la position et la grandeur de A’B’ si AB est appliqué contre la lentille.
Application : f = 15 cm ; AB = 3 cm.
1) Suivons la marche des rayons à travers ce système (doc.7.31).
 De l’objet AB, la lentille L donne une image A1B1.
 De l’objet A1B1, le miroir M donne une image A2B2.
 De l’objet A2B2, la lentille L donne l’image finale A’B’.
D’après le principe du retour inverse de la lumière, l’image de
A’B’ donnée par la lentille L serait A2B2.
Comme A1B1 = A2B2 (objet et son image dans le miroir M), la
condition AB = A’B’ entraîne que AB et A’B’ se trouvent à la
même distance par rapport à la lentille L, puisque à un
grandissement donné correspond une seule position de l’objet.
Il en résulte que A1B1 et A2B2 soient confondus.
Or, l’objet A1B1 et son image A2B2 dans le miroir M ne sont confondus que dans deux cas :
a) A1B1 et A2B2 sont confondus sur le miroir M. Nous aurons dans ce cas : AB et A’B’ de même sens et
La position de AB serait donnée par la relation de conjugaison :

Application numérique : OA = 2  15 =  30 cm.
b) A1B1 et A2B2 sont rejetés à l’infini. AB et A’B’ sont donc de sens contraires et situés dans le plan focal de la
lentille L (doc.7.33).

D’où:
OA =  f.

Application numérique :
OA =  15 cm.
Ce cas représente le principe de la méthode d’autocollimation destinée à déterminer expérimentalement la
distance focale, et par suite la vergence, d’une lentille convergente.
2) La lentille L donne de l’objet AB une image virtuelle A1B1, confondue avec l’objet AB.
Le miroir plan M donne de A1B1 (objet réel) une image virtuelle A2B2, symétrique et égale à A1B1 (donc à AB).


MA1 = MA2 = 2f.
12

Par suite :
OA2 = 4f.
La lentille L donne de A2B2 (objet réel) une image finale A’B’, dont la position est telle que (doc.7.34) :

Comme OA’  0, l’image finale est réelle.
Le grandissement vaut :
L’image renversée (  0) a pour valeur :
A’B’ = AB   = AB  ⅓ = AB/3.
Application numérique :
7.6
Un ménisque convergent, de 50 cm de distance focale, est argenté sur sa face convexe. On place à 1 m devant
la face concave un point lumineux A. Les rayons traversent la face concave, se réfléchissent sur la face
convexe et traversent la face concave de nouveau. Le système donne ainsi du point lumineux A une image
réelle A’, située à 7,7 cm de la face concave.
En supposant l’épaisseur du ménisque négligeable, calculer les rayons de courbure de ses faces (Indice du
verre : 1,50).
Lorsqu’on argente la face convexe, celle-ci se
comporte comme un miroir concave. Le système serait
donc formé d’une lentille accolée à un miroir concave.
Puisque l’épaisseur du ménisque est négligeable, on
peut confondre le sommet S du miroir et le centre
optique O de la lentille.
 Du point objet réel A situé à 2f = 100 cm du
ménisque, celui-ci donne une image réelle A1 située
également à 2f = 100 cm (Voir § 7.3.1).
 Puisque le miroir concave empêche la formation de
l’image A1, celle-ci joue le rôle d’un objet virtuel pour
le miroir qui en donne une image réelle A2. La relation
de conjugaison de Descartes donne :
13
REMARQUE.-Pour la convention de signes, il faut revoir la relation de conjugaison de Descartes pour les lentilles et les miroirs.
 L’image A2 ne se forme pas à cause de la lentille. Elle devient un objet virtuel pour celle-ci qui en donne une
image réelle A’, située à 7,7 cm (doc.7.35).
La relation de conjugaison s’écrit :
Le rayon de courbure de la face convexe a pour valeur :
R = 2f = 2  10 = 20 cm.
Le rayon de courbure de la face concave est donné par l’expression de la vergence des lentilles :
7.7
Une lentille convergente L, de 20 cm de distance focale, est placée à 10 cm devant un miroir convexe M, sur
le même axe principal. Le rayon de courbure de M est 20 cm.
1) Étudier la marche d’un rayon lumineux parallèle à l’axe principal, puis celle d’un rayon lumineux passant
par le point G, situé sur l’axe principal à 60 cm devant la lentille (les rayons lumineux traversent L, se
réfléchissent sur M et traversent L de nouveau).
2) Déduire la construction de l’image d’un objet AB = 2 cm, placé à 120 cm devant L normalement à l’axe
principal. Trouver par le calcul la position et la hauteur de cette image et tracer la marche d’un faisceau
lumineux.
3) Le système optique formé de L et de M est équivalent à un miroir unique dont on demande de déterminer la
nature, la position et la distance focale.
1)  Un rayon lumineux parallèle à l’axe principal, se réfracte à travers L, en se dirigeant vers son foyer
principal F’, qui est confondu avec le foyer principal φ du miroir convexe. Comme il vise le foyer de ce dernier,
le rayon se réfléchit parallèlement à l’axe principal et, rencontrant de nouveau L, se réfracte en passant par son
foyer principal F.
 Le rayon issu de G et tombant sur L, se réfracte en se dirigeant vers l’image de G, dont la position est telle
que :
Ce point n’est autre que le centre de courbure C du miroir
convexe. Le rayon réfracté qui vise C, se réfléchit donc sur
lui-même et, rencontrant de nouveau L, repasse par G,
d’après le principe du retour inverse de la lumière
(doc.7.36).
2)  La lentille L donne de l’objet réel AB une image
A1B1, telle que :
14
Le grandissement vaut :
 Comme le miroir convexe M empêche l’image A1B1 de se former, celle-ci devient un objet virtuel pour M
qui en donne l’image A2B2. La position de cette image, par rapport à M, est donnée par la relation de
conjugaison (doc.7.37) :
Or
et
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

SA1= (OA1  OS) =  24 + 10 =  14 cm,
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S φ =  R/2 =  20/2 =  10 cm.
La relation de grandissement donne :
A2B2 joue le rôle d’un objet réel pour la lentille L. Celle-ci en donne une image finale A’B’ telle que :


Avec OA2 =  (10 + 35) =  45 cm et OF = 20 cm, nous aurons :
Le grandissement s’en déduit :
Le grandissement du système a pour valeur :
 = 123,
 = 0,2  2,5  0,8 = 0,4 (image renversée).
La hauteur de cette image serait :
A’B’ = AB   = 2  0,4 = 0,8 cm.
L’image finale A’B’ est donc réelle, renversée, de 0,8 cm de hauteur et située à 36 cm de la lentille.
Un faisceau incident divergent issu de B, serait transformé par la lentille en un faisceau convergent de sommet
virtuel B1. Par réflexion sur le miroir convexe, il donne un faisceau réfléchi divergent de sommet virtuel B 2.
Finalement la lentille le transforme en un faisceau convergent de sommet réel B’.
3) Le système optique, formé de L et de M, est équivalent à un miroir concave, de sommet S’, de distance
focale S’φ’ et situé à une distance x de AB (doc.7.38).
Puisque ce miroir doit donner une image réelle A’B’ de 0,8 cm de hauteur, le grandissement vaut :
15
Or:
 

S’A’= S’A  A’A = x  84.
La distance focale de ce miroir serait :
Le sommet de ce miroir coïncide donc avec le foyer F’ de la lentille (ou φ du miroir convexe).
7.8
Une lentille convergente, de 10 cm de distance focale, est disposée horizontalement et parallèlement au fond
d’une cuve cylindrique de hauteur 20 cm, dont l’axe coïncide avec l’axe principal de la lentille. La distance
de la lentille au fond de la cuve est 34 cm. Un petit objet AB, perpendiculaire à l’axe, est placé à 15 cm de la
lentille.
1) Calculer la hauteur d’eau, d’indice n = 4/3, qu’il faut verser dans la cuve pour que l’image de AB se forme
sur le fond de la cuve.
2) On remplace l’eau par un liquide d’indice n’. Sachant que pour maintenir l’image de AB sur le fond de la
cuve, il faut verser ce liquide sur une hauteur de 12 cm. Calculer son indice n’.
3) On verse ce liquide (d’indice n’) sur une hauteur de 18 cm. Dans quel sens et de combien il faudra
déplacer l’objet AB pour que son image se forme toujours sur le fond de la cuve.
1)  La lentille convergente donne de l’objet AB une image A1B1,
telle que :
 Les rayons qui se dirigent pour former A1B1, se réfractent à
travers le dioptre air/eau. A1B1 devient un objet virtuel pour le
dioptre qui en donne une image réelle A’B’ sur le fond de la
cuve, telle que (doc.7.39) :
Comme le fond de la cuve est à 34 cm de la lentille, on peut
écrire :
p1 = h  4
et
p2 = h.
16
2)  La lentille convergente donne toujours de AB une image réelle A1B1, située à 30 cm de la lentille ou à 4
cm du fond de la cuve.
 Ne se formant pas à cause du nouveau dioptre, A1B1 joue le rôle d’un objet virtuel pour ce dernier qui en
donne une image réelle A’B’ sur le fond de la cuve, telle que :
Avec p’1 = 12  4 = 8 cm
p’2 = 12 cm, n’ aura pour valeur :
8/12 = 1/n’ 
n’ = 1,50.
3)  Quand on verse 18 cm du liquide d’indice n’ = 1,50, la distance de l’objet virtuel A1B1 par rapport au fond
de la cuve serait :
et

OA1 = 34  6 = 28 cm.
La relation de conjugaison de Descartes donne dans ce cas :
La distance de A1B1 à la lentille est donc :
Il faut donc soulever l’objet AB de :
15,6  15 = 0,6 cm.
7.9
Deux lentilles convergentes, L1 de distance focale f1= 20 cm et L2 de distance focale f2 = 10 cm, sont centrées
sur le même axe.
1) On place à 40 cm de L1 un petit objet lumineux AB. A quelle distance de L1 faut-il placer L2 pour avoir une
image réelle, égale à AB et de même sens ? Quelle est la distance qui sépare l’image de l’objet ?
2) Sans changer la position relative des lentilles, on place entre celles-ci une lame à faces parallèles de 9 cm
d’épaisseur en verre d’indice 1,5, dont les faces sont perpendiculaires à l’axe du système. Quels sont le
sens et le déplacement de l’image définitive ? Quelle est la grandeur de l’image finale par rapport à AB ?
3) La lame étant enlevée, ainsi que l’objet AB, on dispose une source ponctuelle monochromatique S à 20 cm
de L1. Un prisme en verre, dont l’angle au sommet vaut 6, est placé ensuite entre les 2 lentilles, l’une de
ses faces étant normale à l’axe optique commun. On constate que l’image de S se déplace de 6 mm. Quel
est l’indice du verre du prisme?
1) On déduit ici tous les résultats sans utiliser les formules des lentilles.
Puisque AB se trouve à 40 cm de L1, il est donc situé à la distance 2f1 de la lentille (plan antiprincipal objet).
Celle-ci en donne une image A1B1 réelle, renversée, de même grandeur que l’objet et située également à la
même distance de la lentille (plan antiprincipal image).
Cette image A1B1 sert d’objet pour la lentille L2. Si sa distance à L2 est de 2f2 , on obtient une image réelle A’B’
égale à A1B1, donc égale à AB, renversée par rapport à A1B1, de même sens que AB (doc.7.40).
17
La distance de L2 à L1 doit être alors :
O1O2 = 2f1 + 2f2 = 40 + 20 = 60 cm.
La distance qui sépare l’objet AB de l’image A’B’ est donc :
AA’ = 4f1 + 4f2 = 80 + 40 = 120 cm.
2) La lame à faces parallèles interposée entre L1 et L2 déplace vers L2 l’image fournie par L1. Ce déplacement,
indépendant de la position de la lame, a pour valeur (doc.7.41) :
d = e (1  1/n).
Avec e = 9 cm et n = 1,5, d aura pour valeur :
d= 9 (1  1/1,5) = 3 cm.
REMARQUE.- La lame, quelle que soit sa position entre L1 et L2 , donne de l’objet A1B1 une image A2B2 déplacée de 3cm vers L2 .
La distance de cette image à L2 serait donc : 20  3 = 17 cm.
La position de l’image définitive A’B’ sera donnée par la relation de conjugaison :
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Avec O2A2 =  17 cm et O2F2’= 10 cm, on obtient :
L’image s’est donc éloignée de :
d’ = 24,3  20 = 4,3 cm.
La grandeur de A’B’ par rapport à AB se déduit de la relation :
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Avec A2B2 = A1B1 =AB, O2A’ = 24,3 cm et O2A2 = 17 cm, il vient :
2 = A’B’/AB = 24,3/17 = 1,4.
D’où:
A’B’ = 7/5 AB.
3) La source ponctuelle S étant placée au foyer principal objet de L1, les rayons qui en émanent émergent de L1
parallèlement à l’axe commun et arrivent normalement sur la face du prisme. Celui-ci confère aux rayons une
déviation vers sa base. Comme il est de petit angle, la déviation qui lui est relative est régie par la relation
D = (n’  1) A.
Les rayons arrivant sur L2 parallèlement à un axe secondaire , vont converger pour former l’image S’au foyer
secondaire image correspondant à  (doc.7.42).
Le déplacement résultant de l’image, dans le plan focal de L2, est donné par la relation :
18
tan D  Drad  d/f2..
D’où:
(n’  1) A  /180  d/f2 .
Avec A = 6, d = 0,6 cm et f2 =10 cm, n’aura pour valeur :
7.10
1) On donne une lentille mince, biconvexe, symétrique de vergence 4 dioptries. Calculer ses rayons de
courbure sachant que son indice par rapport à l’eau est 9/8. On rappelle que l’indice absolu de réfraction de
l’eau est 4/3.
2) Derrière cette lentille et à une distance d  25 cm de celle-ci, on place un miroir convexe admettant le
même axe principal. Soit F le foyer principal objet de la lentille.
a) Trouver l’image de F à travers le système. Soit A cette image.
b) Trouver deux points B1 et B2 sur l’axe qui sont confondus, chacun avec son image propre à travers le
système.
c) Montrer que si l’on pose :
Interpréter ce résultat.
3) En utilisant les 2 points B1 et B2 du paragraphe précédent, montrer que la distance focale du miroir
s’exprime en fonction de z1, z2 et f indépendamment de d.
Dégager de ce qui précède une méthode expérimentale pour la détermination de la distance focale d’un
miroir convexe en se servant d’une lentille convergente.
Que conclure si : z1 = 62,50 cm, z2 = 31,25 cm ?
1) L’indice relatif du verre par rapport à l’eau est égal au rapport des indices absolus du
verre et de l’eau :
Avec n = 9/8 et n1 = 4/3, n2 aura pour valeur :
n2 = n  n1 = 9/8  4/3 = 3/2 = 1,50.
La vergence d’une lentille biconvexe symétrique (doc.7.43) est donnée par la relation :
Avec C = 4 dioptries et n2 = 1,50, R aura pour valeur :
2) a)  Un premier rayon FO confondu avec l’axe principal, émerge de L sans déviation et arrive normalement
sur M. Il se réfléchit sur lui-même et revient sur le même trajet.
 Un second rayon FI, émerge de L parallèlement à l’axe principal et, rencontrant M, se réfléchit en
semblant provenir de son foyer principal φ. Ce rayon rencontre de nouveau L, parallèlement à l’axe secondaire
19
. Il se réfracte en passant par le foyer secondaire F1 et rencontre le premier rayon en A, image de F dans le
système (doc.7.44).
b)  Le point B1 doit être tel que son image donnée par L soit en S, sommet du miroir. Les rayons issus de B1
se réfractent à travers L en se dirigeant vers S. Ils se réfléchissent sur M symétriquement par rapport à l’axe
principal et reviennent, d’après le principe du retour inverse de la lumière, au même point B1.
 Le point B2 doit être tel que son image donnée par L soit en C, centre de courbure de M. Les rayons issus
de B2 se dirigent, après réfraction à travers L, vers C. Ils se réfléchissent sur eux-mêmes et reviennent en B2, en
vertu du principe du retour inverse de la lumière (doc.7.45).
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c) Posons: F’O =  FO = f ; SO = d ;  Sφ = f’.
Les résultats trouvés dans 2 a,b), d’après la marche des rayons, nous permettent d’écrire :
1- Le point B1 est l’image de S donnée parL.
2- Le point B2 est l’image de C donnée par L.
3- Le point A est l’image de φ donnée par L.
Appliquons la relation de position de Newton, relative aux lentilles, sur les 3 cas cités :
Eliminons d  f dans les équations 2 et 3, nous aurons :
En éliminant, finalement, f’ dans les deux dernières équations, nous obtenons :
20
REMARQUE.- On peut démontrer la relation précédente par une méthode géométrique.
Il suffit de remarquer que les points F, B2, A et B1 forment une division harmonique. Les deux points A et F sont, en effet, conjugués
harmoniques par rapport à B1 et B2. On peut donc écrire :
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Avec FB1 = z1, FB2 = z2, AB1 = z1 – z et AB2 = z2 –z, nous aurons :
Divisons tous les termes par zz1z2, nous obtenons :
On peut dégager de cette formule une méthode expérimentale pour la détermination de la distance focale d’un
miroir convexe. Il suffit d’utiliser une lentille convergente de distance focale connue et de trouver deux points B1
et B2 tels que leurs images à travers le système soient précisément B1 et B2.
Avec f = 1/C = 0,25 m, z1 = 62,50 cm et z2 = 31,25 cm, on trouve :
7.11
1) A quelle distance d’une lentille convergente L1, de distance focale 15 cm, faut-il placer un petit objet AB si
l’on veut obtenir une image A’B’, réelle et 3 fois plus grande que AB ? Généraliser si le grandissement voulu
est .
2) On intercale entre L1 et l’écran E, sur lequel se forme l’image, une lentille divergente L2, de distance focale
-20 cm ; L1 et L2 ayant le même axe principal. L’image sur l’écran E devient floue. En déplaçant E de 1 cm,
une image nette apparaît. Dire dans quel sens on a déplacé E et trouver la position de L2. Tracer la marche
d’un faisceau lumineux.
3) L’objet AB = 2 cm est maintenu à la même distance de L1. On dispose, ensuite, entre AB et L1, la lentille
divergente L2. Déterminer la position de L2, sachant que l’image définitive reçue sur un écran E’ mesure
6 cm. Tracer la marche d’un faisceau lumineux.
1) Désignons par p1 et p1’ les distances
respectives de l’objet et de l’image à L1 et par f1
sa distance focale. Re
L’image réelle étant 3 fois plus grande que
l’objet, la relation de grandissement donne
(doc.7.46) :L’ima
La relation de conjugaison de Descartes s’écrit :
Avec p1’= 3 p1 et f1 = 15 cm, nous aurons :
Nous retrouvons effectivement que l’objet est
réel ( p1  0).
D’une manière générale, nous pouvons écrire :
21
2) La lentille L1 donne de l’objet réel AB, situé à p1 =  20 cm, une image réelle A’B’, située à p1’= 60 cm
(Question 1).
L’interposition de la lentille L2 empêche la formation de A’B’ sur l’écran E. Cette lentille fait légèrement
diverger les rayons qui iront former une image AB sur l’écran E, qu’il faut éloigner de 1 cm. E est donc dans
ce cas à 61 cm de L1.
A’B’ est donc un objet virtuel pour L2 qui doit en donner une image réelle AB (doc.7.47).
REMARQUE.- A’B’ doit donc se trouver entre O2 et F2.
En désignant par p2 et p2’ les distances respectives de l’objet et de l’image à L2 et par d la distance entre L1 et L2,
la relation de conjugaison donne :
Avec p2’ = 61 d, p2 = 60  d et f2 = 20 cm, nous aurons :
D’où l’équation :
Les racines de cette équation sont :
d2  121d + 3 640 = 0.
La première valeur est la seule valable.Il faut donc placer la lentille divergente L 2 à 56 cm de la lentille
convergente L1.
REMARQUE.- Une autre méthode consiste à déterminer la distance de L2 à l’écran E.
Dans ce cas nous aurons :
Cette équation admet 2 racines : p2 = 0 (inacceptable) et p2 = 4 cm (valable).
La distance entre L1 et L2 serait :
d = 60  4 = 56 cm.
Un faisceau incident divergent qui émane de B, donne, après réfraction à travers L 1, un faisceau convergent de
sommet virtuel B’. En se réfractant à travers L2, il est transformé en un faisceau moins convergent de sommet
réel B.
3) Désignons par x la distance de l’objet AB à la lentille divergente L2.La distance qui sépare les deux lentilles
L1 et L2 serait (doc.7.48) :
d’= 20  x.
La lentille L2 donne de l’objet réel AB une image A’B’, telle que :
22
Avec : p2 = x cm et f2 = 20 cm, nous obtenons :
Comme p2’ 0, l’image A’B’ est donc virtuelle (comme elle se doit).
Le grandissement vaut :
L’image A’B’, donnée par L2, joue le rôle d’un objet réel pour la lentille L1 qui en donne une image réelle AB,
de 6 cm de hauteur et située à une distance p1’, de L1, telle que :
Le grandissement s’en déduit :
Le grandissement du système a pour valeur :
Or, nous savons que :
En remplaçant p1 par sa valeur, nous aurons l’équation :
x2  5x = 0.
Cette équation a 2 racines. L’une x = 0, ne convient pas, et l’autre x = 5 cm, nous permet de trouver la distance
des deux lentilles L2 et L1.
d’ = 20  5 = 15 cm.
Un faisceau incident divergent issu de B, serait transformé par L2 en un faisceau plus divergent de sommet
virtuel B’. La lentille L1 le transforme, finalement, en un faisceau convergent de sommet réel B.
Pour une culture
Lentille de Fresnel
Dans les phares, il faut obtenir un faisceau suffisamment large de rayons parallèles. Pour
remédier à l’aberration de sphéricité, Fresnel utilisa le premier les lentilles à échelons :
elles se composent d’une lentille centrale plan-convexe et d’une série de couronnes
concentriques. Le montage de ces couronnes est fait de manière que les rayons, venant de
la source lumineuse F, émergent parallèlement à l’axe principal de la lentille centrale
23
7.12
Deux lentilles plan-convexes, identiques, de 40 cm de distance focale, sont centrées sur un même axe, les
faces courbes en contact. Elles sont maintenues dans une monture suffisamment étanche pour que l’on
puisse remplir d’un liquide l’espace qui les sépare.
1) L’intervalle étant vide, on place un point lumineux sur l’axe, à 40 cm du système, supposé d’épaisseur
négligeable ; trouver la position de l’image.
2) On remplit l’intervalle d’un liquide d’indice inconnu et l’on constate que l’image s’éloigne de 80 cm de sa
position antérieure. Sachant que l’indice du verre des lentilles est 1,5, trouver celui du liquide.
1) Calculons d’abord la distance focale du système convergent constitué par l’accolement des deux lentilles
plan-convexes. Cette distance focale f est donnée par le théorème des vergences :
C = C1 + C2,
Pour trouver la position de l’image
A’ du point A, remarquons que
celui-ci est situé à une distance du
système égale à 2f = 40 cm (plan
antiprincipal objet). Il en est de
même de son image qui est réelle
(Voir § 7.3.1) (doc.7. 49).
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Par suite : OA’ = 40 cm.
2) Les lentilles convergentes restant
accolées, tout se passe comme si
nous avions introduit entre elles une troisième lentille, divergente, symétrique, dont le rayon de courbure de
chaque face est le même que celui de la face convexe des lentilles convergentes (doc.7.50). La valeur de ce
rayon est donnée par l’expression de la vergence :
Avec f1 = f2 = 40 cm et n = 1,5, nous aurons :
REMARQUE.- R1 et R2 sont positifs : faces convexes.
Le système obtenu donne de l’objet réel A, toujours à 40 cm, une
image qui s’est éloignée de 80 cm ; elle est donc réelle et à
40 + 80 = 120 cm du système.
La relation de conjugaison de Descartes donne :
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Avec OA’ = 120 cm, OA =  40 cm et OF’= f’, nous obtenons :
La distance focale, de la lentille biconvexe liquide, est donnée par
le théorème des vergences :
La lentille liquide est donc divergente (f3  0).
L’indice n’ du liquide est donné par l’expression :
Avec f3 = 60 cm et R1 = R2 = 20 cm (faces concaves), nous aurons :
24
REMARQUE.- Ce résultat est une valeur anormale d’un indice et ne correspond pas à un liquide réel. Nous rappelons, encore une fois,
que les valeurs numériques de certains problèmes sont parfois choisies arbitrairement, dans le but de simplifier les calculs.
La distance focale, de la lentille biconvexe
C –Problèmes proposés
7.13
Une lentille, de vergence C = 10 dioptries, donne d’un objet AB une image A’B’, 5 fois plus grande. Quelles sont les
positions de l’objet et de l’image si : a) l’image est réelle ? b) l’image est virtuelle ?
 Rép. - a) p=12 cm; p’=60 cm. b) p=8 cm; p’=40 cm.
7.14
Un système optique donne d’un objet une image réelle AB sur un écran. On interpose sur le trajet des rayons, à 22 cm
de l’écran, une lentille de vergence 6,0 dioptries et on enlève l’écran.
1) Construire l’image A’B’ donnée par cette lentille et préciser sa nature et son sens.
2) Retrouver par le calcul les caractéristiques de l’image.
3) Reprendre les mêmes questions pour une lentille de vergence 6,0 dioptries.
 Rép.- 2) p’= 9,5 cm ;  = 0,43. 3) p’= 69 cm ;  = 3,1.
7.15
Un dispositif optique donne une image réelle AB, de longueur 1 cm, qui joue le rôle d’objet pour une lentille L. On veut
que l’image A’B’ donnée par L soit réelle, qu’elle ait 3 cm de longueur et que la distance de l’objet à l’image soit de
80 cm. Déterminer la nature, la position et la distance focale de la lentille L.
 Rép.- f= 15 cm ; p=20 cm ; p’=60 cm. f=60 cm; p=40 cm; p’=120 cm.
7.16
Un objet lumineux, situé sur l’axe d’une lentille convergente, est à 16 cm de celle-ci. On l’éloigne de 2 cm; son image se
déplace de 12 cm. Quelle est la distance focale de la lentille?
 Rép.- 12 cm et 28,8 cm.
7.17
Un miroir plan est normal à l’axe principal d’une lentille convergente L de distance focale f. La face réfléchissante du
miroir est à la distance fixe OM = 2f de la lentille. Un point objet A est placé sur l’axe en avant du système à une
distance OA= x de la lentille.
Calculer la position de l’image A’ de A en fonction de x. On posera OA’= y et on donnera l’expression de y en fonction
de x. On se bornera aux valeurs positives de x (point objet réel).
Retrouver à l’aide de cette expression les résultats de l’exercice 7.5.
 Rép.- y= f (3x  4f)/ (2x  3f).
7.18
1) On veut former avec une lentille L1, de distance focale inconnue, l’image d’un objet plan sur un écran parallèle situé
à 2 m de cet objet. On trouve deux positions de la lentille, distantes de 1,41 m, pour lesquelles la mise au point est
réalisée. En déduire la distance focale de L1.
2) On accole à L1 une seconde lentille L2 et on renouvelle l’expérience précédente. On constate que la mise au point
n’est possible que pour une position du groupe de deux lentilles. On dira quelle est cette position et l’on calculera la
distance focale de L2.
 Rép.- 1) f1=25 cm. 2) 1 m ; f2=50 cm.
7.19
Un point lumineux S éclaire une fente F dont une lentille convergente donne une
image sur un écran E après réflexion sur un miroir plan M (doc.7.51).
Quelles sont les positions à donner à la lentille, de distance focale f, et à l’écran,
pour que l’image de S se fasse sur M, lorsque l’image de la fente est sur l’écran ?
Application : SF= 0,25 m ; FM= 2 m ; f= 0,50 m.
 Rép.- Lentille à 1,25 m de F et écran à 8,3 cm de M.
7.20
On dispose d’une lentille convergente de 4 dioptries et d’un miroir concave dont la distance focale est 25 cm. On place la
lentille à 50 cm du sommet du miroir, du côté de la face réfléchissante, de manière que l’axe optique de la Lentille
coïncide avec l’axe principal du miroir.
25
1) Un petit objet AB = 2 cm normal à l’axe commun, est situé à 1,50 m de la lentille du côté opposé au miroir. Construire
l’image A’B’ de AB donnée par les rayons partis de l’objet tombant sur la lentille, puis sur le miroir et traversant de
nouveau la lentille.
2) Calculer la distance et la grandeur de l’image finale A’B’ de l’objet AB.
3) Trouver la position à laquelle il faut placer l’objet AB pour que l’image finale A’B’ soit confondue avec AB.
 Rép.- 2) p’=30 cm devant L ; i=0,4 cm (réelle). 3) 50 cm.
7.21
On donne une lentille convergente L de 24 cm de distance focale. On place cette lentille devant un miroir sphérique
convexe M de 12 cm de distance focale ; L et M ont même axe principal et sont distants de 24 cm. Un objet réel AB est
placé devant L, perpendiculairement à l’axe commun. Les rayons issus de AB traversent L, se réfléchissent sur M et
retraversent L en formant l’image finale A’B’ de AB.
1) Etudier la marche d’un rayon lumineux tombant sur L, parallèlement à l’axe commun. Que peut-on dire du
grandissement du système ainsi constitué ?
2) Etudier la marche d’un rayon lumineux tombant sur L et passant par le point K situé sur l’axe commun, à 48 cm
devant L.
3) Déduire, de ce qui précède, la construction et la position de l’image A’B’. Quelle est la nature de A’B’ ?
 Rép.- 1)  =1. 2) Repasse par K. 3) KA’=KA ; OA 192 cm : A’B’ réelle, OA 192 cm : A’B’ virtuelle.
7.22
Une lentille convergente, de 20 cm de distance focale, est placée au-dessus d’un vase cylindrique. Son axe vertical
rencontre le fond du vase en un point A dont la lentille en donne une image réelle A’, telle que : AA’= 80 cm.
On verse dans le vase de l’eau sur une hauteur de 30 cm. L’image réelle A’ se trouve alors éloignée de 12 cm. En
déduire l’indice de l’eau.
 Rép.- n =4/3.
7.23
A une distance de 1 m d’une lentille convergente de 5 dioptries, on dispose une droite lumineuse de 12 cm de hauteur.
1) Trouver graphiquement les caractéristiques de l’image et déterminer par le calcul sa position et sa grandeur.
2) On place entre la lentille et l’image une lame à faces parallèles, d’épaisseur 18 cm et d’indice 3/2, dont les faces sont
perpendiculaires à l’axe de la lentille. Calculer la position de la nouvelle image.
3) La même lame est placée cette fois entre l’objet et la lentille. Calculer la position et la grandeur de l’image définitive.
 Rép.- 1) p’=25 cm ; i=3 cm. 2) p’=31 cm ; i= 3 cm. 3) p’=25,4 cm ; i= 3,24 cm.
7.24
Un point lumineux S se trouve sur l’axe principal d’une lentille mince biconvexe, à 30 cm de son centre optique. La
lentille donne de S une image S’ réelle à distance finie.
Entre S et la lentille on place normalement à l’axe principal une lame à faces parallèles en verre de même indice n que
celui de la lentille. L’image S’ vient en S1’ et le déplacement S’S1’= 3,75 cm.
La même lame, dans la même disposition, est ensuite placée entre la lentille et S’. L’image S’ vient en S2’ et S’S2’= 3 cm.
1) Quelle est la distance focale de la lentille?
2) Sachant que les rayons de courbure des faces sont égaux à 15 cm, calculer l’indice n.
3) Calculer l’épaisseur de la lame.
 Rép.- 1) f=15 cm. 2) n=1,50. 3) e=9 cm.
7.25
1) Une lentille L1, de vergence 10 dioptries, est placée à 20 cm d’une lentille L2, de vergence 20 dioptries. On place entre
ces deux lentilles un prisme en verre ordinaire, d’indice n=1,50 et d’angle au sommet A=6 o, dont l’une des faces est
perpendiculaire à l’axe principal commun des deux lentilles. Une source lumineuse ponctuelle jaune est placée alors à
10 cm devant L1. Où se forme l’image de cette source à travers ce système optique?
2) On remplace le prisme en verre ordinaire par un autre en verre flint, d’indice n’=1,60. Quel doit être l’angle au
sommet de ce prisme pour que l’image de la source se forme toujours au même endroit?
 Rép.- 1) Plan focal à 0,26 cm au-dessous de l’axe optique. 2) 5o environ.
7.26
1) Calculer la distance focale d’une lentille mince plan-convexe faite avec une
substance d’indice n=1,6, et dont le rayon de courbure de la face convexe est R=24 cm.
2) On accole à cette lentille un prisme de petit angle A=5 o et d’indice 4/3, disposé
comme l’indique le document 7.52. On fait arriver suivant l’axe principal LL’ de la
lentille un faisceau parallèle très étroit de lumière monochromatique se propageant de
gauche à droite. Calculer la déviation du faisceau émergent.
3) Sans toucher au faisceau incident, on donne à l’ensemble lentille prisme un
déplacement h, perpendiculaire à l’axe LL’, de façon que le faisceau émergent soit
parallèle à LL’. Dire dans quel sens doit se faire ce déplacement et quelle est sa valeur.
 Rép. - 1) f=40 cm. 2) D=140’. 3) h=1,16 cm (vers le haut).
26
7.27
Une lentille convergente, de 1 m de distance focale, reçoit le faisceau solaire. Sur un écran normal à l’axe et passant
par le foyer de la lentille, on reçoit une image réelle du Soleil.
1) Calculer le diamètre de cette image, sachant que le diamètre apparent du Soleil est de 30 minutes d’angle.
2) A égale distance entre la lentille et son foyer image, on interpose une seconde lentille, identique à la première.
Déterminer la position et la grandeur de l’image solaire.
 Rép. - 1) 8,7 mm. 2) 33,3 cm; 5,8 mm.
7.28
Une lentille biconvexe, dont les rayons de courbure sont R1 = R2 = 42 cm, est taillée dans un verre d’indice n =1,70. On
l’introduit dans une cuve transparente à faces parallèles verticales d’épaisseur négligeable. L’épaisseur de la cuve est
très légèrement supérieure à celle de la lentille.
1) La cuve étant vide, à quelle distance de l’appareil faut-il placer un écran pour y recevoir l’image d’un objet situé à
90 cm ?
2) On remplit la cuve d’un liquide d’indice n’. Montrer que l’ensemble peut être assimilé à un système de lentilles dont
on calculera la distance focale F en fonction de n’.
3) A quelle distance p’ de l’appareil faut-il placer l’écran pour y recevoir encore l’image de l’objet dont la position n’a
pas changé ?
Application numérique : n’= 1,20.
4) Montrer que la connaissance de p’ permet de calculer n’.
Donner l’expression de n’ en fonction de p’.
Application numérique : p’=157,5 cm.
Déterminer les limites.
7.29 Rétroprojecteur
Cet appareil est représenté par le document 7.53.
1) On enlève le miroir. On constate qu’il se forme une image
nette sur le plafond si la distance séparant l’objet AB du centre
de la lentille est d = 400 mm.
a/- Calculer la distance séparant l’image de la lentille de
distance focale f’=315 mm.
b/- Retrouver ce résultat en construisant l’image sur un
schéma (Préciser l’échelle des distances).
2) On remet le miroir incliné à 45o par rapport au plan de la
lentille. Comparer la nouvelle position de l’image à la
précédente et donner la distance la séparant du centre du
miroir.
3) L’écran fixé au tableau est situé à une distance L= 4,0 m du
point M du miroir.
a/- A quelle distance d’ du plan du document faut-il régler la
lentille pour observer une image nette sur l’écran ?
b/- D’après la notice du constructeur, déterminer
approximativement la largeur l de l’image projetée si L=4 m.
7.53
Ce résultat est-il confirmé par le calcul du grandissement du
système optique (lentille + miroir) dans le cas où AB=28,5 cm, c’est-à-dire dans le cas où les dimensions du document
à projeter sont maximales (égales à celles de la vitre sur laquelle on le dépose) ?
 Rép. - 1.a) 1,48 m. 2) symétrique (miroir) ; 1,38 m. 3.a) d’=0,341 m ; b) l =3,5 m ; oui.
Pour une culture
Les aberrations
Une lentille donne une image acceptable, donc il y a stigmatisme approché, si on respecte les
conditions de Gauss. Mais dans la réalité ce n’est pas toujours possible.
Lorsqu’une lentille donne une image déformée, on parle d’aberration.
 Les aberrations géométriques sont dues au système lui-même, comme l’astigmatisme qui est
dû aux rayons trop inclinés sur l’axe.
 L’aberration de sphéricité est due à la forme de la lentille. Les rayons qui passent près des
bords ne convergent pas au même point.
 L’aberration chromatique est due à la nature de la lumière blanche. Toutes les radiations ne
sont pas déviées de la même façon, d’où la formation d’une auréole colorée sur les bords de
l’image.