Extrait du cours de physique de BERKELEY

Mémorandum
Création de matière à partir d’énergie pure
Ph. Magne
Août 2005
Introduction
Lasers et impulsions ultra-courtes( femtosecondes et même attosecondes )
permettent aujourd’hui d’obtenir la concentration d’une formidable énergie
électromagnétique dans un très petit volume.
Plusieurs publications évoquent la possibilité qu’un jour on puissent atteindre
le seuil à partir duquel il serait possible d’obtenir de la matière à partir de la
lumière, c’est à dire d’énergie pure.
Les valeurs numériques annoncées concernent un flux électromagnétique
exprimé en watts/m², elles diffèrent sensiblement d’une publication à une autre.
Ce mémorandum tente de reconstituer un calcul de ce seuil.
Est également abordé le processus par lequel la collision de particules telles
qu’électrons et photons engendre de la matière à partir d’énergie pure.
Est pris en compte la spécificité du photon, à savoir l’égalité de son énergie et
de son impulsion.
Les ordres de grandeur montrent que la principale difficulté est de créer des
photons  .
Flux d’énergie électromagnétique
et création de paires e- e+
Flux
Référence
Auteur
W / m²
1027
Comment Einstein a changé
le monde
Page 154
EDP Sciences 2005
1034
Les Impulsions lasers ultrabrèves
Echanges Physique –
Industrie
Page 11
J. C.
Boudenot
P. Tournois
EDP Sciences 1998
1032
Le Bup N° 875
Page 17
SFP 2005
Ph. Balcou
D.Hulin
Extrait du cours de physique de BERKELEY
volume 4
Physique quantique
Eyvind H. Wichmann
Professeur de physique, Université de Californie, Berkeley
Traduction française, Armand Colin 1974
« Il est incorrect d’interpréter la somme des carrés des amplitudes de E et de B
comme la densité d’énergie dans l’espace, associée au photon. Cette idée classique
est fausse. En revanche, toute quantité qui dépend du carré de l’amplitude de l’onde
doit être interprétée comme étant proportionnelle à une probabilité pour que quelque
chose se passe. Par exemple, l’intégrale sur une région donnée de l’espace, de la
somme des carrés des amplitudes de E et B n’est pas égale à l’énergie portée par le
photon dans cette région ; cette intégrale est en revanche proportionnelle à la
probabilité pour que le photon soit observé dans cette région si on essaye de
« l’attraper » avec une cellule photoélectrique. De même, le flux (calculé
classiquement ) du rayonnement passant à travers un trou dans un écran doit être
réinterprété comme étant proportionnel à la probabilité pour qu’on détecte un photon
si l’on place une cellule photoélectrique juste derrière le trou. ».
« Si un photon est détecté ( à l’aide d’une cellule photo électrique ) en un point
quelconque de l’espace, l’énergie transmise au détecteur est toujours égale à h  .
Comme la probabilité de détecter un photon est proportionnelle à la somme des
carrés des amplitudes de E et B, on peut déduire que la densité d’énergie classique
intégrée sur un certain domaine est égale au produit de l’énergie portée par un
photon par la probabilité de trouver ce photon dans le domaine considéré. Par suite,
si la source de lumière reste allumée pendant un certain temps, de sorte qu’un grand
nombre de photons soit émis, l’énergie moyenne que l’on trouve dans un volume
donné est bien égale à l’énergie de ce volume, calculée classiquement »
« L’inverse du processus d’annihilation est le processus dans lequel deux photons
entrant en collision produiraient une paire. Ce processus n’a jamais été effectivement
observé pour la raison que l’on ne sait pas produire des faisceaux de photons de très
haute énergie avec une intensité suffisante pour que le processus se produise à une
fréquence de répétition observable. »
« Nous avons la ferme conviction que ce phénomène serait observable si l’on
savait produire de tels faisceaux de photons. L’inverse du processus de
production de paire dans le champ du noyau est le processus dans lequel une
paire électron-positron est annihilée dans le champ d’un noyau avec formation
d’un photon, le noyau prenant l’énergie et la quantité de mouvement
nécessaire pour satisfaire les équatins de conservation.
Ce processus se produit effectivement mais il se trouve que le processus
d’annihilation à deux photons est plus probable et donc dominant. »
Tentative de calcul donnant la valeur du flux
d’énergie
électromagnétique
favorable
à
la
production de matière à partir d’énergie pure.
Il suffit de se placer dans les conditions qui ont régné lorsque le corps noir
cosmologique s’est suffisamment refroidi pour que la symétrie suivante soit brisée :
e- e+    
    e- e+
La température T qui régnait peut s’obtenir à partir de l’énergie de masse m ec2 de
l’électron en utilisant la constante de Boltzmann k
kT = mec2
k = 8.61735  10-5 eV/ K
mec2 = 0.511  106
On trouve T 6  109 K
La densité d’énergie du corps noir s’en déduit par la formule :
 r  7.5656 1016  T 4 on trouve 1024 J / m3
Le flux d’énergie électromagnétique qui traverse l’unité de surface s’obtient, compte
tenu de l’isotropie du rayonnement, en multipliant cette densité par c/ 4
On trouve :
Flux
1032 W / m2
En utilisant la formule suivante on obtient le champ électrique :
E=
377  Flux
2 1017 Volts / m
Etant donné le grand nombre de composantes spectrales de ce bruit E doit être
considérée comme une valeur quadratique moyenne
Le nombre moyen de photons contenus dans l’unité de volume s’élève à :
N  20 106  T 3  4 1036 / m3
Ce flux de 1032 W / m2 est en bon accord avec l’article de Ph. Balou et D. Hulin
L’invariant d’espace-temps de la RR contient implicitement
l’équivalence de la masse et de l’énergie et la possibilité qu’il
puisse se créer de la matière à partir de l’énergie pure ( photons )
c²t ²  x²  c²t '²  x '²
Plaçons nous dans les conditions suivantes : x  Vt
et
x'  0
Rappelons que V est la vitesse de translation du référentiel S ' par rapport au
référentiel S , le mouvement est orienté dans la direction des x > 0
On a donc OO ' = x  Vt
Alors l’invariant se réduit à :
t '  t 1
c²t ²  V ²t ²  c²t '²
V²
c²
Ce qui nous permet d’écrire l’invariant sous la forme réduite :
c²
V²

 c²
V²
V²
1
1
c²
c²
Multiplions tous les membres de cette expression par
On aboutit à :
m²c² ( m est une masse )
m²c 4
m ²c ²V ²
= m² c 4
V²
V²
1
1
c²
c²
Le premier terme de gauche correspond au carré de l’énergie d’une masse « m »
animée d’une vitesse V .
Le deuxième terme
m²V ²
est le carré d’une quantité de mouvement que nous
V²
1
c²
désignerons par p ² .
D’où la relation générale :
E 2  p ² c ²  m² c 4
Cas du photon
Le photon est un petit morceau de lumière, un quantum insécable d’énergie dénuée
de masse, et presque ponctuel .
L’énergie du photon est déterminée par la couleur de la lumière, c’est à dire sa
longueur d’onde  , ou sa fréquence f , nous utiliserons la pulsation   2 f .
Le quantum d’énergie lumineuse s’exprime à l’aide de la constante de Planck h , on
utilise plutôt h 
h
 0.65821  1015 eV  s .
2
Ce qui a été déduit de l’invariance de l’intervalle d’espace – temps est applicable au
photon en faisant m=0, E  h  , mais il est aussi porteur d’une impulsion
h
, on notera bien que E est une quantité scalaire mais que p est un vecteur
c
que l’on peut écrire avec la notation p ou p.
p
Lois de conservation
Lors d’une collision sont conservées:
L’énergie et la quantité de mouvement ( impulsion), la charge électrique…et d’autres
paramètres…
On notera que la masse ne se conserve pas !
.
On convient de définir le système dont l’état est différent avant et après un
évènement tel qu’une collision entre électrons et photons.
Le Système
La notion de Système est nécessaire pour isoler une zone indépendante où peuvent
se produire les événement cataclysmiques concernant les particules élémentaires.
A l’intérieur du système se conservent les paramètres définis ci-dessus, sauf la
masse puisse qu’il peut naître de nouvelles particules par conversion de l’énergie
pure en matière.
Exemple 1
D’après Spacetime Physics ( introduction to special relativity )
Edwin F.Taylor John Archibald Wheeler
Choc d’un photon et d’un électron
Avant le choc :le photon (masse 0 énergie et impulsion 2) ; l’électron (masse 1 et
vitesse nulle)
Après le choc : le photon a rebondi, perdu de l’énergie et de l’impulsion qui n’est plus
que de –0.4, l’électron a acquis une vitesse v=2.4/2.6
Système : l’énergie et l’impulsion sont conservée à 3 ( before and after )
Unités :énergie 1  0.511 MeV ; vitesse 1  celle de la lumière ; impulsion  0.511
En clair :
Avant le choc :le photon a une énergie de 2 X 0.511= 1.022 MeV
20
6
Sa fréquence f =  / 2 =1.022  10 /(2 h )  2.47  10 Hz
Sa longueur d’onde   c / f  1.2  10 m ( rayon gamma )
L’électron est au repos v  0 ; l’énergie équivalente à sa masse est de 0.511MeV
12
Après le choc : l’énergie du photon n’est plus que de 0.4  0.511  0.2MeV
Sa fréquence f 4.94  10 Hz
11
Sa longueur d’onde   c / f  6  10 m ( rayon X )
19
L’électron a acquis une vitesse de (2.4/ 2.6)  c  2.76  10 m / s
Compte tenu de cette vitesse sa masse s’est accrue
8
par
le
1/ 1  v² / c²  2.6 . L’énergie et l’impulsion se conservent, pas la masse.
Nota : les énergies sur axe vertical, les impulsions sur axe horizontal
facteur
Exemple 2
Choc d’un photon et d’un électron à une énergie plus grande
Avant le choc :le photon (masse 0 énergie et impulsion 4) ; l’électron (masse 1 et
vitesse nulle). La charge électrique vaut -1
Après le choc : le photon s’est transformé en masse d’énergie équivalente 5 dont
l’impulsion est de 4. Cette masse est constituée de deux électrons et d’un positron
qui forment un polyélectron, c’est un ion d’hydrogène super léger, dont la vitesse est
4/5. La charge électrique vaut -1-1+1 c’est à dire au total –1. La charge électrique se
conserve, pas la masse.
Unités : les mêmes que dans l’exemple 1
En clair :
Avant le choc :le photon a une énergie de 4  0.511  2.04MeV
6
20
Sa fréquence f   / 2  2.04  10 /(2 h )  4.94  10 Hz
Sa longueur d’onde   c / f  0.6  10 m ( rayon gamma )
L’électron est au repos v=0 ; l’énergie équivalente à sa masse est 0.511MeV
12
Après le choc : il n’y a plus de photon, son énergie s’est transformée en masse
8
animée d’une vitesse égale à (4/ 5)  c  2.398  10 m / s
L’équivalent énergétique de cette masse est de 3  0.511  1.533MeV
L’effet relativiste accroît cette masse par le facteur1/ 1  v² / c²  5/3
L’énergie cinétique est égale à 4  0.511  2.044MeV
En toute rigueur il faudrait tenir compte de l’énergie d’interaction des 3 particules qui
constituent le polyélectron, elle est négative et très faible devant les autres énergies,
elle maintient leur cohésion
Exemple 3
Choc frontal de 2 photons
Avant le choc :les deux photons se dirigent l’un vers l’autre
Système : l’énergie totale du système est égale à 4 ; l’impulsion 3 –1 = 2 parce que,
s’agissant de photons on a toujours, pour chaque photon, énergie égale impulsion
multipliée par c. Avec les unités réduites choisies c = 1. Par ailleurs le caractère
vectoriel de l’impulsion oblige à tenir compte du signe de la vitesse
Après le choc :il y a matérialisation et pas de photon puisque l’énergie et l’impulsion
ne sont pas égales
La masse crée est donnée par l’expression :
M  (4²  2²)  12  3.464  m
En clair : si l’unité de masse « m » est égale à 0.511MeV , alors il se matérialisera
une masse dont l’équivalent énergétique est de :
0.511 3.464  1.77MeV un peu plus qu’1 électron et 1 positron
Soit 2  10
30
kg
La paire e- e+ est animée d’une vitesse v  c
3
4
La question qui se pose est :2 photons peuvent-ils se rencontrer de cette façon ?
Annexe 1
Corps noir de Planck
Rappels du spectre du corps noir de Planck
Densité d’énergie en fonction de la fréquence f
dWr 8 f 2
hf
 3  hf
df
c
e kT  1
On pose :
(1)
hf
x
kT
dWr 8 k 4T 4
x3
 3 3 3 x
dx
c
h c e 1
(2)
L’intégrale suivante permet de calculer la densité d’énergie par unité de volume :

x3
4

0 e x  1 15  6.493939402
8 k 4
Le terme :
 1.165  1016
3 3
hc
(3)
(4)
x3
La fonction x
est maximum pour x = 2.8214 et prend la valeur 1.4214
e 1
La densité d’énergie par unité de volume est :
Wr  7.5656  1016  T 4 J / m3
(5)
La fréquence du maximum de la densité spectrale est donné par :
f max 
Le produit
max  T 
kT
 2.82  5.87589  1011  T
h
c
f max
 T  5.1 103 m  K
(7)
(6)
Densité d’énergie en fonction de la longueur d’onde 
On pose que
hf
hc
1


kT kT  X
(8)
dWr 8 k 4T 4
 3 3 
dX
hc
1
(9)
1
X
X (e  1)
5
L’intégrale suivante permet de calculer la densité énergétique par unité de volume :


0
dX
1
X
 6.493939402
( 10 )
X 5 (e  1)
Même résultat que dans l’analyse fréquentielle .
1
Mais la fonction
1
X
est maximum pour X = 0.2 et prend la valeur 20
X (e  1)
5
La densité d’énergie par unité de volume est :
Wr  7.5656  1016  T 4 J / m3
( 11 )
La longueur d’onde du maximum de la densité spectrale est donnée par :
max
Le produit
0.2hc 1 2.877570197  103

 
k
T
T
max  T  2.877  103 m  K
( 12 )
( 13 )
Nota : la dissemblance des formules ( 7 ) et (13 ) s’explique par le fait que pour
établir ( 7 ) la bande df reste constante à toute fréquence, donc, d  
c
df
f2
décroît avec la fréquence.
Au contraire, dans le cas de la formule ( 13 ), d  reste constant, donc
décroît avec la longueur d’onde .
Par contre les intégrales ( 3 ) et ( 10 ) donnent le même résultat.
df 
cd 
2
Flux du rayonnement et densité énergétique Wr par unité de
volume
Le flux électromagnétique qui traverse l’unité de surface s’obtient en tenant compte
de l’isotropie du rayonnement et de sa vitesse de propagation qui est égale à celle
de la lumière c

2
2
Flux = c  Wr 
 cos sin d  d
 0
0

 sin d  d
0
Flux =
Wr en Joules / m3
2
0
c
 Wr
4
Flux en Watts / m²