TRIANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT

CHAPITRE 2
TRIANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT.
I-
Inégalité triangulaire.
a) Distance entre trois points.
On considère trois points
A, B et C. Si le point C
n’appartient pas au segment
[AB] , alors on a l’inégalité :
AB < AC + BC.
On considère trois
points A, B et C. Si le
point C appartient au
segment [AB], alors on a
l’égalité : AB = AC + BC.
b) Inégalité triangulaire.
Soient trois points distincts A, B et C.
Si on a :
AB + AC > BC
AC + BC > AB
AB + BC > AC
Alors le triangle ABC est constructible et non plat.
Exemples :
AB = 7 cm ; AC = 8 cm et BC = 13 cm.
Ce triangle est constructible car 8 + 7 > 13 ; 7 + 13 > 8 ; 8 + 13 > 7 !
AB = 16 cm ; AC = 5 cm ; BC = 7 cm.
Ce triangle n’est pas constructible car 7 + 5 < 16 !
AB = 4 cm ; AC = 5 cm ; BC = 9 cm.
Ce triangle existe mais il est plat car 4 + 5 = 9 !
Définition :
Quand il y a une égalité, on dit que le triangle est plat. Les trois sommets sont
alignés.
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Méthode :
Afin d’éviter de vérifier les trois inégalités, on prend les deux plus petits côtés
et on les additionne. Le résultat doit être supérieur à la mesure du plus grand
des côtés.
Je reprends le premier exemple : AB = 7 cm ; AC = 8 cm et BC = 13 cm.
Il me suffit de faire 8 + 7 > 13 et je sais que le triangle est constructible !
La somme des deux plus petits côtés est supérieure au plus grand côté.
II-
Construction de triangles particuliers
a) On me donne trois côtés.
A chaque construction, je commence par vérifier l’inégalité triangulaire !
Par exemple, je veux construire le triangle ABC tel que :
AB = 6 cm ; AC = 7 cm ; BC = 12 cm.
(6 + 7 > 12, le triangle est constructible)
1-
Je commence par tracer le plus grand des côtés au milieu de ma page.
BC = 12 cm.
2- Je prends mon compas et je mesure 6 cm.
Je le pointe en B et je trace un arc de cercle.
3- Je mesure maintenant 7 cm et je pointe mon compas en C.
Je trace un arc de cercle.
4- L’intersection des deux arcs de cercle me donne mon point A.
Règle :Plus
grand côté.
Compas : je le pointe sur
un point et je trace un
arc de cercle.
Je change de point et je
trace un autre arc de
cercle.
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b) On me donne deux côtés et un angle.
Je veux construire le triangle ABC tel que :
AB = 5 cm ; AC = 6 cm et BAC = 55°.
1- Je prends ma règle et je trace le plus grands des côtés.
AC = 6 cm.
2- Je prends mon rapporteur et je le place sur le sommet A.
Je trace l’angle de mesure 55° et de sommet A.
On me
donne BAC
donc le
sommet est
A.
3- Je prends mon compas et je mesure 5 cm.
4- Je le pointe sur A et je trace un arc de cercle qui coupe le deuxième côté
de mon angle.
5- J’obtiens le point B.
Règle : je trace le plus
grand des côtés.
Rapporteur : je trace
l’angle.
Je fais très attention au
sommet !!!
Compas : arc de cercle avec
la deuxième mesure donnée.
Je fais attention où je le
pointe !
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c) On me donne deux angles et un côté.
Je veux construire le triangle ABC tel que :
AB = 8 cm ; ABC = 60° ; BAC = 45°.
1- Je prends ma règle et je trace AB = 8 cm.
2- Je prends mon rappporteur, je le place sur B.
Je mesure l’angle de 60° de sommet B.
3- Je change de sommet. Je prends A.
Je mesure l’angle de 45° et de sommet A.
4- L’intersection des deux côtés me donne le point C.
Règle : je trace le côté
donné.
Rapporteur : je repère
un sommet d’angle et je
le trace.
Rapporteur : je change
de sommet et je trace
l’autre angle.
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III- Somme des angles dans un triangle.
Dans un triangle la somme des angles fait 180°.
Cette propriété est très souvent utilisée : en 5°, 4° et 3° !!!!!
IV-
Médiatrice et cercle circonscrit.
a. Médiatrice.
Définition :
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire au segment, passant par
le milieu du segment.
Utilisation de la définition :
Quand un exercice me dit que j’ai une médiatrice, je peux en conclure que j’ai des
droites perpendiculaires et un milieu.
Propriété :
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des
extrémités du segment.
Utilisation de la propriété :
Cette propriété me permet de dire que j’ai des triangles isocèles.
Réciproque de la propriété :
Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la
médiatrice du segment.
Utilisation de la réciproque :
Cette réciproque me permet de construire la médiatrice grâce au compas.
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b. Cercle circonscrit.
Dans un triangle les trois médiatrices sont concourantes.
Leur point d’intersection est appelé : centre du cercle circonscrit.
Il permet de construire un cercle passant par les trois sommets du triangle.
METHODE :
Pour construire le cercle circonscrit d’un triangle il suffit de construire
uniquement deux médiatrices.
V-
Hauteurs.
Définition :
Dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et qui est
perpendiculaire au côté opposé.
Propriété :
Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé
l’orthocentre du triangle.
Figure :
ATTENTION
les hauteurs et
l’orthocentre
peuvent sortir
du triangle !
VI-
Médianes.
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Définition :
Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le
milieu du côté opposé.
Propriété :
Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes en un point appelé centre
de gravité du triangle.
Figures :
Les médianes
d’un triangle se
coupent
obligatoirement
dans le triangle,
c’est pourquoi
dans beaucoup
de livres seul le
segment est
tracé et non la
droite.
VII- Les triangles particuliers.
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a. Triangle équilatéral.
Dans un triangle équilatéral les trois angles sont de même mesure.
ˆ B
ˆ.
ˆ C
On a donc : A
Mais comme la somme des angles fait 180° on obtient :
Dans un triangle équilatéral les trois angles mesurent ____________.
b. Triangle isocèle.
Dans un triangle isocèle les angles de base sont égaux.
Cette propriété va souvent être utilisée pour calculer les mesures des angles
d’un triangle isocèle.
Exemple :
On me donne ABC isocèle en A et l’angle  = 35°.
Déterminer les angles B̂ et Ĉ .
c. Triangle rectangle.
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Rappel : le plus grand côté d’un triangle rectangle est appelé ___________.
Le centre du cercle circonscrit d’un triangle ___________________________
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