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Partie Physique (20 pts)
On s’intéresse dans ce problème à un modèle réduit reproduisant le fonctionnement d’une catapulte.
Un élastique propulse lors de sa détente le bras de la catapulte.
Dans un premier temps, la bille en matière plastique qui sert de projectile est supposée rigidement liée au bras de la
catapulte. (figure 1 et 2).
La distance qui sépare la bille de l’axe de rotation du bras est RB = 22,0 cm.
Dans un deuxième temps (figure 3), le bras de la catapulte est bloqué par une butée et le projectile poursuit son
mouvement indépendamment du bras.
RB
Elastique
Projectile
Bras
Figure 1
Figure 2
Figure 3
La figure 4 en annexe est un enregistrement des positions du centre d’inertie B de la bille au cours du mouvement,
toutes les 10 ms et à l’échelle 1/4.
1. Mouvement de la bille liée au bras de la catapulte.
Sur la figure 4, cela correspond aux points B0 à B7.
1.1. Calculer la valeur de la vitesse instantanée aux points indiqués dans le tableau fourni en annexe. (1,5 pts)
1.2. Tracer les vecteurs vitesse du centre d’inertie la bille aux points B1 , B4 et B7 sur la figure 4 en annexe. (1,5 pts)
1.3. Que peut-on dire des forces exercées sur la bille entre B0 et B7 ? (1 pt)
1.4. Quelle relation lie la vitesse linéaire du point B et la vitesse de rotation du bras de la catapulte autour de son axe ?
(1 pt)
1.5. Déterminer la vitesse de rotation du bras de la catapulte correspondant aux positions de la bille indiquées dans le
tableau fourni en annexe.. (1 pt)
1.6. Le mouvement de rotation du bras est-il uniforme ? Justifier la réponse. (1 pt)
1.7. Pour modéliser la vitesse de rotation du bras au cours du temps entre B1 et B5, on propose la relation suivante :
  a.t
Montrer que cette relation rend bien compte des résultats expérimentaux et déterminer a. (1 pt)
1.8. En déduire la relation donnant la vitesse instantanée du point B au cours du temps entre B1 et B5. (1 pt)
2. Mouvement de la bille après libération.
La bille est libérée de la catapulte à partir du point B8.
2.1. Montrer que la vitesse de la bille au point B16 vaut v16  4,4 m.s-1. (1 pt)
2.2. Tracer le vecteur vitesse v16 de la bille. (1 pt)
2.3. Faire l’inventaire des forces exercées sur la bille dans cette phase du mouvement. (1 pt)
La bille a un rayon de 1,0 cm.
La masse volumique de la bille vaut 9,0.102 kg.m-3 et celle de l’air vaut 1,3 kg.m-3.
La force f de frottement de l’air est modélisée par la relation : f   .v avec   1, 0.10 5 N.m-1.s.
4
On rappelle que le volume d’une boule de rayon R se calcule par la formule : V   R3
3
2.4. La poussée d’Archimède de l’air sur la bille est-elle négligeable comparée au poids de la bille ? (1 pt)
2.5. Montrer que la seule force à retenir agissant sur la bille est le poids. (1 pt)
3. Equilibre du bras de la catapulte.
Le bras de la catapulte de masse m = 30 g est maintenu immobile par une ficelle tendue (figure 5).
Il est soumis aux forces indiquées sur le schéma (les longueurs sont indicatives).
Le comportement de l’élastique est assimilé à celui d’un ressort de raideur k = 100 N.m-1 allongé de 5,0 cm.
Lorsqu’on veut déclancher le tir, il suffit de brûler la ficelle.
On donne     15 . La force F1 est perpendiculaire au bras de la catapulte.
Figure 5
F1
F2


F3
ficelle
F4
3.1. Indiquer l’action mécanique représentée par chacune de ces forces en justifiant le sens des forces F2 et F4 . (1 pt)
3.2. Déterminer la valeur de la force F2 . (1 pt)
3.3. Quelle relation peut-on écrire entre ces forces ? (1 pt)
3.4. Sur quel axe faut-il projeter les forces pour déterminer la valeur de F4 en fonction des données du problème ?
(0,5 pt)
3.5. Projeter la relation vectorielle établie au 3.2. sur l’axe choisi. (1,5 pts)
3.6. Déterminer F4. (1 pt)
ANNEXE
Point n°
Vitesse du point B
(m.s-1)
Vitesse de rotation du bras
(rad.s-1)
1
Figure 4
2
3
4
5
B16
B7
B4
  10ms
B1
B0
Echelle 1/4