CORTES-PEREZ Javier FORNEA Andrei GIGNAC Xavier HARO Sébastien CIRCUIT RLC EN REGIME TRANSITOIRE OSCILLANT AMORTIE (SORTIE CAPACITE) 1. Position du problème On considère un circuit RLC série alimenté par un générateur de tension de résistance interne RG et de force électromotrice E constante (fig. 1). La résistance interne de la bobine la résistance interne du générateur et la résistance R’ du résistor seront par la suite regroupées sous le terme R, ces résistances étant placées en série. R = RG + RL + R’ On s’intéresse aux phénomènes suivant la mise en marche du générateur, et plus particulièrement la réponse temporelle aux bornes du condensateur. L’observation du circuit et les acquis des classes précédentes permettent de prévoir la présence d’un régime transitoire entre le régime nul, initial, et le régime permanent. En effet, la charge du condensateur n’est pas instantanée. De plus, la variation de l’intensité à l’intérieur de la bobine modifie son champ magnétique propre, d’où l’apparition d’une force électromotrice d’induction qui s’oppose à la variation de l’intensité et qui disparaît avec le régime permanent. Pour mettre en évidence la présence de ce régime transitoire, nous allons poser l’équation différentielle du circuit et la résoudre. 2. Equation différentielle La loi des mailles appliquée au circuit donne : E U R U L UC 0 q UC C dq dI d 2q dq q L R E avec : U L L ce qui donne, avec I : dt dt ² dt C dt U R RI Or, nous nous intéressons ici à la réponse temporelle aux bornes du condensateur, on remplace donc q par : q CU , avec U tension aux bornes du condensateur et C la capacité, constante. d 2U R dU U E dt ² L dt LC LC Par analogie avec la mécanique on introduit des grandeurs physiques positives dont la signification sera expliquée par la suite : Q – facteur de qualité – coefficient d’amortissement 0 – pulsation propre – temps de relaxation On obtient : En écrivant l’équation sous les formes : d ²U dU E 20 02U dt ² dt LC on identifie : 0 d ²U 0 dU E 02U dt ² Q dt LC ; 1 LC R 1 RC 0 2 L 0 2 Par la suite on va s’intéresser à l’équation de la forme : 3. ; d ²U 1 dU E 02U dt ² dt LC Q L0 1 R RC 0 d ²U dU E 20 02U dt ² dt LC Résolution de l’équation différentielle On a une équation différentielle du deuxième degré avec coefficients constants positifs. La solution générale d’une telle équation est la somme de la solution de l’équation homogène associée et d’une solution particulière. 3.1 Equation homogène associée d ²U dU 20 02U 0 dt ² dt L’équation caractéristique nous donne : r 2 20 r 02 0 d’où 4 02 ( 2 1) Le régime transitoire oscillant amorti correspond à 0 , c.à.d. à 0 σ 1 On a dans ce cas une solution réelle de la forme : U 0 e 0t [ A cos(t ) B sin( t )] avec A et B deux constantes à déterminer avec les conditions initiales, et 0 1 2 , qu’on appelle pseudo-pulsation. 3.2 Solution particulière Quand t on a U=E, car le condensateur étant chargé dI 0 U R U L 0 et donc q U p E I=0, dt 3.3 Conditions initiales Par continuité de la tension dans le condensateur, UC=0, d’où A=-E dq dU C 0 Lorsque t = 0, par continuité du courant dans la bobine, I 0 dt dt E dU O A B B 0 dt 0t [ E cos(t ) La solution complète U e 0 E sin( t )] E 4. Représentation graphique U0 représente la solution de l’équation si E=0, ce qui est assimilable à des oscillations libres : le condensateur, initialement de charge –q, se décharge et se recharge dans la bobine et la résistance, l’amplitude des oscillations diminuant à chaque passage dans la résistance (fig. 2). La solution particulière représente le régime permanent constant avec le temps (fig. 3). Le graphe de la solution complète est donc la superposition des graphes de la solution homogène et de la solution particulière. A t=0, u=0. A l’établissement du courrant, la tension décrit des oscillations amorties pour se stabiliser à U=E au régime permanent (fig. 4). 5. Signification des paramètres physiques 0t t 2 e , On est dans le cas 0 1 et le graphe du régime permanent a une enveloppe en e donc joue bien le rôle d’un temps de relaxation, car au bout de quelques le régime libre devient négligeable. Si la résistance R est faible, Q et sont grands, le circuit RLC est alors peu amorti : il y a peu pertes par effet Joule. On a un régime pseudo périodique amorti de pseudo période T 1 1 2 , si Q>>1 alors 0 T T0 4Q On peut avoir un ordre de grandeur de Q en comptant le nombre de maximums d’amplitude non négligeables. 6. Application pratique On peut utiliser un circuit RLC en régime transitoire pour synthétiser des notes. En effet, les oscillations de l’air associées à ces notes correspondent à des sinusoïdes s’atténuant assez rapidement. Les oscillations électriques obtenues aux bornes du condensateur sont ensuite amplifiées puis transmises à un haut-parleur qui les transforme en son. Ainsi, en choisissant C=3,29µF, L=40mH et R=9, on obtient f0 = 440Hz soit la hauteur musicale du La. Figure 1 Figure 2 Figure 4 Figure 3