Récurrence linéaire : quotient de deux solutions

Récurrence linéaire : quotient de deux solutions
Soit (an ) n2 et (bn ) n2 deux suites de nombres complexes non nuls. On note V l'ensemble des
suites (vn ) nN de nombres complexes vérifiant
Soit (qn ) nN
n  2 vn  an vn1  bn vn2 .
l'élément de V défini par q0  1, q1  a1 . On suppose que n  N, qn  0.
1. Soit (vn ) nN un élément de V, on note x n 
vn
pour tout entier n.
qn
a. Montrer que la suite wn  vn1qn  vn qn1 vérifie une relation de récurrence linéaire
d'ordre 1. En déduire
n  1, xn1  xn  (1) n
b2 bn1
w0 .
qn qn1
b. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes
b  bn 1
i. (1) n 2
converge.
bn q n 1
n 1
ii.(v n ) nN  V,(
2. On pose n  1, X n 
vn
) n1 converge.
qn
xn1  xn
.
xn  xn1
a. Exprimer Xn en fonction de bn+1, qn-1, qn+1.
b. Calculer un en fonction de bn+1, an+1, an pour que les Xn vérifient
n  1, X n  
1  X n1
.
u n  X n 1
Commentaire
Des séries analogues à celle de 1.b.i. sont considérées dans Récurrence linéaire : exemples
d'Euler (niveau 1). Les parties Conditions de Stieltjes, Conditions de Worpitsky (niveau 1)
étudient leurs convergences dans des cas particuliers.
Les réduites d'une fraction continues sont des quotients de même type que ceux considérés ici.
Voir Fractions continues : cas général (niveau 1).
Les suites de polynômes orthogonaux vérifient une relation de récurrence linéaire d'ordre 2.
Voir Polynômes orthogonaux : introduction (niveau 1)
Si on sait étudier une suite vérifiant une relation de récurrence homographique, et en
particulier si on sait comparer la suite de ses modules avec 1, on peut obtenir (à l'aide de Xn)
des résultats sur la convergence de la série. Voir Récurrence homographique à coefficients
constants et Récurrence homographique de Poincaré (niveau 1).
Solution
1.a. En exprimant vn+1 et qn+1 à l'aide de la relation de récurrence, il vient :
wn  bn 1 wn 1    (1) n bn 1 b2 w0 .
On en déduit :
xn 1  xn 
vn 1 vn vn 1 q n  vn q n 1 (1) n bn 1 b2 w0



.
q n 1 q n
q n1 q n
q n 1 q n
b. L'équivalence est une conséquence immédiate du a..
Remarquons de plus que V est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l'espace de toutes
les suites. Soit ( pn ) nN un élément de V formant une base avec (q n ) nN . Pour tout élément
(vn ) nN de V, il existe  et  tels que : n  N,vn   pn   qn .
p
v
Alors, si n  l , n     l.
qn
qn
2.a. D'après les résultats précédents : X n  bn1
qn1
q
, X n1  bn n2 .
qn1
qn
b. Dans l'expression de Xn, éliminons qn+1 puis qn-1 à l'aide de la relation de récurrence :
q n 1
q n  bn q n  2
X n  bn 1
 bn 1
a n1 q n  bn 1 q n 1
a n a n 1 q n  bn1 (q n  bn q n  2 )
 bn 1
avec u n  1 
a n a n1
.
bn1
q n  bn q n  2
1  X n 1

.
(a n a n1  bn 1 )q n  bn bn1 q n  2
u n  X n 1