Organiser, Effectuer des calculs

Initiation au calcul littéral et aux équations
1)
Calcul littéral
A) Définition et conventions
Définition :
Une expression littérale est une expression ou certains nombres sont représentés par des lettres.
Exemple :
Soit un carré dont la longueur des côtés est x. Quel est le périmètre de ce carré ?
Convention du trait de fraction :
Il faut toujours penser un quotient avec des parenthèses autour du numérateur et autour du
dénominateur.
Exemples :
(24 / 3 ) : ( 2 ) = 4
( 27 + 6 ) : 3 = 11
Convention du signe x :
On peut ne pas écrire le signe x lorsqu’il est suivit d’une lettre ou d’une parenthèse.
Lorsqu’il y a un nombre multiplié par une lettre, le nombre sera toujours devant.
Exemples :
4 * a = 4a
a * 4 = 4a (mais pas a4)
1 * a = 1a = a
4 * ( x – 5 ) = 4(x – 5)
(a + 3) * (a + 4) = (a + 3)(a + 4)
Carré, cube d’un nombre :
. a * a = a2 (lire “a carré”)
a * a* a = a3 (lire “ a cube)
B) Méthode pour le calcul
A retenir :
Chaque lettre correspond à une famille :
X : famille des « x »
A : famille des « a »
Y : famille des « y »
Donc
3x appartient à la famille des « x »
4a appartient à la famille des « a »
5z appartient à la famille des « z »
8f appartient à la famille des « f »
On ne mélange jamais 2 familles :
4z + 5z = 9z
3a – 2a = 1a = a
Par contre 4z + 3a n’est ni égale à 7z ni à 7a car sinon on mélange 2 familles.
On crée de nouvelles familles en multipliant les lettres ensemble.
x * y appartient à la famille des « xy »
Par convention, on classe toujours les lettres par ordre alphabétique.
x *x appartient à la famille des « x2 »
La multiplication de lettres et nombres :
Lors d’une multiplication, on multiplie toujours les nombres ensemble et les lettres ensemble
3x * 5y
10a * 7b
Méthode :
1) On regarde les différentes familles
2) On réunit les familles
3) On calcule par famille
Exemples :
3a + 5 + 6a -1
2)
7x + 10 – 2x +3v + 5a – v
Distributivité
A) Formules
Propriété :
Quels que soient les nombres k , a et b on a :
k ×(a+b)= k ×a+ k×b
k×(a- b)=k×a- k×b
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction
Remarque :
on dit que k est un facteur commun aux termes ka et kb
B) Développement
Définition :
Développer un produit revient à transformer ce produit en une somme ou en une différence.
Exemples :
3(7 + x)
5(9 – x)
C) Factorisation
Définition :
Factoriser une somme ou une différence revient à transformer cette somme ou cette différence en un produit.
Exemples :
16x + 5x
21x - 14
D) Application au calcul mental par des exemples
12×99 =12×(100 -1)=12×100 -12×1=1200 -12 =1188
13×101=13×(100+1)=13×100+13×1=1300+13=1313
37×3+37×7=37× (3+7)=37×10 =370
34×15 - 34×5=34×(15 - 5)=34×10 =340
3)
Equations
Définition :
Une équation est une égalité ou figure une variable (lettre).
Une solution de l’équation est une valeur de la variable pour laquelle l’égalité est vraie
Résoudre une équation c’est trouver toutes ces solutions.
A) Egalités
Définition :
Une égalité est une affirmation ou figure le signe = et qui ne peut être que vraie ou fausse.
Exemple :
Des égalités vraies :
Des égalités fausses :
3+4=7
5=7
15 – 2 * 3 = 9
3 + 2 * 4 = 10
3(a + 4) = 3a + 12
5-4=2
B) Tester une égalité
Pour tester si une égalité est vraie, on calcule séparément la valeur du membre de gauche et la valeur du
membre de droite, puis on compare ces deux valeurs.
Exemple :
L’égalité 7 + 3x = 36 + 2x est elle vraie pour x = 30 ?
On calcule le membre de gauche : 97
On calcule le membre de droite : 96
On conclut : 97 différent de 96, donc l’égalité 7 + 3x = 36 + 2x est fausse pour x = 30
L’égalité 7 + 3x = 36 + 2x est elle vraie pour x = 29 ?
On calcule le membre de gauche : 94
On calcule le membre de droite : 94
On conclut : 94 = 94, donc l’égalité 7 + 3x = 36 + 2x est vraie pour x = 29
Remarque :
Pour certaines valeurs de la variable, l’égalité 7 + 3x = 36 + 2x est fausse, pour d’autres valeurs, l’égalité est
vraie.