MPSI 1 96-97 Feuille d`exercices 1

Lycée Berthollet - MPSI 1 - 2011-2012 Feuille d’exercices 6
Géométrie plane
1- (ABC ) est un triangle. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que MA  3MB  2MC soit colinéaire à AB
2- ( ABC ) est un triangle. A', B', C' sont les symétriques des points A, B, C par rapport à B, C, A respectivement.
Déterminer le rapport entre l'aire du triangle ( A'B'C ' ) et celle du triangle ( ABC ).
3- Soit ( ABC ) un triangle équilatéral de côté a > 0 .
Déterminer le minimum de MA²+2MB²-2MC² quand M parcourt le plan.

 
C les mesures des angles dans ]0, [ et
4- Soit ( ABC ) un triangle .On note a=BC, b = AC, c = AB, A , B,
p=( a + b +c )/2 le demi périmètre, S l’aire du triangle ABC.
a  b  c 
1) Comparer  AB, AC  ,  BC, BA et CA, CB  et montrer

 



sin A sin B sin C
2) Montrer S =

p(pa)(pb)(pc) ( Formule de Héron ) (on pourra utiliser c²a²b²2abcosC )
5- Déterminer les équations cartésiennes des bissectrices de D1 et D2 D1 : 3x  4 y  3  0 D2 :12 x  5 y  4  0
6- Soit ( ABC ) un triangle équilatéral. On choisit un repère orthonormé de sorte que les coordonnées de A soient
 a,0 et celles de B a,0 avec a > 0, C ayant une ordonnée positive.
1) Déterminer les coordonnées de C et les équations cartésiennes des droites (AC) et ( BC )
2) Montrer que si M est un point intérieur au triangle, la somme des distances de M à chaque côté du
triangle est constante.


 
7 - Montrer que A d’affixe a, B d’affixe b, C d’affixe c forment un triangle équilatéral si et seulement si:
abj cj²0 ou abj²cj 0 .
8- Déterminer l’ensemble des points d’affixe z tels que les points d’affixes 1, z, 1/z, 1-z soient distincts et
cocycliques.
Dans tous les exercices qui suivent , le plan est muni d’un repère orthonormé direct

(O,i , j ) .
9- C est le cercle x²  4x  y²  2 y  3  0
Déterminer les équations des deux tangentes à C issues de A ( 0,1) et leur angle.
10- On considère l’ensemble E des points M de coordonnées  x, y  tels que x 2  3 xy  y 2  x  y  1 .
 
Déterminer une équation de E dans le repère orthonormé direct (, u , v ) où O  i  j et i , u 
en déduire la représentation graphique de E.
11- Soient Dm les droites d’équation (1  m2 ) x  2my  4(m  2)  0 . ( m R )
1) Montrer qu’il existe un point  équidistant de toutes les droites Dm .
2)
Soit M 0  x0 , y0  un point fixé du plan . Existe-t-il des droites Dm passant par M0 .
12 - Soient Cm les courbes d’équation x²  y ²  4mx  2my  10(m  1)  0
1) Montrer que pour tout m réel Cm est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
2) Déterminer l’ensemble décrit par les centres des cercles Cm
3) Montrer qu’il existe deux points A et B communs à tous les cercles Cm .
4) Soit M 0  x0 , y0  un point fixé du plan n’appartenant pas à la droite  AB  .
Montrer qu’il existe un unique cercle Cm passant par M0 .

4
;