Mécanique NYA Notes de cours

Mécanique NYA
Notes de cours
Thèmes : Travail, énergie et puissance
Introduction
Les notions, comme le travail et l’énergie, qui seront vues dans cette section
étaient inconnues de Newton mais découlent en fait, comme nous le verrons,
de ce que nous avons déjà vu. Nous commencerons d’abord par des
définitions reliées au travail dont nous envisagerons d’abord le mode
d’application. Ensuite nous nous rattacherons à la 2ième loi de Newton à
travers le théorème sur l’énergie cinétique qui sera en quelque sorte au cœur
de notre exposé. Finalement les forces conservatives, pour lesquelles on peut
parler d’énergie potentielle et les autres forces, non conservatives, amènent à
un déploiement plus raffiné du théorème sur l’énergie cinétique. De
nombreux exemples avec conservation ou non conservation de l’énergie
mécanique sont considérés. Nous allons boucler cette section par la notion
de puissance et divers compléments.
a) Le produit scalaire
Commençons par définir et développer un outil mathématique qui nous sera
utile à savoir le produit scalaire.
Notation d’un
produit scalaire

B
Grandeurs
 
A  B  A B cos 


A
(Les origines des vecteurs
coïncident dans la considération de l’angle.)
2
Le produit reçoit son nom du fait que le résultat correspond ici à un scalaire.
Plus tard, nous verrons par contre le produit vectoriel.
Divers cas possibles

B

B

B

A

A
 
A B  0
 
A B  0

A
 
A B  0
N.B. Bien retenir que pour deux vecteurs perpendiculaires l’un à l’autre, leur
produit scalaire est nul.
 Propriétés du produit scalaire




- Commutatif : A  B  B  A
- Distributif : A  B  C   A  B  A  C







 Développement du produit scalaire à partir des composantes
Il est souvent utile de développer un produit scalaire à partir des
composantes de deux vecteurs.

B
y

A

j

i
x
3

Appliquons
notre définition du produit scalaire aux vecteurs unitaires i

et j :
   
i  j  j  i  0 (les vecteurs sont perpendiculaires l’un à l’autre)
   
i  i  i j cos 0  11 cos 0  1
 
et j  j  1
Nous pouvons maintenant développer l’expression recherchée :
 




A  B  Ax i  Ay j   Bx i  B y j 
En appliquant tout ce que nous avons vu, nous obtenons aisément :
 
A  B  Ax Bx  Ay B y
En trois dimensions s’ajoute un terme supplémentaire évident.
Un cas particulier intéressant est le suivant :
 
A  A  A A cos 0  A2  Ax2  Ay2
théorème de Pythagore 
Application
Retrouver la loi des cosinus.

C

B
'


A



 
 
 
 
C  C  C 2  A  B  A  B  A 2  B 2  2 A  B  A 2  B 2  2 A B cos 
 C 2  A 2  B 2  2 A B cos  '
4
b) Travail fait par une force constante

Considérons la situation suivante où une force constante F opère sur un

objet pendant que celui-ci effectue un déplacement s :

F

s

N.B. D’autres forces seront généralement
présentes.

Le travail fait par la force F se calcule de la façon suivante :
 
WF  F  s  F s cos 
Unités
1 J (joule) = 1 N∙m
c) Travail fait par une force variable en une dimension
Pour bien saisir le principe que nous allons appliquer, nous commencerons
par considérer le cas d’une force constante :

F
0

s
xi


xf

x
Nous avons : F  Fx i et s  x f  xi i . Le travail peut être facilement
évalué :
 
F  s  Fx x f  xi 

5
Ce résultat peut être interprété graphiquement :
Fx
0
xf
xi
x
Le travail correspond à l’aire « sous la
courbe ».
C’est ce même principe que nous appliquerons pour une force variable :
Fx
xf
Aire   Fx dx
xi
0
xi
xf
x
Cas d’un ressort
C’est le principal cas que nous allons considérer. Nous supposerons ici que
nos ressorts obéissent à la loi de Hooke qui est généralement valable si
l’élongation ou la compression du ressort n’est pas trop grande :
Fr  k x
6
Fr désigne la force exercée par le ressort tandis que k représente la
constante de rappel du ressort (en N/m).
Pour bien saisir l’action de la force exercée par le ressort, nous avons placé
la figure suivante :
Position d’équilibre du ressort
(ni étiré, ni comprimé)
0

Fr
x

Fr
Nous pouvons maintenant considérer l’aspect graphique de la force exercée
par le ressort :
Fr
x
xi
xf
0
Pente  k
Aire = travail fait par
le ressort
Le travail fait par le ressort Wr peut s’évaluer par la géométrie sur la figure
ou par l’application du calcul intégral :
7
xf
  k x11 
Wr   Fx dx    k x  dx  

 1  1  xi
xi
xi
xf
xf
Nous obtenons donc :
x 2f
xi2
Wr  k
k
2
2
Exemple

Un bloc vient buter avec une certaine vitesse vi contre un ressort placé dans
une pente. Calculez pour le déplacement suggéré les divers travaux.

N
y
 Fy  N  m g cos 25  0

vi
N  m g cos 25
f c   c N   c m g cos 25

Fr

vf  0
x

fc
0

s
h

mg
25
s  0,4 m
m  1,5 kg
 c  0,3
k  80 N / m
25
WN  0
la force est  au déplacemen t 


W g  1,5 kg  9,8 m / s 2 0,4 m  cos 65
 2,485 J


W f  0,3  1,5 kg  9,8 m / s 2  cos 25 0,4 m  cos 180
 1,599 J
80 N / m
0 m 2   0,4 m 2
Wr 
2
 6,4 J


8
d) Travail fait par une force conservative et variation d’énergie
potentielle
De façon générale, nous aurons à considérer plus tard des forces variables et
des trajectoires curvilignes.

F
f

ds
i
Les forces conservatives
Dans la nature, il y a des forces qui sont qualifiées de conservatives. Une
force est conservative si :
 Le travail fait par cette force est nul pour un trajet fermé quelconque.


 F  ds  0
(avec trait plein dans la partie inférieure droite)
 Ou de façon équivalente si le travail fait par cette force entre deux points
f


fixes de l’espace  F  ds (avec trait hachuré… ) est indépendant du trajet
i
suivi.
N.B. Quand nous parlerons du travail fait par une force conservative, nous
écrirons : Wc .
9
C’est seulement pour les forces conservatives que nous introduisons la
notion d’énergie potentielle. Seules les variations d’énergie potentielle
U ont une signification physique et nous avons alors la relation
fondamentale :
U  Wc
N.B. Quand nous parlons de l’énergie potentielle, c’est que nous avons fixé
arbitrairement la valeur de l’énergie potentielle en un point. En
pratique, nous utiliserons systématiquement la méthode des ... mais
plus tard avec les compléments, nous traiterons de l’énergie potentielle.
Cas considérés :
1- La force de gravitation près de la surface du sol
W g  0 ; U g  0

mg
Wg  m g h
h
U g  m g h
W g  0 ; U g  0
Wg   m g h
U g  m g h
Sol
Remarquons que le travail fait par la force de gravitation sur le trajet fermé
considéré est nul. Retenons que :
U g   m g h
où h est une quantité positive.
N.B. Lorsqu’un objet s’élève, son énergie potentielle gravitationnelle
augmente indépendamment de tout système de coordonnées. Nous
avons le contraire quand il s’abaisse.
10
2- La force exercée par un ressort
En une dimension, une force qui ne dépend que de la position est
automatiquement conservative.

U r  Wr   k


2
xf
U r  k
k
2
x 2f 
xi2

k
2
2 
xi2
2
Exemple (suite)
Nous pouvons maintenant calculer nos variations d’énergie potentielle.

N
y

vi

Fr

vf  0
0

s
h
25

80 N / m
 0,4 m2  0 m2
2

fc

mg
h  0,4 m  sin 25  0,169 m
U g  1,5 kg  9,8 m / s 2  0,169 m
U r 
x

U g  2,484 J
U r  6,4 J
e) Le théorème sur l’énergie cinétique
Plutôt que de faire une démonstration générale, nous allons partir d’une
situation simple et en même temps nous rattacher à ce que nous avons vu
11
précédemment
dans le cours. Nous envisagerons ici un cas unidimensionnel

où Fx est la force résultante constante agissant sur la particule.

Fx

ax

vi
0

vf

s
xi
xf
x
Nous avons vu auparavant que le travail est donné par : Fx x f  xi  .
Maintenant puisque la force ici est la force résultante, le travail obtenu
correspond au travail net. Nous avons donc :
Wnet  Fx x f  xi 
Considérant les éléments suivants :
Fx  m a x (2ième loi de Newton)
x f  xi 
v 2f  vi2
2 ax
(cinématique)
Nous obtenons :
Le théorème sur l’énergie cinétique
WNet  m
Ici K  m
v 2f
2
m
vi2
 K
2
v2
représente l’énergie cinétique de la particule. Ce théorème
2
est absolument général pour une particule que les forces soient variables ou
encore que les trajectoires soient curvilignes.
12
Exemple (suite)
W Net  W N  W g  W f  Wr
W Net
 0  2,485 J  1,599 J  6,4 J
 5,514 J
K  0  1,5 kg
vi2
2
WNet  K
vi2
 5,514 J  1,5 kg
2
On peut donc calculer la vitesse du bloc au moment où il percute le ressort.
vi 
2  5,514 J
 2.711 m / s
1,5 kg
N.B. La vitesse du bloc est nulle au moment de la compression maximale du
ressort.
Quand on applique le théorème précédent, pour évaluer le travail net il faut
absolument tenir compte de toutes les forces qui agissent sur la particule.
Les forces peuvent se classer en conservatives et non conservatives (les
autres). Nous pouvons alors écrire le théorème autrement :
WNet  Wc  Wnc  K
 U  Wnc  K
Nous obtenons un résultat important :
Wnc  K  U  E
Ici représente E la variation d’énergie mécanique.
De façon générale plusieurs objets et plusieurs formes d’énergie potentielle
peuvent être à considérer. L’équation précédente doit alors être appliquée à
l’ensemble du système.
13
Exemple (suite et fin)
U  U g  U r
 2,484 J  6,4 J  3,916 J
1,5 kg
2
K  0 
 2,711 m / s   5,514 J
2
E  K  U
 5,514 J  3,916 J
E  1,598 J
Wnc  W f  W N
Wnc  1,599 J
 1,599 J  0
Nous vérifions bien que :
Wnc  E
N.B. L’énergie mécanique a diminué essentiellement à cause du travail
négatif effectué par la force de frottement. Lorsque deux surfaces
glissent l’une sur l’autre, de la chaleur est produite. Si on tient de la
chaleur produite, l’énergie est globalement conservée.
Interprétation physique de la variation d’énergie potentielle
Supposons que nous soyons seulement en présence d’une force conservative
et d’un agent extérieur exerçant une force. L’agent extérieur pourrait par
exemple être votre main. On pourrait ajouter toute autre force dont le travail
serait nul. Imposons que la variation de l’énergie cinétique soit nulle. Le
théorème sur l’énergie cinétique nous donne :
WNet  WExt  Wc  WExt  U  K  0
Nous obtenons :
WExt  U
14
Situations particulières
U
g
 0
dU r

s

FExt

Fr

mg
 0

ds

FExt
x
0
Dans les deux cas, le travail fait par l’agent extérieur (sans variation
d’énergie cinétique) est équivalent à la variation d’énergie potentielle.
Remarquez que dans le contexte évoqué ici, l’énergie mécanique change.
Conservation et non conservation de l’énergie mécanique
L’énergie mécanique est conservée quand Wnc  0 et nous avons alors :
E  K  U  0 . Autrement l’énergie mécanique n’est pas conservée.
Exemple
Soit le pendule de la figure suivante.
0
l

T
l  2,0 m ;  0  30
(a)
h

vb

ds

mg
(b)
(h  l  l cos  0 )
15
Calculer la vitesse au point (b) si elle est nulle en (a).


Ici Wnc  WT  0 puisque T  ds  0 . L’énergie mécanique est donc conservée.
E  K  U g  0
 vb2

m  0   m g h  0
 2

 vb  2 g h
Nous obtenons finalement :
vb  2 g l 1  cos  0 
 2,3 m / s
Exemple
Mouvement suivant une trajectoire courbe. Déterminez la vitesse finale de la
jeune fille au bas de la glissoire en supposant qu’elle soit nulle au départ et
qu’il n’y ait pas de frottement.

N
h
h6m

mg
Le principe est similaire
à l’exemple précédent. Puisque le travail fait par la

force normale N est nul, l’énergie mécanique est conservée. Nous avons
donc :
16
K  U g  0
 m
v 2f
2
mgh  0
Nous obtenons donc :
v f  2 g h  10,8 m / s
Exemple
Le système suivant part du repos. Déterminez l’élongation maximale du
ressort.

g
Position d’équilibre du
ressort
m1
m1  0,50 kg
m2
m 2  0,30 kg
k  50 N / m
  0,3
h
Avant de résoudre, mentionnons sans développer que les tensions dans les
cordes n’effectuent aucun travail sur l’ensemble du système. Au moment de
l’élongation maximale, la vitesse des blocs est nulle. Ici le travail fait par les
forces non conservatives se ramène au travail fait par la force de frottement
( WN  0 ).
17
Wnc  E  U  U g  U r
ici K  0
h2
Wnc  W f    m1 g h  m2 g h  k
2
2
h
 g h m2   m1   k
2
2
2g
m2   m1   2  9,8 m / s 0,30 kg  0,3  0,50 kg 
 h
k
50 N / m
Nous obtenons finalement :
h  0,0588 m
f) L’énergie cinétique de rotation
Considérons un solide tournant autour d’un axe fixe.

vi
mi
ri
K   mi
vi2
2
; vi   ri
 K
 m r 2
2
2
i
i
Ce qui donne finalement :
KI
2
2
où I est le moment d’inertie par rapport à l’axe considéré.
Nous donnerons un autre résultat important :
18
K M
2
vCM
2
 I CM
2
2
Energie cinétique
de translation
Energie cinétique
de rotation
Exemple (suite)
Revenons sur l’exemple précédent. Nous allons poser l’équation pour la
situation montrée.
(…)
R
  m1 g h'  K  U
 v2
v2
2  
h' 2 
  m1 g h'  m1
 m2
I
   m2 g h' k

2
2  
2 
 2
Avec :  
v
R
h'
h

v
g) Puissance
Nous allons considérer la puissance dans le contexte de l’action d’une force.
 Puissance moyenne
PMoy 
W
t
 Puissance instantanée
19
P
 ds  
dW
F
 F v
dt
dt
Unités
1 watt (W) = 1 J/S
Exemple
Déterminer la puissance que le moteur doit fournir si l’ascenseur monte à
vitesse constante de 3 m/s.
Paramètres :
M  1000 kg  800 kg
f  4000 N frottement
Moteur

T
Charge maximale

v
y

f
En appliquant la 2ième loi de Newton :
F
y
T M g  f 0
T  M g  f  1800 kg  9,8 m / s 2  4000 N  2,16  10 4 N

Mg

20
 
P  T  v  2,16  10 4 N 3 m / s  cos 


P  64,8 kW
 La puissance en rotation

F

Ft
Chaise de bureau

Fr

ds
d
dW  Ft ds  Ft r d    d
 P
Nous obtenons finalement :
dW
d

dt
dt
P  
.
h) Compléments
Nous allons ici traiter le thème de l’énergie potentielle tant pour le ressort
que pour la gravitation. Dans le cas du système masse - ressort, la
considération de l’énergie mécanique nous amènera à parler des diagrammes
d’énergie et des points d’équilibre stable. Dans le cas de la gravitation, nous
nous nous permettrons de nous éloigner de la surface terrestre et en
considérant l’énergie mécanique, nous parlerons de la vitesse de libération.
Un lien intéressant est ici à faire avec les trous noirs.
21
1. Système masse – ressort

g
x
0
Pas de frottement
Considérant ce que nous avons vu précédemment :

x2
0
x2
U r  x   U r (0)  k
k
k
2
2
2
2
Prenons comme convention : U r 0  0 .
Dans ce cas, l’énergie potentielle du ressort est donnée par :
x2
U r x   k
2
L’énergie mécanique E  K  U est donnée par :
Em
v2
x2
k
2
2
On considère souvent des diagrammes d’énergie :
Parabole
k
x2
2
E
K
0
A
Point d’équilibre
stable
Ur
A
x
22
A partir de l’énergie potentielle, on peut retrouver la force. En effet, à
partir de notre définition de base pour les forces conservatives en une
dimension :
dU   Fx dx
On obtient donc :
Fx  
dU
dx
d  x2 
Vérifions pour notre cas : Fx    k   k x . Nous retrouvons donc la
dx  2 
loi de Hooke. Le point x  0 est un point d’équilibre de type stable parce
que la force exercée par le ressort tend à ramener l’objet à ce point.
2. Cas de la gravitation
Nous allons ici nous permettre de nous éloigner de la surface d’un astre.
Dans le cas d’une force radiale qui ne dépend que de la distance r , et
c’est le cas pour la gravitation, cette force est automatiquement
conservative. Considérons la figure suivante. En supposant que le corps
attractif ait une distribution de masse à symétrie sphérique, nous pourrons
alors vérifier l’expression ci-dessous pour l’énergie potentielle
gravitationnelle :
U g r   
GM m
r
pour r  R 

Fg
r
M
m
Force de gravitation
R
Nous avons ici pris comme convention que U g    0 . En nous inspirant
23
de la section précédente, il est aisé de vérifier que notre expression est
correcte :
Fg  
dU r 
d
d 1

 G M m r 1  G M m
r
dr
dr
dr


 
Nous obtenons finalement : Fg  
GM m
. Ce qui correspond à la loi
r2
obtenue par Newton.
Au passage, remarquons que : dU g (r )   Fg dr   
GM m
 dr .
r2 

Près de la surface de l’astre : U g  m 
GM 
r si r / R  1 .
2 
 R 
Nous retrouvons notre résultat d’avant : U g  m g h avec r  h .
L’énergie mécanique est alors donnée par :
Em
v2 G M m

2
r
La vitesse de libération
Une application intéressante de cette expression consiste à déterminer à
quelle vitesse minimale on doit lancer un objet à partir de la surface d’un
astre (sans atmosphère) pour que cet objet ne revienne plus. Considérons
la figure suivante où on lance l’objet à une faible vitesse. Au point le plus
loin (haut), nous avons que l’énergie cinétique est nulle :
rMax

v Lib

v
m
Astre
R
M
24
E
GM m
rMax
Si nous ne voulons pas que l’objet revienne, considérons que rMax   , ce
qui correspond au cas où E  0 . Nous pouvons donc écrire :
Em
2
v Lib
GM m

0
2
R
La vitesse de libération est donc donnée par :
v Lib 
2G M
R
Trous noirs de Schwazschild
Il est intéressant de souligner que si nous remplaçons v Lib par la vitesse
de la lumière dans le vide c  300000 km / s , nous obtenons :
RS 
2G M
c2
Ce rayon est appelé rayon de Schwarzschild. Dans le cadre de la
théorie de la Relativité générale d’Einstein, où la matière courbe
l’espace-temps, on peut imaginer une masse ponctuelle M placée à
r  0 . Une sphère de rayon Rs centrée sur ce point, définit l’horizon
d’un trou noir de Schwazschild qui est une zone de non-retour. En
effet, une fois entré dans cette zone, même des rayons lumineux émis
par un observateur en chute libre ne pourraient en ressortir.
25
RS
Les trous noirs de Schwarzschild sont « plus simples » à étudier que les
trous noirs de Kerr qui sont en rotation. On pense maintenant que ces
objets mathématiques, dont nous n’avons pas encore percé tous les
secrets, correspondent à des êtres réels dans notre univers. Par exemple,
vers la fin de la vie des étoiles les plus massives, après leur explosion,
leur cœur se transforme en trou noir.
3. Diagramme d’énergie et chimie
Considérons ici une situation simple où une des particule est fixe à
l’origine et où on étudie le mouvement de l’autre selon son énergie
mécanique à l’intérieur d’un « puit de potentiel ».
U r 
Points extrêmes (bornes)
0
r0
r
E
K
(État lié)
Molécules diatomiques :
U 0  5  10 20 J
r0  3  10 10 m
On appelle énergie de liaison, l’énergie minimale qu’il faut fournir à la
particule en mouvement pour en faire une particule non liée. La réalité
chimique est plus complexe mais le principe est valable.