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2nde 3
CHAPITRE 2 : CALCUL ALGEBRIQUE
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I. Ensemble des nombres
a. Entiers naturels
Les entiers naturels sont les entiers positifs et 0 donc 0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; .........
L’ensemble des entiers naturels est noté . C’est un ensemble infini, en effet, chaque entier naturel n
possède un successeur n + 1.
b. Entiers relatifs
Considérons une équation du genre :
x + 19 = 5
La solution de cette équation – 14, n’est pas un entier naturel. Cette équation n’admet donc pas de
solution dans .
On introduit un ensemble appelé ensemble des entiers relatifs, plus grand dans laquelle cette équation
aura une solution.
L’ensemble des entiers relatifs ....; 4 ; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; ... est noté . C’est tous les entiers
négatifs et positifs.
c. Nombres rationnels – Nombres décimaux
Considérons maintenant une équation du genre :
La solution de cette équation
4x + 1 = 2
1
n’est pas un entier, elle est fractionnaire. On introduit un ensemble
4
appelé ensemble des nombres rationnels.
L’ensemble des nombres rationnels noté  est l’ensemble de tous les nombres qui peuvent s’écrire sous
la forme
a
où a   et b  *
b
Exemples



1 5 -3
; ;
sont des nombres rationnels
2 11 8
7
0,7
est aussi un rationnel car on peut l’écrire
9
0,9
Tout nombre entier n est un rationnel car on peut toujours l’écrire
n
1
Théorème : Un nombre est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique à
partir d’un certain rang.
 0,2006200620062006… (2006 se répétant périodiquement dans le développement décimal) est
donc un nombre rationnel. En effet, on peut vérifier qu’il s’agit de la fraction

0,1234567891011121314181…… n’est pas rationnel, pas de période.
Parmi les nombres rationnels, on peut en distinguer des cas particuliers :

1
= 0,25
4
le développement décimal s’arrêt
2006
.
9999
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
1
= 0,333333… le développement décimal est illimité.
3
Définition : On appelle nombre décimal tout nombre rationnel dont le développement décimal est fini.
L’ensemble des nombres décimaux est noté .
Exemples
1
1
7
 0,25 ;
 0,1 ;  1,4 sont décimaux
4
10
5

Les nombres

Tout entier (naturel ou relatif) est, bien sûr, un nombre décimal.

1
1
 0,3333..... ;  0,142857142857... ne sont pas décimaux.
3
7
d. Nombres réels
x2  2
Considérons maintenant une équation du genre :
Cette équation admet-elle une solution dans l’ensemble  ? Non, car les solutions de cette équation
 2 et 2 n’appartiennent pas à . On introduit un ensemble plus grand appelé ensemble des
nombres réels.
Les nombres réels sont les nombres qui sont représentés sur une droite graduée.
M
O
-5
I
-2
0 Error! 1 Error! 2
3  3,8
5
Récapitulatif
Les différents ensembles de nombres sont emboîtés (inclusions), on a donc         
IR
ID
3,8
-1
IN
2
1
3
-1,2
-27
-7
0
9
1
6
2
105 53

- 9

- 3
5
10-2
5
7
13
19

II. Fractions
a.) Egalité de deux fractions
Proposition : Dire que deux fractions
0)
a
b
et
c
d
sont égales équivaut à dire que a.d = b.c (avec b et d ≠
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2x
Exemple : Résoudre dans  l’équation :
2x
3

x2
2
3

x 2
2
.
 2x 2 x  3x ( x  2)

4 x  3x  6

x  6
b.) Addition de deux fractions
Proposition : Pour tous nombres a, b, c et d réels avec b ≠ 0 et d ≠ 0, on a :
a c ad  bc
 
b d
bd
Exemple : Réduire la fraction
3
x 1

2
x

3x
(x  1)x

2(x  1)
x (x  1)
3
x 1


2
x
.
3x  2(x  1)
x (x  1)

3x  2x  2
x (x  1)

5x  2
x (x  1)
III. Développer et factoriser
a. Distributivité
Définition :
Développer, c’est transformer un produit de facteur en une somme de
termes.
Factoriser, c’est transformer une somme de termes en un produit de
facteurs.:
Exemple
Développer
x(5 + y) = 5x + xy
Factoriser
b. Identités remarquables
Propriétés : Pour tous nombres a et b réels, on a :
Développer
(a + b)2 = a2 + 2ab +b2
(a - b)2 = a2 - 2ab +b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Factoriser