Modules sur le chapitre des nombres

Modules sur le chapitre des nombres
Module 1 :
1. Reconnaître la nature d’un nombre
Méthode : pour trouver la nature d’un nombre, on recherche, en le simplifiant, le plus petit ensemble de
nombres auquel il appartient.
exemples : déterminer la nature des nombres suivants : A = Error! ; B = Error! et C = Error!
 A  , or 144 = 122 = 12
donc A = Error! = Error! = - 4   . Ainsi A est un nombre relatif.
 Error! ne peut se simplifier et  est un réel. Donc Error! est un réel.
 C  . On reconnaît une identité remarquable au numérateur.
( 5 + 3)( 5 – 3) = ( 5)2 – 32 = 5 – 9 = -4.
Donc C = Error! = Error!  . Ainsi C est un nombre décimal.
exercice : Déterminer la nature des nombres : D = 0,3333 et E = Error!
2. Construction de réels
Sur la droite des réels, on peut construire les nombres rationnels et
certains nombres irrationnels.
Ici, -Error! est construit en utilisant la propriété de Thalès et Error! est construit
en utilisant le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle.
–Error!
5
exercice :
1) Soit ABC un triangle équilatéral de côté 2.
a) déterminer la hauteur de ce triangle.
b) sur une droite réelle, d’unité graphique 5 cm, construire le point d’abscisse 3.
2) a) en remarquant que 39 = 3  13, trouver deux entiers a et b tels que 39 = (a + b)(a – b).
b) en déduire une méthode pour construire un segment de longueur 39 cm.
3. Distinguer un nombre d’une de ses valeurs approchées
valeur exacte
Error!
Error!
valeurs approchées à 10-3 près :
- par défaut
285,714
0,052
- par excès
285,715
0,053
-3
valeurs arrondies à 10 près
285,714
0,052
cos(80°)
Error!
0,173
0,174
0,174
-0,532
-0,531
-0,531
4. calculs avec les écritures scientifiques
Exercice 1 : Ecrire en notation scientifique les nombres suivants :
B = 35  106 + 3  106 + 2,9  106
C = -0,8  107 + 0,05  107 – 2,32  107
Exercice 2 : Ecrire en notation scientifique le nombre A = 9  10-3 + 0,4  10-2 – 9  10-4 en mettant d’abord
10-4 en facteur et sans utiliser de calculatrice.
Exercice 3 : La vitesse de la lumière est estimée à 3  108 m.s-1 et la distance moyenne Terre-Soleil à 149
millions de kilomètres. Calculer le temps nécessaire à un signal lumineux issu de la Terre pour parvenir au
Soleil.
Module 2 :
1. Démontrer une égalité A = B
première méthode : on part d’un seul des deux membres et on transforme son écriture pour obtenir l’autre
membre
deuxième méthode : on transforme séparément les membres A et B pour obtenir le même résultat C.
troisième méthode : on démontre une égalité équivalente A – B = 0.
Pour cela, on transforme l’écriture de la différence A – B jusqu’à obtenir la valeur 0.
Montrer les égalités suivantes :
1000 + 0
= 0,15
b) 16 – ( 3 – 5)2 = (9 – 3)( 3 – 1)
c) Error! = Error!
000032 – 103;6  10-9
Exercice: Le nombre d’or est le nombre Φ = Error!. Vérifier les égalités suivantes :
a) Φ2 = Φ + 1
b) Φ = Error! + 1
c) Φ3 = 2Φ + 1
a)
2. Irrationalité de 2
Pythagore et ses disciples ont découvert ce nombre au VIe siècle avant J.-C., en cherchant le rapport entre
la diagonale d’un carré et son côté. Or, son étude sur la musique avait conduit Pythagore à penser que
« l’harmonie divine consiste en rapports numériques de nombres entiers ».
Hélas, 2 ne rentrait pas dans ce monde rationnel ; c’est pourquoi Pythagore a nommé ces nombres des
« irrationnels ». La démonstration par l’absurde de l’irrationalité de 2 repose sur l’écriture des entiers.
On suppose que 2 est rationnel, c’est à dire qu’il s’écrit sous forme irréductible, Error!, p et q étant des
entiers naturels non nuls.
1. Justifier que p² = 2  q². En déduire que p² est pair.
2. a) Démontrer que si p est pair, alors p² est pair et si p est impair, alors p² est impair.
b) En déduire que p est pair.
3. Puisque p est pair, posons p = 2p’.
Démontrer alors que q² = 2p’². En déduire, à l’aide des questions précédentes, que q est pair.
4. Pourquoi les réponses des questions 2 et 3 sont-elles contradictoires avec l’hypothèse ?
En déduire que 2 est irrationnel.
3. Multiples – diviseurs
Exercice 1 : Un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs, autres que lui-même.
Ainsi, 6 est un nombre parfait, car 6 = 1 + 2 + 3.
Trouver le seul nombre parfait compris entre 25 et 30.
Exercice 2 : Deux entiers positifs m et n sont dits amicaux, si la somme des diviseurs de m (autres que m)
est égale à n et simultanément la somme des diviseurs de n (autres que n) est égale à m. Les plus petits
nombres amicaux sont 220 et 284.
a) Décomposer en produit de nombres premiers 220 et 284.
b) Vérifier que 220 et 284 sont amicaux.
Exercice 3 : Deux voitures font des tours sur un circuit fermé ; elles partent toutes deux à midi de la ligne de
départ. L’une parcourt le circuit en 30 minutes, l’autre en 36 minutes.
A quelle heure les deux voitures repasseront-elles en même temps la ligne de départ ?
Combien auront-elles fait de tours ?
Exercice 4 :
1) a) Développer et réduire l’expression : (n + 1)² – n².
b) En déduire que tout nombre impair peut s’écrire comme la différence de deux carrés.
2) application à faire aux entiers 13 et 45.