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LP 06 Utilisations des lois de conservation dans le problème à deux corps
Applications (gravitation, champ de force coulombien).
Intro:
importance du problème à deux corps car toutes les forces connues en mécanique
classique sont des interactions à deux corps
de nombreux systèmes physiques peuvent être modélisés par un système à deux corps en
interaction
 ce problème présente l'avantage de pouvoir être traité très généralement
A) Le problème à deux corps:
1) Position du problème:
Considérons deux corps, considérés comme ponctuels, de masse m1 et m2 , occupant les
points M 1 et M 2 , ces positions dépendant à priori du temps, ces deux particules constituant
un système isolé dans un référentiel galiléen R.

La particule M 2 exerce sur la particule M 1 une force f 1 et la particule M 1 exerce sur la

particule M 2 une force f 2 .


D'après le principe des actions réciproques, on a f 1   f 2 .
Si on écrit le PFD pour chacune des particules, on a:
d 2 OM 1 
d 2 OM 2 
et
m1

f
m
 f2
1
2
dt 2
dt 2
Ces deux équations sont couplées par l'intermédiaire des forces d'interaction, qui
dépendent de la position de l'autre particule (elles sont portées par la droite M 1 M 2  ).
On se propose dans un premier temps de trouver des équations découplées.
2) Particule fictive :
Ajoutons membre à membre les deux équations précédentes. On obtient:
  
d 2 m1 OM 1  m2 OM 2

f
1  f2  0
dt 2
Si on introduit le centre de masse du système G, on obtient alors que:
d 2 OG 
0
dt 2


Par ailleurs, on peut combiner ces équations pour obtenir
d 2 OM 2  OM 1 d 2 M 1 M 2

1 
1  m1  m2 


f2 
f1 
f 2 . Si on note r  M 2 M 1 et que
2
2
m2
m1
m1m2
dt
dt
m1 m2
l'on introduit la masse réduite  
, on obtient:
m1  m2

d 2r 
 2  f2
dt
Le mouvement de G étant rectiligne uniforme, le référentiel du centre de masse R* est
galiléen si R l'est. L'équation précédente s'interprète donc comme le mouvement d'une

particule fictive de masse  soumise à la force centrale (passant par G) f 2 .
Si la position M de cette particules est connue, alors celles de M 1 et de M 2 le sont par les
relations vectorielles:
m2 
GM1  
r
m1  m2
m1 
GM 2 
r
m1  m2
 d M 1M 2 

Si par ailleurs on définit la vitesse v 
 v2 * v1 * , vitesse relative des deux
dt
particules, et aussi vitesse de la particule fictive dans R*:
m2 
m2 


v1 *  
v et v2 * 
v
m1  m2
m1  m2
3) Lois de conservation:
Calculons, dans le référentiel R*, le moment cinétique de l'ensemble des deux particules:

 m2 m1  *
mm  



L*  m1 GM1  v1*  m2 GM 2  v2*  GM  
v1  1 2 v2*   .GM  v
m1  m2 
 m1  m2
Le moment cinétique de l'ensemble correspond lui aussi au moment cinétique de la
particule fictive de masse  .


 

dL*
Si on calcule
  v  v  GM   *  0 car la force est une force centrale, on voit que
dt
le moment cinétique se conserve au cours du mouvement. Ceci implique:

- que le mouvement est plan. En effet, à tout instant on a GM L et donc la trajectoire de
la particule fictive, et donc celles des deux particules réelles se déduisant par

homothétie de centre G de celle-ci sont en permanence dans le plan orthogonal à L
imposé par les conditions initiales


o
-
qu'en coordonnées polaires .r 2   cste . On définit alors la constante des aires par
*
L
o
C  r2 
,déterminée par les conditions initiales, ainsi appelée car l'aire balayée

o
1
C
pendant dt par le vecteur GM vaut dS  r.r  dt  dt .
2
2
Calculons à présent l'énergie cinétique du système:
 *2
 *2
1
1  2 2 2 2  1
Ec *  m1v1  m2 v2  
v 
v   .v 2
2
2  m1
m2  2
L'énergie cinétique totale correspond donc à l'énergie cinétique de la particules fictive
définie plus haut.


L'énergie mécanique totale dans le référentiel barycentrique vaut alors, dans le cas
particulier où les forces d'interaction dérivent d'une énergie potentielle E p r  :
1 o2   o 
1 o2
E m  E  E p r   . r   r    E p r   . r  E peff r  , où on introduit l'énergie
2
2 
2
 C2
potentielle effective qui ne dépend que de r E peff 
 E p r  .
2 r2
Le système étant isolé, l'énergie mécanique totale se conserve.
2
*
c
On a vu que tout se passait comme si il y avait une particule fictive de masse  et de


vitesse v dans le référentiel barycentrique soumise à une force centrale f 2 , les trajectoires des
particules réelles se déduisant par homothétie de sa trajectoire. Dans toute la suite, nous ne
considérerons donc qu'une particule soumise à une force centrale. Pour alléger les notations,


nous noterons sa masse m, sa vitesse v , ses coordonnées r , , son moment cinétique L et son
énergie E m , E c , E p .
4) Une première application : formules de Binet.
Afin de déterminer la nature des trajectoires, il est plus simple d'avoir r   que r t  et
 t  . Nous allons donc déterminer les équations différentielles qui relient la vitesse et
l'accélération de la particule à r   .
1
Notons u  .
r
o
o
dr d C dr du
du
 2
 C
On a r 
et r   Cu
d dt r du d
d
o 
 o
En coordonnées polaires, on a v  r er  r  e d'où on tire la première formule de Binet:

du  
 
v  C  ue 
er 
d 

o
o
o2
d r d r d
d 2u C
d 2u
r

 C 2u 3
Si on calcule r 
et

 C 2 2  C 2 u 2
dt d dt
d r
d 2
 oo o 2  
Par ailleurs, en coordonnées polaires, l'accélération s'écrit    r  r  er , la composante


orthoradiale étant nulle puisque les forces sont centrales.
On a alors la seconde formule de Binet:
 d 2u


  C 2 u 2  2  u 
 d

oo
B) Applications aux champs newtoniens:
1) Définition:
On appelle champ newtonien un champ qui exerce sur une particule une force de la forme

k 
k
f   3 r , c'est-à-dire que cette force dérive d'une énergie potentielle E p   .
r
r
Deux types d'interaction présentent cette caractéristique:
- la gravitation entre deux particules, avec k  Gm1m2 toujours positif.
qq
- Les forces électrostatique de Coulomb avec k  1 2 qui peut être positif ou négatif
4 . 0
selon que les charges sont de même signe ou de signe opposé.
La nature du mouvement est fortement modifiée selon le signe de k. Nous allons donc
traiter pour le cas k positif le mouvement des planètes, et pour le cas k négatif la diffusion
Rutherford, c'est-à-dire la trajectoire d'un particule  en interaction avec un noyau.
2) Cas où k est positif.
a) Equation de la trajectoire:
Ecrivons le PFD pour une particule de masse m soumise à un champ newtonien:
 
k 
On a m  f   2 er
r
Les formule de Binet nous donnent:
 d 2u

d 2u
k
, ce qui s'intègre immédiatement en:
mC 2 u 2  2  u   ku 2 , soit 2  u 
d
mC 2
 d

k
u
 A cos   , A et  sont deux constantes d'intégration.
mC 2
mC 2
1
p
k

En se souvenant que r  , on obtient que r 
2
u
1  e cos  
AmC
1
cos  
k
On reconnaît là l'équation polaire d'une conique de paramètre p et d'excentricité e dont
l'axe focal fait avec l'axe Ox définit par   0 un angle  . Pour alléger les calculs, on choisira
l'axe Ox de telle sorte que   0 et on aura:
p
r
1  e cos
b) Nature de la trajectoire
Reprenons l'expression de l'énergie mécanique totale, constante au cours du mouvement:
1 o2
m C2
m C2 k


m. r  E peff r  , avec E peff 

E
r


p
2
2 r2
2 r2 r
mC 2
L'énergie potentielle effective s'annule à l'infini et en r0 
, et donc il est plus simple
2k
1
r
de poser E peff  k  02  
r
r
Si on trace cette énergie potentielle effective, on a:
E m  Ec*  E p r  
Em  0
r0
Ec
2r0
Em  0
On voit alors qu'il y a deux
possibilités pour le mouvement de
la particule:
- soit Em  0 et on a un état
de diffusion
- soit Em  0 et on a un état
lié.
On peut retrouver ce résultat en utilisant la conservation de l'énergie mécanique: celle-ci
vaut, en fonction de u:
 2  du  2 
1
2
E m  mC u  
   ku
2
 d  


1  2e cos  e 2 cos 2  e 2 sin 2   k
1
mC 2 

  1  e cos 
2
p2
p2  p



k
k
1  2e cos  e 2  1  e cos 
2p
p
k 2

e 1
2p
formule d'après laquelle on voit que si Em  0 , alors e  1, et donc que la trajectoire est
une hyperbole, si Em  0 , alors e  1, et la trajectoire est une parabole, et que si Em  0 alors
e  1, et la trajectoire est une ellipse (état lié).



c) Cas de l'ellipse: lois de Kepler:
Le cas de l'ellipse constitue un cas important, car il décrit le mouvement des planètes du
système solaire, ainsi que celle de certaines comètes qui effectue un mouvement périodique
autour du soleil (comète de Halley).
Ces mouvements ont été étudié par Kepler à la fin du XVIème siècle qui énonça alors trois
lois expérimentales que nous allons ici retrouver.
La trajectoire à pour équation r 
p
( e  1)
1  e cos
p
1 e
p
L'apogée (distance maximale au soleil) correspond donc à rmax 
1 e
Ces résultats constituent la première loi de Kepler sur le mouvement des planètes.
En fait, le foyer de la trajectoire ne se situe pas exactement au niveau du soleil, mais
comme nous l'indique l'étude générale du problème à deux corps, au niveau du centre de
masse du corps et du soleil. Cependant, comme la masse du soleil est généralement très
supérieure à la masse du corps étudié, on peut confondre le centre de masse du système avec
le soleil.
Il faut tout de même signaler que la rotation du soleil autour du centre de masse est
mesurable et que c'est ce phénomène que l'on met à profit pour savoir si une étoile possède un
système planétaire ou non.
Le périgée (distance minimale au soleil) correspond donc à rmin 
Nous avons vu par ailleurs que la conservation du moment cinétique impliquait que la
dS C

vitesse aréolaire
était une constante, c'est à dire que l'aire balayée en un temps donné
dt
2
reste la même au cours du mouvement. Ceci constitue la deuxième loi de Kepler
La troisième loi de Kepler peut alors être considérée comme une conséquence des deux
précédentes :
Si on introduit la surface de l'ellipse S  ab , où a est la longueur du grand axe et b celle
du petit axe, on a:
 .ab C
 , où T est la période du mouvement.
T
2
b 2 T 2C 2
mC 2

Par ailleurs, l'étude des coniques montre que p 
et p 
a 4 2 a 3
k
2
2
T
4 m
On a donc la relation 3 
k
a
3) Cas où k  0 : diffusion Rutherford:
Si on trace ici l'énergie potentielle effective en fonction de r, on obtient une courbe dont
l'allure est:
On constate alors qu'il ne peut pas y avoir d'état lié
mais seulement des états de diffusion.
Le raisonnement que nous avons fait pour déterminer
l'équation de la trajectoire dans le cas d'une force
attractive est ici toujours valable, et le mouvement de la
particule