Chapitre 1 : Les nombres, leurs écritures

Chapitre 1 : Les nombres, leurs écritures. Equations-inéquations
I.
Les ensembles de nombres
1) Les entiers :
Les entiers naturels : leur ensemble est noté I; N ={ 0 ;1 ;2 ;…}
On s’en sert en particulier pour compter un nombre d’objets, ce sont les premiers nombres de l’histoire.
Les entiers relatifs : leur ensemble est noté Error! ={ ….-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;…}
Ce sont les entier naturels n et leur opposé – n.
La lettre z est la première lettre du mot allemand Zahl , signifiant nombre dans cette langue.
2) Les nombres décimaux sont les nombres dont la partie décimale qui a un nombre fini de chiffre.
Leur ensemble est noté ID = { Error! ; avec a  Error! et n  Error! }
Exemple 5,421 = Error! ; -5 = Error! ; Error!  ID
Les rationnels : leur ensemble est noté I;Q = { Error! ; avec a  Error! et b  Error! * }
Exemple :Error! ; 5,421 = Error! ; -5 = Error! ; 0 = Error!
Remarque : tout nombre rationnel à une écriture périodique (une partie décimale qui se répète)
Exemple : Error! = 4, 72 72 72 … : 72 se répète, c’est la période. 5 = 5,000000 ; 0 est la période.
Remarque : x = 0,999999….. = 1
dem : 10 x – x = 9
3) Les réels : leur ensemble est noté I; R
Ce sont tous les nombres utilisés au collège :
 les rationnels
 les irrationnels ( non rationnels ) : 2 ;  ; cos 1° ;..( nous l’admettrons )
Les nombres réels sont tous les abscisses des points d’une droite graduée.
Cette droite est appelée « La droite réelle »
–3
–1
–2
–1,6
0
2
1
1/3
3
Classer les nombres suivants dans le bon
ensemble :
3

I; R
I;Q
Error! 0,003 0 −593 − Error!
2 Error! 58,2 −190,08
Error!
Error!
 Error!
3
3
Error!
Error!
−
Error!
Error!
ID
Error!I; N
Méthode : commencer par simplifier
l’écriture des nombres.
3 appartient à I; N et à Error!. Tout élément de Error! est aussi un élément de Error!.
On dit que I; N est inclus dans Error! et on écrit : Error!  Error!
De même :
I; N  Error!  ID  Error!  IR
D’autres notations :
I; R+ est l'ensemble des réels positifs ou nuls
I; R* est l'ensemble des rationnels sauf zéro
I; N − {5} est l'ensemble des entiers naturels sauf 5
II Nature et écriture des nombres :
Dans le paragraphe, sauf avis contraire, on prendra n  I; N.
La troncature
Définition :
Exercices : 1, 3, 7, 8 page 30 + 6 maison
La troncature à la précision 10-n d'un nombre décimal est obtenue en ne conservant que les n premiers
chiffres après la virgule.
Exemples :
Si x = 2,35787, alors
La troncature à la précision 10-3 est m = 2,357
L'arrondi
Définition :
L’ arrondi à 10-n près de x est le nombre décimal à n chiffres après la virgule le plus proche de x.
Pour les nombres positifs, on l’obtient à partir de la troncature de x avec le n ième chiffre après
la virgule augmenté de 1, si le suivant est égal à 5,6,7,8 ou 9.
Exemples :
L'arrondi de x = 1,56879 au millième est m = 1,569
L'arrondi de x = 1,56839 à 0,001 près est m = 1,568
Valeurs approchées à 10-n
Pour les nombres positifs, on prendra comme valeur approchée par défaut :la troncature
Pour les nombres positifs, on prendra comme valeur approchée par excès :la troncature + 10-n
Exemple :
Si x = 2,35737, alors
Une valeur approchée par excès à 10-3 près est m = 2,358
Une valeur approchée par défaut à 10-3 près est m = 2,357
L'écriture scientifique
Définition : Soit n  Error!
Tout réel x peut s'écrire sous la forme a x 10 n , où a est un nombre décimal tel que 1  a < 10 . Cette écriture
s'appelle l'écriture scientifique de x.
Exemples :
L'écriture scientifique de 345,78 est 3,4578 x 10 2
L'écriture scientifique de -0,0056 est – 5,6 x 10 - 3
Remarque :
Pour obtenir un ordre de grandeur d'un nombre décimal d : ( sert à vérifier les calculs « de tête » )
- On l'écrit en écriture scientifique : a x 10 n.
- On arrondi a à l'entier le plus proche.
- On conserve la puissance de 10.
Exemples :
300 est l’ordre de grandeur de 354,78
Ordre de grandeur de Error! = Error!  Error!  3, 5 x 102  4 x 102  400.
A l'aide de votre calculatrice, remplir le tableau ci-dessous
Valeur
approchée
par excès
à 10-3 près
Valeur
approchée
par défault
à 10-3 près
Toncature
à la
précision 102
Arrondi
à la
précision
10-4
65,76543
- 8,98554

Error!
2
Error!
Error!
Error!
3) Calculatrices et valeurs exactes
Avec la calculatrice :
1;0
99999 = 1,00001
1;0
99999 − 1,00001  0 !
Remarques :
Ex : 12, 13, 14 et 16 page
30
 dès qu'une calculatrice n'est pas capable d'afficher la valeur exacte
d'un résultat, elle en affiche une valeur approchée sans prévenir !
III) REGLES DE CALCUL
1) Avec la calculatrice :
00 =
Error! =
Error! =
Dans un calcul, il nous faudra donc toujours vérifier que :
 les dénominateurs sont non nuls
 les radicandes sont positifs ou nuls.
2) Puissances :
(n 
CONDITIONS

REGLE
a0 = 1
a0
a−n = Error!
am × an = am + n
 Il n'y a pas de règle avec am + an
Error! = am − n
a0
(am)n = am × n
(ab)n = an bn
n
a
  = Error!
b
b0
3) Racines :
CONDITIONS
REGLE
0=0
a  0 et b  0
a0
a0
a  0 et b  0
ab = a b
( a)
 Il n'y a pas de règle avec a + b
2
=a
a2 = a
Error! = Error!
4) Quotients :
CONDITIONS
b0
b  0 et d  0
b  0 et d  0
b  0, c  0 et d  0
REGLE
Error! = Error! =
− Error!
Error! + Error! =
Error!
Error! × Error! =
Error!
Error! = Error! ×
Error!
IV LES NOMBRES PREMIERS.
1. Définition- Propriété
p25 : 25, 28, 29, 31, 34
p29 : 73, 74, 76, 78, 79
p32 : 123, 125, 126, 128, 135, 138
Définition : Un entier naturel est dit premier s’il a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même
Remarque : tout nombre supérieur ou égal à deux admet au moins 2 diviseurs ( et lui-même) donc un nombre
premier n’en admet pas d’autre
Exemples : 6 =2x3 admet 2 (et 3) comme diviseur donc, il n’est pas premier .
1 n’est pas premier 0 n’est pas premier ( 0 = 0 x 5 )
Nombres premiers à connaître : 2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13
Propriété : pour savoir si un nombre x est premier, il suffit de chercher un diviseur
parmi les nombres premiers inférieurs ou égaux à x
Exemple : 71, 8²  71  9² ; on cherche donc à diviser 71 par 2,3,5 et 7
Critère d’Eratosthène : écrire une suite d’ entiers naturels commençant par 1, à partir de 1 : on ne raye pas
le prochain nombre (non rayé) mais tous ses multiples
2. Critères de divisibilités :
 Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par : 0 ;2 ;4 ;6 ou 8
 Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par : 0 ou 5
 Donc un nombre est divisible par 10 s’il se termine par : 0
 Un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le compose est divisible par 3
 Un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le compose est divisible par 9
 Un nombre est divisible par 11 si la somme de ses chiffres d’indice impairs moins la somme de
ceux d’indice pair est divisible par 11
 Un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres sont divisibles par 4.
 Un nombre qui s’écrit sous la forme abc est divisible par 7 si 2 a + 3b+c est divisible par 7
 Un nombre est divisible par 7 si son nombre de dizaines moins le double des unités est divisible
par 7 exemple : 113 : 13 - 2x3 = 7 donc 133 est divisible par 7.
3. Décomposition en facteurs premiers
Théorème : tout entier naturel non premier admet une décomposition en un produit de
nombres premiers dont certains peuvent être égaux. Cette décomposition est unique à
l’ordre près des facteurs.
Exemple décomposer 72 en facteurs premiers.
Méthodes : ( pour plus de clarté, on ordonne puis regroupe la décomposition)
 avec des diviseurs connus
72=9*8=3*3*2*4=3*3*2*2*2=23 * 32
 avec la méthode successives de nombres premiers :
72
2
36
2
18
2
9
3
3
3
1
72= 23*32
remarque on peut utiliser les règles de calculs sur les puissances : 100 3 = ((2*5)²)3
4 Applications de la décomposition en facteurs premiers
1) propriété : ID = { Error! avec p  Error! , a et b deux entiers naturels ; p et 2a 5b des nombres
premiers entre eux}
remarque : il suffit donc de simplifier les fraction et vérifier qu’il ne reste plus que des 2 et 5 au
dénominateur pour qu’un nombre soit décimal
Exemples :Error! =Error!  ID, -Error! = Error! aussi mais pas Error! ou Error! = Error!
2) PGCD et fractions
Décomposer 270 et 252 en facteurs premiers puis réduire la fraction Error!. On a simplifier par le
PGCD.
Propriété : le PGCD de a et b est le produit des facteurs premiers communs à a et b avec leur puissance la plus
petite .
Exemple : chercher le PGCD de 270 et 252 a =270 = 2*33*5 et b = 252 =2² 3² 7 ; PGCD (a,b) = 2*3² = 18
Propriété : le plus petit multiple commun à deux nombres est le produit des facteurs premiers de a ou b avec sa
plus grande puissance.
Exemple : calculer puis simplifier Error! - Error! = …= Error!
( PPCM= 2²*325*7)
3) Les radicaux : simplification rapide
Exemple : 56* 105= 2²*7²*2*3*5 = 2*7* 2*3*5 = 14 30
IV DEVELOPPER , FACTORISER
1) Règle de base
a( b+c) = ab +ac : sens du développement
ab + ac = a ( b+c) : sens de la factorisation
Exemples :
développement :
x ( 2x - 1) = 2x² + x
(x+1)(3 + x) = (x+1) x 3 + (x+1 ) x x = 3 x + 3 +x² + x =x² + 4x + 3
factorisation :
2x² + x = x ( 2x - 1)
(x+1) x 3 + (x+1 ) x x = (x+1)(3 + x)
(4 x – 3)(x + 2) – x(8 x – 6) – 4 x + 3 = (4 x – 3)(x + 2) – 2 x(4 x – 3) – (4 x – 3)
= (4 x – 3)[x + 2 – 2 x – 1]
= (4 x – 3)(1 – x)
Le but de la factorisation est de transformer une expression en un produit de facteur.
2) Identités remarquables
Les développement
( a + b)2 = a2 +
2ab + b2
( a - b)2 = a2 –
Les factorisations:
a²+ 2ab + b² = (a + b)²
a² - 2ab + b² = (a – b)²
32 x2 – 48 x + 18 = 2 (16 x2 – 24 x + 9)
= 2 (4 x – 3)2
2ab + b2
( a – b)(a + b) =
a2 – b 2
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
3) Faire apparaître une identité remarquable ( hors programme )
Dans une factorisation, il arrive que l'on n'ait pas vu un facteur commun ou une identité remarquable. On finit
souvent par se retrouver devant une expression du second degré que l'on ne sait pas factoriser.
Voici une petite ruse de calcul qui rend service :
2 x2 + x − 3
= 2 Error!
= 2 Error!
= 2 Error!
= 2 Error!
= 2 Error!
= 2 (x − 1)Error!
= (x − 1)(2 x + 3)
mettre sous la forme x2 + b x + c
2
mettre sous la forme Error! – …
reconnaître A2 – B2
V) EQUATIONS A UNE INCONNUE
1/ Définition
Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle figure une lettre représentant une valeur inconnue
que l’on cherche à déterminer.
Exemples :
(E1) : 2x + 1 = 0 est une équation d’inconnue x
(E2) : 2t² + 1 = t + 1 est une équation d’inconnue t
3
2
(E3) : y – 3y = 6y – 8 est une équation d’inconnue y.
Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie (Il peut y en avoir plusieurs).
Exemples
–Error! est une solution de (E1) car 2  Error! + 1 = 0
2 est une solution de (E2) car Error! = 2 + 1
3
2
1 est une solution de (E3) car 1 – 3  1 = 6  1 – 8et –2 est aussi une solution de (E3) car (–2)3 – 3  (–2)2 = 6
 (–2) – 8
Résoudre une équation c’est déterminer l’ensemble de toutes les solutions de l’équation.
Exemples
L’ensemble des solutions de (E1) est S1 = Error!
L’ensemble des solutions de (E3) est S3 = {–2 ; 1 ; 4}
L’ensemble des solutions de (E2) est S2 = {0 ; 2}
2/ Règles de calcul sur les égalités
On peut transformer une égalité en une égalité équivalente
 en additionnant aux deux membres de l’égalité un même nombre.
 en multipliant les deux membres de l’égalité par un même nombre non nul.
Exemples
2x + 1 = 0

x = – Error!
2x + 1 + (–1) = 0 + (–1)

2x = –1

2x  Error! = –1  Error!

3/ Résolutions algébriques
Parmi toutes les équations, certaines se résolvent en utilisant des techniques à savoir
a) Équation de degré 1
Pour résoudre une équation de degré 1 (c’est-à-dire sans x2, x3, sans
, sans dénominateur), on développe les
expressions et on utilise la règle  pour isoler l’inconnue dans un membre puis la règle  pour déterminer la
valeur de l’inconnue.
Exemple
(E) : 3(x + 2) = x – 4
S = {–5}
 3x + 6 = x – 4
 3x – x = –4 – 6
 2x = –10

x = Error! = –5
donc
b) Équations de degré supérieur ou égal à 2
Pour résoudre une équation de degré supérieur ou égal à 2, on utilise la règle  pour rassembler toutes les
expressions dans un seul membre, on factorise puis on utilise la règle : « Un produit de facteurs est nul si et
seulement si un des facteurs est nul. »
Exemple
(E) : x(x + 1) = 2x + 2  x(x + 1) – (2x + 2) = 0  x(x + 1) – 2(x + 1) = 0  (x + 1)(x – 2) = 0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul
donc (E)  x + 1 = 0 ou x – 2 = 0  x = –1 ou x = 2
donc S = {–1 ; 2}
c) Équation quotient
Pour résoudre une équation quotient (c’est-à-dire une équation dans laquelle l’inconnue apparaît au
dénominateur), on cherche les valeurs pour lesquelles les dénominateurs s’annulent et on résout l’équation dans
I; R privé des valeurs trouvées précédemment.
Exemple
(E) : Error! = Error! Les dénominateurs sont nuls lorsque x(x – 2) = 0 soit x = 0 ou x – 2 = 0 soit x = 0 ou
x=2
On résout donc l’équation (E) dans I; R–{0 ;2}.
On peut résoudre en mettant au même dénominateur ou en faisant un produit en croix.
(E) Error!= Error!  x(x – 3) = 2(x – 3) car x  0 et x-2  0
(E)  x(x – 3) – 2(x – 3) = 0  (x – 3)(x – 2) = 0  x – 3 = 0 ou x – 2 = 0  x = 3 ou x = 2
Une seule de ces solutions convient donc S = {3}.
5/ Problème conduisant à une équation
Pour résoudre un problème conduisant à une équation, il faut respecter les quatre étapes suivantes :
 Choix de l’inconnue
 Mise en équation
 Résolution de l’équation
 Conclusion
Exemple
ABCD est un carré de côté 20 cm. AMNP est un carré. Où placer le point M sur
segment [AB] pour que l’aire de la partie hachurée soit égale à 351 cm² ?
 Choix de l’inconnue
Soit x la longueur AM en cm.
A
P
M
B
le
N
(Ne pas oublier de préciser les unités)
D
C
 Mise en équation
L’aire de ABCD est 20  20 = 400 cm² et l’aire de AMNP est x2 donc l’aire de la partie hachurée est 400 – x2.
L’équation à résoudre est donc 400 – x2 = 351
 Résolution
400 – x2 = 351  400 – x2 – 351 = 0  49 – x2 = 0
0  x = 7 ou x = –7 donc S = {–7 ; 7}
 Conclusion
Seule la solution positive convient car AM est une longueur.
M doit donc être situé à 7 cm de A.
 (7 – x)(7 + x) = 0
 7 – x = 0 ou 7 + x =
VI) INEQUATIONS
1) Intervalles de I; R
a) Définition
a et b sont deux réels tels que a < b
L'intervalle fermé [a ; b] est l'ensemble des réels x tels que a  x  b
[
a
]
b
L'intervalle ouvert ]a ; b[ est l'ensemble des réels x tels que a < x < b
]
a
[
b
Ex: x  [1 ; 5[  1x<5
b) intervalles illimités
Considérons l'ensemble des réels x tels que x  1
Cet ensemble est illimité "à droite"
On le note [1 ; +[
"plus l'infini"
c) Dans , il y a donc équivalence entre les notations suivantes :
x  [1 ; 5[ 
 x < 10
x  ]0 ; 1[ 

 x  +

x0 
2) Règles de calcul
On peut transformer une inégalité en une inégalité équivalente
 en additionnant aux deux membres de l’égalité un même nombre.
 en multipliant les deux membres de l’égalité par un même nombre strictement positif.
On change le sens d’ une inégalité rn
(3) en multipliant les deux membres de l’inégalité par un même nombre strictement négatif.
Application :
Résoudre 2 x + 3 > 1  2x > 1 – 3  x > - Error!  x > -1 ; S = ] – 1 ; +  [
Résoudre x - 6  3 x + 2  x – 3 x  2 + 6  - 2x  8  x  Error!  x  -4 ; S = ] -  ; - 4 ]
p63 : 39, 46
p153 : 57 ; 58 ; 59
2) Signe d’une expression du 1er degré (ax + b avec a  0)
Activité : compléter les tableaux suivants :
Tableau de valeurs
x
-5
-2
0
Error!
2
0
Error!
2
5
-2x+3
Tableau de signes :
x
-
-2
+
-2x+3
a) Exemple : signe de −2 x + 3
On peut par exemple chercher lorsque l’expression est positive ce qui revient à résoudre : −2 x + 3  0 :
−2 x + 3  0  −2 x  −3  x  Error!
On a donc :
Le signe de −2 x + 3 : positif lorsque x  Error!
Le signe de −2 x + 3 : négatif lorsque x  Error!
Résumons dans un tableau de signe :
x
−
−2 x + 3
+
3/2
0
b) Propriété
Recherche du signe de a x + b :
a x + b > 0  a x > -b
deux cas:
si a > 0 : a x + b > 0  x > - Error!
si a < 0 : a x + b > 0  x < - Error!
On peut dresser deux tableaux de signes :
si a> 0 :
−
x
+
0
ax+b
+
−
- Error!
+
si a< 0 :
x
ax+b
−
+
- Error!
+
0
-
On peut regrouper en une fois :
A droite de − Error! l’expression ax + b est du signe de a. A gauche, l’expression est du signe contraire.
−
- Error!
x
+
signe de (-a)
0
ax+b
signe de a
Autre démonstration :
x  − Error! 22 a2 x  − ba  a2 x + ab  0  a (ax + b)  0  ax + b et a sont du même
signe.
3) Résoudre une inéquation
Exemple : Inéquation produit : ( x + 3 ) ( 2x – 4 )  0
x+3  0  x  -3
2 x – 4  0  2 x  -4  x  - 2
x
−
x+3
–
2x-4
+
( x + 3) ( 2 x – 4)
+
–3
0
0
2
–
+
–
0
0
+
+
–
–
La méthode commence comme celle des
équations :
a. on regroupe tous les membres dans
un membre
b. on factorise
c. Nouveauté : on fait un tableau de
signe :
1 : on cherche le signe des facteurs ( ou on utilise la
propriété ci-dessus )
2 : on place les valeurs qui annulent les facteurs
dans le tableau
3 : on complète ligne par ligne.
Solutions : S = ] -  ; - 3 ]  [ 2 ; +  [
On conclut
Exemple : inéquation quotient
RESOUDRE : Conditions :
Error!  x + 1
x+30  x–3
S'il y a des x au dénominateur,
Ne pas faire de produit en croix
Tout faire passer du même coté du ">"
 Error!  0
3) Faire un TABLEAU DE SIGNES
 Error!  0
4) Ne pas oublier les conditions initiales sur x
 Error!  0
p 154 : 75 ; 76
Tableau de signes :
x
− –3
x+1
–
1–x
+
x+3
– 0
Quotient
+
Bilan :
–1
– 0
+
+
– 0
1
+
+
+
+
0
0
+
+
–
+
–
S = ]− ; −3[  [−1 ; 1]
METHODE :
1) S'il y a des conditions sur x : les mettre en évidence
2) FACTORISER l'expression en produit ou quotient
de facteurs du 1er degré
Ne jamais simplifier par un facteur dont on ne
connaît pas le signe
(ici x + 1 peut être positif ou négatif)