Arithmétique

12 – Lois de probabilités
I – Eléments de combinatoire
Dans tout le paragraphe, E est un ensemble non vide contenant n éléments.
On prendra en exemple E =
.
1) Permutations – Arrangements - Combinaisons
Permutations
Une permutation de E est une liste des n éléments de E.
Exemple
sont deux permutations de E.
Propriété
Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments, autrement dit, le nombre de façon de ranger n
objets de toutes les manières possibles (en tenant donc compte de l’ordre) est : n×(n-1)×(n-2)×…×2×1.
Ce nombre est noté n ! et se lit « factorielle n ». Par convention : 0 ! = 1.
A justifier
Exemple
Le nombre de façons de ranger les 5 lettres a, b, c, d, e de toutes les façons possibles est 5 ! = 120.
Arrangements
Soit p un entier, tel que 0 p n.
Un arrangement, ou une liste sans répétition de p éléments de E est une liste de p éléments de E, deux à
deux distincts.
Exemple
(a ; d ; e) est une liste sans répétition de E, (a ; c ; c) n’en est pas une.
Propriété
Le nombre de listes sans répétitions de p éléments parmi n, ou d’arrangements de p éléments parmi
n, ou encore de façons de ranger p éléments parmi n de toutes les manières possibles est :
A justifier
Exemple
Le nombre de façons de ranger trois lettres de l’ensemble E est 5×4×3 = 60.
Cette situation correspond à des tirages successifs SANS remise de p objets, notés dans l’ordre, dans une
urne en contenant n.
Propriété
Le nombre de listes avec répétitions de p éléments parmi n est np.
A justifier
Cette situation correspond à des tirages successifs AVEC remise de p objets, notés dans l’ordre, dans une
urne en contenant n.
Combinaisons
Une combinaison de p éléments choisis parmi n est une partie contenant p éléments pris parmi les n
éléments de E. L’ordre n’a pas d’importance.
Exemple
(a ; d ; e) et (b ; c ; d) sont deux combinaisons de 3 éléments de E.
Les listes (a ; d ; e) et (d ; e ; a) correspondent à la même combinaison de 3 éléments de E.
Propriété
Pour tout entier n et tout entier p tel que 0
p
n:
Démonstration
Si l’on ordonne p éléments choisis parmi n de toutes les façons possibles, le nombre de ces rangements est :
A = n×(n-1)×(n-2)×…×(n-(p-1)).
Or, une combinaison de ces p éléments, donc non ordonnée, correspond à B = p ! rangements différents.
Le nombre de combinaisons possible est donc A÷B = n×(n-1)×(n-2)×…×(n-(p-1))÷p !.
La seconde formule s’obtient en multipliant numérateur et dénominateur par (n-p) !.
Exemple
Une urne contient 10 boules blanches et 15 rouges. On choisit simultanément 4 boules de l’urne.
a. Combien y-a-t-il de tirages possibles ?
b. Combien de tirages comportent deux boules blanches et deux boules rouges ?
Sol :
a. Le nombre de tirages possibles est le nombre de parties (ou de combinaisons) à 4 éléments parmi 25 :
A chacun des 45 choix de boules blanches, on peut associer l’un des 105 choix de boules rouges, ce qui
donne un total de 45×105 = 4725 tirages comportant deux boules blanches et deux boules rouges.
2) Propriétés des combinaisons
Propriétés
Soient n et p des entiers tels que p
n-1 :
Démonstrations
1. Il n’y a qu’une seule partie a 0 élément (partie vide) dans un ensemble à n éléments, et une seule partie à
n éléments dans un ensemble à n éléments (l’ensemble lui-même !).
2. et 3. Evident avec les formules.
4. A l’aide des formules, en réduisant au même dénominateur. Le faire !
Exemple
Triangle de Pascal
n\p
0
1
2
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
4
1
4
6
5
1
5
10
Par exemple :
3
4
5
1
4
10
1
5
1
Les formules 1., impliquent que les termes de la
diagonales et de la première colonne sont des 1. On
complète de proche en proche le reste du tableau à l’aide
de la formule 4..
3) Formule du binôme de Newton
Propriété
Pour tous réels a et b et tout entier naturel n, on a :
Démonstration
La propriété se démontre par récurrence et en utilisant la propriété 4. précédente. Le faire !
Exemple
Donner les développements de
,
,
,
.
II – Lois de probabilités
1) Loi de Bernoulli – Loi binomiale
Définitions
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire présentant deux issues, l’une appelée succès, avec
la probabilité p, l’autre échec, avec la probabilité q = 1-p.
La variable aléatoire X qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec est appelée variable de
Bernoulli, sa loi de probabilité est appelée loi de Bernoulli. Elle vérifie donc :
p(X = 1) = p et p(X = 0) = 1-p.
X
Probabilité
0
1-p
1
p
Propriétés
E(X) = p ; V(X) = p(1-p).
Définitions
La répétition, de façon indépendante, de n épreuves de Bernoulli est appelée expérience de Bernoulli
d’ordre n.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours des n expériences
s’appelle loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p).
Cette situation correspond à n tirages successifs AVEC remise ou encore à n choix dans une population
suffisamment importante.
Propriétés
Pour une telle loi :
(Ce qui correspond à la probabilité d’obtenir k succès au terme des n épreuves).
E(X) = p ; V(X) = p(1-p).
Démonstration
L’évènement (X = k) est réalisé lorsqu’on obtient k succès et donc (n-k) échecs pour les n expériences.
Les expériences étant indépendantes, la probabilité d’obtenir k succès est pk, celle d’obtenir (n-k) échecs
est qn-k, , et ceci quel que soit l’ordre d’apparition des succès. (Imaginer un arbre…)
Donc la probabilité d’obtenir k succès et (n-k) échecs dans un ordre donné est pkqn-k.
Le nombre de manière d’obtenir k succès au cours de n expériences est égal au nombre de combinaisons de
k éléments choisis parmi n, soit
D’où la formule demandée.
Les autres propriétés sont admises.
.
Exemples
Au jeu du Loto, on choisit 6 nombres parmi les entiers de 1 à 49.
a. Quelle est la probabilité de choisir les six bons numéros ?
b. Une personne joue chaque semaine pendant 10 ans : quelle est la probabilité de gagner au moins une
fois ?
Sol :
a. Le nombre de choix possibles de 6 nombres parmi 49 est
= … = 13 983 816 = A.
Une seule combinaison étant gagnante, la probabilité est p = 1/A, soit environ 7,15.10-8.
b. L’expérience est répétée 521 fois, de façon indépendante.
Si X désigne le nombre de succès au cours des 521 essais, la loi de X est la loi binomiale de paramètres n =
521 et p = 7,15.10-8.
P(X
1) = 1-P(X = 0) = 1-
p0(1-p)521 = 1-(1-7,15.10-8)521
3,7.10-5, soit 0,000037.
2) Loi uniforme discrète
Définition
On appelle loi uniforme discrète, ou encore loi équirépartie, toute loi d’une variable aléatoire X qui peut
prendre n valeurs x1, x2, …,xn, de telle sorte que la probabilité soit la même pour chacune de ces n valeurs :
P(X = x1) = P(X = x2) = … = P(X = xn) = 1/n.
3) Loi uniforme continue
Définition
Si la variable X peut prendre toutes les valeurs de l’intervalle [0 ; 1], on dit que cette variable aléatoire est
une variable aléatoire continue sur cet intervalle.
Si de plus, la probabilité de l’évènement (a X b) avec a et b compris entre 0 et 1 est égale à la
différence b-a, alors la loi de cette variable est la loi uniforme continue sur [0 ; 1].
Propriétés : Pour tout réel a de l’intervalle [0 ; 1] : a. P(X = a) = 0 ; b.
.
Exemple
Un autobus passe toute les heures à un arrêt donné. Une personne ne connaissant pas les horaires de
passage se présente à l’arrêt : son temps d’attente est une variable aléatoire T qui suit la loi uniforme
continue sur [0 ; 1].
La probabilité qu’elle attende exactement 15 minutes est égale à 0.
La probabilité qu’elle attente moins de 15 minutes est P(0 T 0,25) = 0,25.
4) Loi de durée de vie sans vieillissement
Définition
Soit T une variable aléatoire continue mesurant la
durée de vie d’un individu. On dit que T suit une
loi de durée de vie sans vieillissement si la
probabilité que l’individu soit en vie à l’instant t+h
(h positif), sachant qu’il est en vie à l’instant t, ne
dépend pas de t.
Propriétés
Soit T une variable aléatoire qui suit une loi de
durée de vie sans vieillissement, alors il existe un
réel λ 0 tel que, pour tout t de l’intervalle [0 ;
+∞[ : P(T t) = 1-e-λt.
Définition
Soit λ un réel strictement positif. La loi
exponentielle de paramètre λ est la loi suivie par
la variable aléatoire continue T telle que P(T t) =
1-e-λt.
Propriétés
Si la variable T suit une loi exponentielle de
paramètre λ, alors :
La fonction g telle que g(x) = λ e-λx est la fonction
densité de probabilité de la loi exponentielle de
paramètre λ.