Terminale S et S Lundi 27 Septembre 2010

Terminale S1 et S2
Lundi 27 Septembre 2010
CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES n°1 SUR LES COMPLEXES
EXERCICE 1
→
→
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, u , v ) , on considère les points A et B d’affixes respectives 2
et (−2) et on définit l’application f qui à tout point M d’affixe z et différent de A associe le point M′ d’affixe
z′ =
z ( z − 2)
.
z−2
1. a. Déterminer l’affixe du point P′ image par f du point P d’affixe (1+i).
b. Montrer que les droites (AP) et (BP′) sont parallèles.
c. Établir que les droites (AP) et (PP′) sont perpendiculaires.
2. Déterminer l’ensemble des points invariants par f (c’est-à-dire l’ensemble des points tels que M’=M).
On cherche à généraliser les propriétés 1.b et 1.c pour obtenir une construction de l’image M′ d’un point M
quelconque du plan.
3. a. Montrer que pour tout nombre complexe z, le nombre
z−2
est réel.
z−2
b. En déduire que pour tout nombre complexe distinct de 2,
z′ +2
est réel.
z −2
c. Montrer que les droites (AM) et (BM′) sont parallèles.
4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera prise en compte dans
l’évaluation.
Soit M un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question 1.c.
5. Soit M un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point M′ image de M
par f. Réaliser une figure pour le point Q d’affixe 3−2i.
EXERCICE 2
→
→
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u , v )
Partie A - Restitution organisée de connaissances
Prérequis
Soit z un nombre complexe tel que z = a +bi où a et b sont deux nombre réels.
On note z , le nombre complexe défini par
Questions
z = a −bi.
1. Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z′,
z × z' = z × z' .
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, et tout nombre complexe z,
()
n
zn = z .
Partie B
On considère l’équation (E) : z4= −4 où z est un nombre complexe.
1. Montrer que si le nombre complexe z est solution de l’équation (E) alors les nombres complexes −z et
sont aussi solutions de l’équation (E).
2. On considère le nombre complexe z0 = 1+i.
a. Écrire le nombre complexe z0 sous forme exponentielle.
b. Vérifier que z0 est solution de l’équation (E).
3. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l’équation (E).
Partie C
Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives :
zA = 1+i ; zB = −1+i ; zC = −1−i et zD = 1−i.
π
Soit r la rotation du plan de centre C et d’angle de mesure − .
3
On appelle E l’image du point B par r et F celle du point D par r.
1. Déterminer l’écriture complexe de la rotation r.
2. a. Démontrer que l’affixe du point E, notée zE, est égale à −1+ 3
b. Déterminer l’affixe zF du point F.
z −zE
est un nombre réel.
c. Démontrer que le quotient A
zA −zF
d. Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ?
z