Section 2.3 : Vecteurs et scalaires II 2.3.1

SECTION 2.3 : VECTEURS ET SCALAIRES II
2.3.1 - Addition de grandeurs vectorielles
A. Par la méthode graphique :
Tracer les vecteurs un au bout de l’autre (la queue du 2e à la tête du 1e,
la queue du 3e à la tête du 2e, etc.). La résultante (somme) est le
vecteur du commencement (queue) du 1e à la fin (tête) du dernier.
À noter : L’addition vectorielle est commutative (A + B = B + A).
Exemple : Quel est le déplacement net résultant des deux
déplacements successifs suivants :
∆d1 = 35,0 km [N 28,0° O] ou 35,0 km à 28,0 à l’ouest du nord
∆d2 = 18,0 km [S 63,0° O] ou 18,0 km à 63,0 à l’ouest du sud
B. Par la méthode des composantes:
 Implique les connaissances mathématiques suivantes :
a) Théorème de Pythagore où a2 + b2 = c2
b) Les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et
tangente.

Connaissant (a) et (b) ci-dessus, tu peux maintenant faire
l’addition de grandeurs vectorielles non parallèles ou
perpendiculaires. Voici les étapes à suivre dans la méthode des
composantes :
a) Remplacer chaque grandeur vectorielle par ses
composantes dans la direction des points cardinaux.
Utiliser les fonctions trigonométriques.
b) Trouver la résultante N-S et la résultante E-O en
additionnant toutes les composantes correspondant à
chacune de ces directions.
c) Trouver la résultante de ces deux sommes. Utiliser les
fonctions trigonométriques et le théorème de
Pythagore.
Exemple : Utilise l’exemple de la partie A ci-dessus pour trouver la
résultante par la méthode des composantes.
Exercices :
1. Indique pour chaque diagramme vectoriel ci-dessous si l’équation A + B = C le
représente correctement (un oui ou un non).
2. Considère les deux déplacements suivants : un premier déplacement de 4,0 m et
un second déplacement de 3,0 m. Cependant, on n’en connaît pas la direction de
ces deux déplacements. De quelle façon peut-on combiner ces deux déplacements
de sorte que :
a) le déplacement net soit 1,0 m? Dans quelle direction sera le déplacement net?
Accompagne ta réponse d’un diagramme.
b) le déplacement net soit 7,0 m? Dans quelle direction sera le déplacement net?
Accompagne ta réponse d’un diagramme.
c) le déplacement net soit 5,0 m? Dans quelle direction sera le déplacement net?
Accompagne ta réponse d’un diagramme.
3. Utilisant la méthode graphique (avec échelle appropriée), réalise les opérations
indiquées pour chacun des cas suivants:
a) A = B + C
où B = + 45 N et C = - 25 N
b) FR = F1 + F2
où F1 = 250 N [N] et F2 = 400 N [O]
c) MP = MN + NP où MN = 35 km [N 25 O] et NP = 15 km [S 50 O]
d) FR = F1 + F2
où F1 = 3000 N [N 67 E] et F2 = 4000 N [S 23 O]
Utilise la méthode des composantes pour le reste des problèmes ci-dessous à
moins que ça soit indiqué autrement.
4. Un bateau navigue en ligne droite sur une distance de 20,0 km [N 30,0 E].
Quelles sont les composantes est et nord de son déplacement?
5. Une boîte est tirée par deux forces dont les valeurs sont 600 N [S] et 750 N [E].
Quelle est la force nette agissant sur la boîte?
6. Un canon tire un boulet à une vitesse de 100 m/s et selon un angle de 20,0
au-dessus de l’horizontal. Quelles sont les composantes horizontale et verticale de
la vitesse initiale du boulet de canon?
7. Un avion dont le vol décrit un trajet triangulaire parcourt 150 km [N], puis
400 km [E].
a) Quel est son déplacement net après ces deux étapes?
b) Quel troisième déplacement permettrait de compléter le retour au point de
départ?
8. Une jeune fille traverse une piscine à la nage selon un angle de 30,0 par rapport à
la longueur de la piscine. Sa vitesse est de 3,0 m/s. Quelles sont les composantes
du vecteur vitesse dans chacune des directions suivantes?
a) largeur de la piscine;
b) longueur de la piscine.
9. Une personne effectue le trajet suivant : de son point de départ, elle parcourt 5,0
km vers le nord, 3,0 km vers l’est, 7,0 km vers le sud, 6,0 km vers l’ouest et enfin
2,0 km vers le sud. Quel est son déplacement net?
10. a) Quel est le déplacement net d’un voyage de 50 km [O] suivi d’un voyage de
100 km [N 30,0 E]?
b) Quel est le déplacement net d’un voyage de 100 km [N 30,0 E] suivi d’un
voyage de 50 km [O]?
c) Qu’est-ce qu’on en retient lorsqu’on compare la réponse de (b) avec celle de
(a)?
11. Après avoir dérivé pendant 20 km [S 60 E], on actionne les moteurs d’une
montgolfière et l’appareil vole 20 km [S 60 O]. Quel est son déplacement net?
12. Un joueur de golfe débutant effectue quatre coups roulés. Au premier coup, il
déplace la balle 15,0 m [E], au second 8,0 m [S 30 E], au troisième, 6,0 m [E] et
enfin au dernier coup, 2,0 m [ N 60 O].
a) Quelle est la distance totale parcourue par la balle?
b) Quel déplacement aurait permis à la balle d’entrer dans le trou dès le premier
coup? Trouve ta réponse (i) par la méthode graphique et (ii) par la méthode
des composantes.
13. Quelle est la force nette agissant sur un objet dont les trois forces suivantes sont
appliquées : F1 = 50,0 N [N 25,0° E]
F2 = 70,0 N [S 80,0° E]
F3 = 40,0 N [O]
14. Quel est le déplacement net d’un cycliste roulant 35,6 km [N 38,0° O] et
23,4 km [S 64,0° E]?
15. Miklos Nemeth, en courant horizontalement à une vitesse de 6,0m/s, projette le
javelot avec un angle de 54° par rapport à l’horizontale en lui fournissant une
accélération de 220 m/s2 durant 0,12 s. Le javelot quitte la main de Nemeth avec
la vitesse combinée des deux mouvements. Calcule cette dernière.
2.3.2 - Multiplication d’une grandeur vectorielle par une
constante ou une grandeur scalaire
Le vecteur kA est un vecteur k fois aussi long que A et dans le même sens
que A si k est + et dans le sens opposé si k est -. On suit les mêmes règles
pour la division.
Le vecteur kA peut avoir des unités différentes de A si k est une grandeur
scalaire ayant des unités. Exemple : v = ∆d/∆t où k = 1/∆t.
Exemple :
∆d1 = 30,0 km [N 25,0° O] et ∆d2 = 10,0 km [S 48,0° O].
Représente graphiquement 0,5∆d1 - 2∆d2.
Exercices :
1. Le vecteur B figure ci-dessous. Représente les vecteurs suivants, à la
même échelle.
a) 2 B
b) ½ B
c) –3 B
2. Une voiture roule à 20,0 m/s [N 35,0 E] pendant 3,0 s. Représente
graphiquement son vecteur vitesse. Puis, en te servant de la
multiplication, trace le vecteur représentant le déplacement de la
voiture pendant l’intervalle de temps considéré.
3. Complète les opérations suivantes te servant de la méthode graphique.
FA, FB et FC sont des grandeurs vectorielles représentées par les
vecteurs ci-dessous.
Échelle : 1 cm = 5,0 N
a) FA + 2FB – FC
b) FA – 0,5FB – 2,0FC
2.3.3 - Soustraction de grandeurs vectorielles
Quand a-t-on besoin de faire la soustraction de grandeurs vectorielles?
Réponse : Quand il y a variation dans une grandeur vectorielle.
Variation de ta grandeur vectorielle = (Valeur finale de ta grandeur
vectorielle) – (Valeur initiale de ta grandeur vectorielle)
Exemples :
a) Calcul du déplacement où les positions initiale et finale sont données.
∆d = df – di
b) Variation du vecteur vitesse
∆v = vf – vi
Exemple :
Une voiture se déplaçant à 15,0 m/s [N] exécute un virage progressif,
pour atteindre la vitesse de 18,0 m/s [E]. Quelle est la variation du
vecteur vitesse, v, subie par la voiture?
Exercices :
1. Dans chacun des cas suivants, recopie les vecteurs dans ton cahier du
mieux que tu le peux et réalise l’opération vectorielle indiquée pour
trouver soit la somme vectorielle ou la différence vectorielle.
2. Un joueur de champ gauche se trouve à 80,0 m [N] du marbre.
Lorsqu’une balle est frappée en chandelle, il estime qu’il peut
l’attraper quand elle effectue un déplacement de 90,0 m [N 20,0 E]
par rapport au marbre. Quel déplacement doit-il effectuer afin de
pouvoir attraper la balle?
3. La vitesse vectorielle d’un avion varie de 200 km/h [N] à 300 km/h
[N 30,0 O]. Trouve la variation de la vitesse vectorielle, v.
2.3.4 - Mouvement relatif
Tu parleras de mouvement relatif lorsque le mouvement d’un objet peut se
donner par rapport à deux systèmes de référence. Par exemple, la vitesse
vectorielle d’un bateau sur l’eau pourrait se donner relatif à l’eau dans la
rivière ou relatif au sol sur la rive. On pourrait te demander de trouver un des
trois suivants étant donné les deux autres : la vitesse vectorielle du bateau
relatif à l’eau, la vitesse vectorielle de l’eau relatif au sol et la vitesse
vectorielle du bateau relatif au sol.
L’équation générale que tu utiliseras pour résoudre un tel problème est :
vac = vab + vbc
qui se lit « la vitesse vectorielle de a par rapport à c égale la vitesse
vectorielle de a par rapport à b + la vitesse vectorielle de b par rapport à c. »
Pour l’exemple ci-dessus, si on donne les symboles suivants : bateau-b,
eau-e et sol-s, on écrira comme équation :
vbs = vbe + ves
qui se lira « la vitesse vectorielle du bateau par rapport au sol égale la vitesse
vectorielle du bateau par rapport à l’eau + la vitesse vectorielle de l’eau par
rapport au sol. »
Exemple :
Un avion dont la vitesse est de 180 m/s par rapport à l’air à le cap à [S 30,0 O]. Le vent
souffle à 40,0 m/s [S 45,0 E]. Calcule la vitesse vectorielle de l’avion par rapport au sol.
Exercices :
1. Lucie aime faire du canot. Sur certaines rivières du nord, elle rencontre des
courants avec des vitesses vectorielles différentes. Si elle pagaye à 4,00 m/s [N]
par rapport à l’eau, détermine sa vitesse vectorielle par rapport à la Terre dans le
cas de chaque rivière. La vitesse vectorielle des courants est la suivante :
a) 6,00 m/s [S]
b) 1,50 m/s [N 45 E]
2. Pour se rendre au lac Scugog par ce fastidique jour de brouillard, Andrée et
Bernard avaient conduit leur voiture sport sur deux routes sinueuses. Détermine la
vitesse vectorielle de Bernard par rapport à celle d’Andrée si les vitesses
vectorielles des deux par rapport à la Terre sont : Andrée, 30,0 m/s [N], Bernard,
15,0 m/s [N 60,0 E].
3. Un avion a une vitesse vectorielle de 95,0 m/s [S] par rapport à l’air et une vitesse
vectorielle de110 m/s [N 30.0 O] par rapport au sol. Calcule la vitesse vectorielle
du vent.
Résultats d’apprentissage :
Après avoir complété cette section, tu devrais pouvoir :
1. Additionner et soustraire des grandeurs vectorielles par la méthode graphique. (1)
2. Décomposer des grandeurs vectorielles en leurs composantes orthogonales sur des
axes choisis. (2)
3. Interpréter la signification physique des composantes de grandeurs vectorielles.
(2)
4. Additionner deux grandeurs vectorielles ou plus utilisant la méthode des
composantes. (2)
5. Tracer la grandeur vectorielle obtenue en multipliant ou en divisant une grandeur
vectorielle par un facteur. (1)
6. Expliquer la signification d’une nouvelle grandeur vectorielle obtenue en
multipliant ou en divisant une grandeur vectorielle par une grandeur scalaire. (2)
7. Résoudre des problèmes impliquant la nature vectorielle de grandeurs physiques
que l’on rencontrera pendant le reste du cours. (3)
8. Calculer le vecteur vitesse relatif d’un objet dans un certain système de référence
étant donné le vecteur vitesse de l’objet dans un autre système de référence et le
vecteur vitesse relatif des deux systèmes de référence. (2)