Navette spatiale. Mise sur orbite d`un satellite. ( Extraits Mines

Navette spatiale. Mise sur orbite d'un satellite. ( Extraits Mines-Ponts 97 ).
Le repérage de la position d’un mobile (navire ou aéronef en vol) relativement à des repères fixes utilise
et utilisera de façon croissante des satellites de radiopositionnement, comme ceux du système GPS
(Global Positioning System) élaboré par la NASA. On étudie quelques aspects de la mécanique des
lancements de ces satellites, depuis le véhicule que constitue la navette spatiale. Le lancer d'un satellite
depuis cette navette se fait en trois étapes successives: la navette est d'abord mise en orbite circulaire, au
moyen de fusées auxiliaires; à partir de cette orbite circulaire, la navette éjecte le satellite qui gagne
progressivement une altitude plus élevée; enfin, une fois parvenu à son altitude définitive, le satellite s'y
stabilise au moyen d'un dispositif de freinage.
Dans l'ensemble de cette partie, la Terre est assimilée à un astre à symétrie sphérique, de rayon R de
centre C fixe à l'origine 0 des coordonnées d'un référentiel galiléen (G). On appelle go l'accélération de la
pesanteur au niveau du sol, et T la période de révolution propre de la Terre autour de l'axe des pôles. La
navette spatiale et le satellite qu’elle emporte sont assimilés à deux points matériels notés respectivement
A et P.
Pour les applications numériques, on prendra R = 6 400 km, go = 9,80 m.s-2 et T = 86 164 s.
A. Lancement de la navette spatiale.
La navette spatiale et son satellite sont solidaires. Avec l'équipage et la charge utile, l'ensemble est
assimilé à un point matériel unique de masse M. Le tout est en orbite circulaire d'altitude h et de rayon
r = R + h.
1. Déterminer, dans (G) et en fonction des constantes M, R et go, la vitesse v(r), la vitesse
angulaire o(r) et l'énergie mécanique E(r) de l'ensemble.
2. Application numérique : déterminer l'altitude H qu'il faut atteindre pour obtenir la période de
rotation de 12 heures, qui est celle des satellites du système GPS.
Avant le lancement, la fusée était placée sur un pas de tir situé à la latitude  (la latitude  d'un point P de
la surface de la Terre est l'angle formé par le segment CP avec sa projection sur le plan équatorial).
3.
4.
5.
Déterminer la variation d'énergie mécanique entre le lancement (avant la mise en route des
fusées) et l'arrivée sur orbite circulaire, en fonction de r, R, M, go,  et T.
Commenter le choix de  permettant, avec des moteurs donnés, la mise en orbite la plus
favorable possible.
Application numérique : l'orbite à atteindre est située à l'altitude de 300 km. Calculer
l'économie d'énergie réalisée par unité de masse du système lancé, lors du passage du pas de tir
d'Edwards (Californie, 1 = 34°50’ N) à celui de Cape Canaveral (Floride, 2 = 28°30’ N). A
titre documentaire, un gramme d'essence fournit, typiquement, 40 kJ dans un moteur à
explosion.
B. Le satellite dans la soute de la navette; lancement.
La navette spatiale ayant atteint l'orbite décrite en A (circulaire de rayon r, parcourue à la vitesse
uniforme v(r) ), le satellite qu’elle contient dans la soute est alors libéré de ses fixations afin de le
préparer au lancement. On dit alors que le satellite est en impesanteur dans la soute.
L'ensemble de l'étude est réalisé dans le référentiel (N), lié à la navette et qui tourne avec elle autour de la
Terre par rapport à (G). On appelle A le centre de ce référentiel, confondu alors avec le centre de masse
de la navette spatiale. On utilisera dans ce référentiel les axes liés à la base orthonormée (er, e, ez), où
er est radial et e colinéaire à la trajectoire circulaire de la navette. Enfin, le satellite sera assimilé à un
point matériel P de masse m repéré par AP = x er + y e + z ez ou par CP = r er + AP.
6.
Quelles sont les forces qui s'exercent, dans (N), sur le point matériel P?
On donnera leurs expressions vectorielles respectives en fonction de m, go, r, ez, CP, R, T et
de la vitesse v’ de P relative au référentiel (N).
7. Montrer que ces forces, soit ne travaillent pas dans (N), soit y dérivent d'une énergie potentielle
Ep dont on donnera l'expression en fonction de m, go, R, r, CP = CPet z seulement.
8. Le calcul au premier ordre significatif du développement autour de A montre que cette énergie
potentielle se met sous la forme approchée ci-après :
mo2
te
E p (x , y, z)  C 
(3 x 2  z 2 )
2
Retrouver l’expression de o en fonction de go, R, r et cela en considérant un point de l’axe Az.
9. Etablir les équations du mouvement de P dans (N) en utilisant la relation fondamentale de la
dynamique et l’expression de Ep donnée à la question 8.
Etablir l'analogie électromagnétique formelle possible à ce stade, en précisant ce qui
correspond respectivement aux champs E et B.
Que peut-on dire de la stabilité de la (ou des) position(s) d’équilibre de la fusée.
DS6. 97/98.