Dénombrements

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Dénombrements
Chapitre 1
Des ensembles particuliers d’entiers
Le nombre d’éléments d’un ensemble fini (5 minutes) ........................................ 2
Le nombre d’éléments d’un intervalle d’entiers (3 minutes) ................................ 3
Exemples d’intervalles d’entiers (3 minutes) ........................................................ 4
Exercices de « prise en main » 1, 2, 3, 4(6 minutes)............................................. 5
La somme des n premiers entiers naturels (3 minutes) ......................................... 6
La somme des entiers d’un intervalle (3 minutes) ................................................ 7
Exercices de « prise en mains » 5, 6, 7(10 minutes) ............................................. 8
Solution des exercices 6 et 7(10 minutes) ............................................................. 9
Solution des exercices 6 et 7(10 minutes) ............................................................. 9
Amusement (3 minutes) ...................................................................................... 10
Somme quadratique des entiers d’un intervalle (6 minutes) .............................. 11
L’ensemble des diviseurs (6 minutes) ................................................................. 12
Nombres Premiers (4 minutes) ............................................................................ 13
Règle pour vérifier qu’un nombre est premier (4 minutes) ................................ 14
Tout le monde connaît cela !
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Le nombre d’éléments d’un ensemble fini (5 minutes)
On considère que l’on sait ce que veut dire « E est un ensemble fini » et « n est
le nombre des éléments de l’ensemble fini E ».
Le nombre d’éléments d’un ensemble E fini est un entier naturel souvent
noté E .
N désigne l’ensemble des entiers naturels: N   0 ;1; 2; 3..... .
N* désigne l’ensemble des entiers naturels non nuls : N*  1; 2; 3;.......  .
Z désigne l’ensemble des entiers naturels : Z  ...  3;  2;  1; 0; 1; 2; 3;.... .
Z, N* et N ne sont pas des ensembles finis.
Si E est vide alors E  0 et si E n’est pas vide alors E  0 .
Parfois on sait que E est un ensemble fini mais on ne connaît pas la valeur de
l’entier E .
Parfois on sait que E est un ensemble fini mais on ne connaît qu’une valeur
approximative de l’entier E . Si cette valeur approximative est m : E  m.
Exemple
La masse d’un électron est 0,83  10 30 kg . La masse moyenne d’une étoile est
évaluée à 2  1030 kg . Une galaxie contient à peu près 200 milliards d’étoiles et
l’Univers contient à peu près 3  1012 galaxies.
Soit E l’ensemble des électrons de l’Univers : E  1084.
Exercice rapide
1) Vérifier que l’Univers contient à peu près 1084 électrons.
2) Convertir 15 milliards d’années en secondes (donner le résultat sous la forme
p  10 n ) .
3) La vitesse de la lumière est 300000 km par seconde ; quel est le nombre de
calculs effectués par un ordinateur cadencé à 1GHz pendant que la lumière
parcourt 6 mètres ?
3
Le nombre d’éléments d’un intervalle d’entiers (3 minutes)
Notation
Si a  Z et a  Z : a ; b  désigne l’ensemble des entiers relatifs u tels que
a  u  b.
Si a  b alors a; b est vide :si a  b alors : a; b  0 .
Si a  b alors a; b n’est pas vide :si a  b alors : a; b  0 .
Vocabulaire
On dit souvent : « a; b est un intervalle d’entiers ».
Remarque
La notation  a; b  désigne l’ensemble de tous les nombres réels x tels que
axb
Ainsi : 2 ; 4  n’est constitué que des 3 entiers 2, 3 et 4 alors que  2; 4  est
constitué d’un nombre infini d’éléments par exemple  appartient à cet
ensemble.
Notation plus visible mais peu rigoureuse
a; b a,......b a; b  a ; a  1;......;a  1; b etc...
Le nombre d’éléments d’un intervalle d’entiers
Propriété (à ne jamais oublier)
Si a  b alors :
a; b
 b  a 1
Ne jamais oublier  1
a; b  a; a  1;.....;b  1; b 
L’ensemble  a; a  1;.....;b  1; b  contient b  a  1 nombres.
L’ensemble  a; a  1;.....;a  p  1; a  p  contient p  1 nombres.
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Exemples d’intervalles d’entiers (3 minutes)
L’ensemble n; n   n contient n  n  1  1 nombre.
L’ensemble n  1; n   n  1; n contient n  (n  1)  1  2 nombres.
L’ensemble 0;9  0;1;.......9 contient 10 nombres.
L’ensemble 0; n   0;1;.......;n contient n  1 nombres si n  N.
L’ensemble 53;147   53; 54;.......;146;147 contient 147  53  1 nombres.
L’ensemble  53;147    53;  52;...;146;147contient 147  53  1 nombres.
La construction d’un intervalle d’entiers avec un nombre prévu d’éléments
On connaît l’entier n, quel doit être la valeur de l’entier a pour que le nombre
d’éléments de l’ensemble des entiers a; a  1;......; n soit p (avec p  0 ) ?
Réponse n  a  1  p donc :a  n  p  1.
Le nombre d’éléments de l’intervalle d’entiers n  p  1; n  p  2;......; n est p.
n  p  1; n   p (Avec p  0 )
Exemples
Si p  0 on trouve bien n  1; n   0. Si p  1 on trouve bien n; n   1.
Si p  2 : n  1; n   2. Si p  3: n  1; n   n  2; n  1; n  3
Exercice rapide
Quel doit être l’entier a pour que l’intervalle d’entiers  a; ......;5 soit composé
de 10000 nombres ?
Réponse
a  9994 :   9994 ;  9993;  9992;.......;4; 5  est composé de 10000 entiers .
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Exercices de « prise en main » 1, 2, 3, 4(6 minutes)
Exercice 1
1) Quel est le nombre d’entiers i qui vérifient  100  i  100 ?
2) Quel est le nombre d’entiers j qui vérifient  100  j  100 ?
3) Quel est le nombre d’entiers k qui vérifient  100  j  100 ?
4) Quel est le nombre d’entiers s qui vérifient  100  s  100 ?
Réponses (à vérifier)
1)201 2)200 3)200 4)199
Exercice 2 a  N*
1) Quel est le nombre d’entiers i qui vérifient  a  i  a ?
2) Quel est le nombre d’entiers j qui vérifient  a  j  a ?
3) Quel est le nombre d’entiers k qui vérifient  a  j  a ?
4) Quel est le nombre d’entiers s qui vérifient  a  s  a ?
Réponses (à vérifier)
1) 2a  1 2) 2a 3) 2a 4) 2a  1
Exercice 3
1) Donner en fonction des entiers N et k  N le nombre de facteurs du produit
N( N  1)( N  2).......(N  k  1).
2) Comment note-on ce produit si k  N ?
3) Donner en fonction des entiers N et k  N  1le nombre de facteurs du produit
( N  1)( N  2)( N  3)...(N  k  1).
4) Donner en fonction des entiers N et k  N  1le nombre de facteurs du produit
( N  1)( N  2)( N  3)...(N  k).
Réponses (à vérifier)
1) N  k  1; N  k 2) N! 3) k  1 4) k
Exercice 4
Pour n  1Combien existe-t-il de nombre non nuls à n chiffres (écrits dans le
système décimal) ?
Appliquer le résultat à n  1.
Réponses (à vérifier)
10 n  10 n 1 (101  100  9  1;2;3;4;5;6;7;8;9)
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La somme des n premiers entiers naturels (3 minutes)
Propriété
Si n est un entier tel que n  1 alors :
in
n (n  1)
i 2
i 1
1  ......  n 
n (n  1)
2
Cette propriété se démontre par récurrence :
1 2
.
2
Si la propriété est vraie pour n elle est encore vraie pour n  1 , en effet :
(n  1)(n  2)
1  ......  n  n  1 
est vrai puisque :
2
La propriété est vraie pour n  1 car 1 
n(n  1)
est vrai alors :
2
n(n  1)
n(n  1)  2(n  1) (n  1)(n  2)
1  ......  n  n  1 
 n 1

2
2
2
en sup posant que 1  ......  n 
Exercice rapide
10000
Calculer rapidement  i  1  2  3  ...........  9999  10000
1
Réponse (à vérifier) 50005000
7
La somme des entiers d’un intervalle (3 minutes)
Propriété
Si a et b sont des entiers tels que 1  a  b
ib
(b  a  1)  (a  b)
i 
2
i a
Constatation b  a  1 est le nombre d’entiers à additionner.
(b  a  1)  (a  b)
a  .......... b 
2
Preuve (si nécessaire)
ib
b(b  1) (a  1)a
 i  a  .....  b  1  ......a  1  a  ......  b  (1  ......  a  1)  2  2
i a
b 2  a 2  b  a (b  a )( b  a )  b  a (b  a  1)( b  a )



2
2
2
Somme d’entiers consécutifs 
ib
i 
i a
nombre d' entiers  (premier  dernier )
2
a ; b
 (a  b )
2
Exercice rapide
Donner la valeur de 1000  1001  1002  ......  10000
Réponse (à vérifier) : 49505500
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Exercices de « prise en mains » 5, 6, 7(10 minutes)
Exercice 5
1) Donner la somme de tous les nombres impairs x tels que x  1000.
2) Donner la somme de tous les nombres pairs y tels que y  1000.
Réponses
1) 250000 2) 250500
Exercice 6
On a fixé un entier p ( p  1 ).
1) Donner la somme de tous les nombres impairs x tels que x  2p.
2) Donner la somme de tous les nombres pairs y tels que y  2p.
Donner la différence entre ces deux résultats.
Réponses 1) p 2 2) p 2  p
Voir la solution au chapitre suivant.
Exercice 7
1) Donner la somme de tous les nombres impairs x tels que x  2p+1.
2) Donner la somme de tous les nombres pairs y tels que y  2p+1.
Réponses
1) p 2  2p  1 2) p 2  p
Voir la solution au chapitre suivant.
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Solution des exercices 6 et 7(10 minutes)
Exercice 6
On a fixé un entier p ( p  1 ).
1) Donner la somme de tous les nombres impairs x tels que x  2p.
2) Donner la somme de tous les nombres pairs y tels que y  2p.
Donner la différence entre ces deux résultats.
Solution
1) Les nombres impairs x qui vérifient x  2p sont ceux qui vérifient x  2p  1
Ils sont de la forme :
2k  1 avec1  2k  1  2p  1 soit 2k  2p  2 et 0  k  p  1.
La somme cherchée s’écrit :
k  p 1
p 1
(p  1)p
 (2k  1)  2  k  p  2 2  p  p 2
k 0
k 1
La somme de tous les nombres impairs x tels que x  2p est p 2 .
2) Les nombres pairs y tels que y  2p sont de la forme
2k avec 1  k  p.
La somme cherchée s’écrit :
k p
p
p(p  1)
 2k  2  k  2 2  p 2  p
k 1
k 1
(2p)(2p  1)
Remarque On obtient bien p 2  p 2  p 
.
2
La somme de tous les nombres pairs y tels que y  2p est p 2  p.
La différence entre la somme des nombres pairs et la somme des nombres
impairs qui sont inférieurs ou égaux à 2p est p.
Exercice 7
1) Donner la somme de tous les nombres impairs x tels que x  2p+1.
2) Donner la somme de tous les nombres pairs y tels que y  2p+1.
Solution
1) la somme de tous les nombre impairs x tels que x  2p+1 est la somme de tous
les nombre impairs x tels que x  2p augmentée de 2p+1 donc elle est :
p 2  2p  1 (p  1) 2 .
2) la somme de tous les nombre pairs y tels que y  2p+1 est la somme de tous
les nombre pairs y tels que y  2p donc elle est :
p2  p.
p 2  2p  1  (p 2  p)  p  1.
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Amusement (3 minutes)
somme des p premiers nombres impairs  p
1 1
1 3  2
1 3  5  3
1 3  5  7  4
1  3  5  7  9  5
(somme des p premiers nombres pairs )  p  p
2 1 1
242 2
2463 3
2  4  6  8  10  5  5
p2
La valeur moyenne des p premiers nombres impairs est p 
.
p
p2  p
La valeur moyenne des p premiers nombres impairs est p  1 
.
p
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Somme quadratique des entiers d’un intervalle (6 minutes)
in
 i2 
i 1
n (n  1)(2n  1)
6
Preuve par récurrence
Cette formule est vraie pour n=1 :
1 2  3
12 
6
n 1
(n  1)(n  2)(2n  3)
parce que :
Si la formule est vraie pour n alors  i 2 
6
i 1
n 1
n (n  1)(2n  1)
(n  1)( n  2)(2n  3)
 (n  1) 2 
après simplficat ion.
 i2 
6
6
i 1
Exercice intéressant
b
Donner une formule donnant
i2
a
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L’ensemble des diviseurs (6 minutes)
Rappel
 Si n est un entier tel que n  1 et b un entier tel que 1  b  n qui vérifie :
n  b  q pour un entier q , alors b est un diviseur de n.
 Si n est un entier tel que n  1 div (n ) désigne l’ensemble de ses diviseurs.
div (n ) est un ensemble fini et div (n )  n .
Ainsi : div (9)  1; 3; 9  ; div (7)  1;7 ; div 2  1; 2  ; div (1)  1 .
 1 est toujours un élément de div(n) , n est toujours un élément de div(n).
 Si n est un entier tel que n  1 : div(n)  1.
 Si b div(n) alors 1  b  n :div (n )  1; n .
Remarque
Si a  0 et b  0 (b  0) si il existe un couple unique (q; r ) d’entiers tels que
a  bq  r avec 0  r  b (r est le reste de la division de a par b, q est le quotient)
 Lorsque r  0 alors b  div(a ) .
 Si a  b alors q  0 et r  a : a  b  0  a .
Exemple
Le reste de la division de n par 10 est un élément de 1;2;3;4;5;6;7;8;9
Si x et y sont des entiers naturels non nuls l’ensemble div ( x)  div ( y) est
l’ensemble de leurs diviseurs communs.
L’ensemble div ( x)  div ( y) n’est jamais vide puisque 1 div( x)  div ( y) .
Définition
Lorsque div ( x )  div ( y)  1  les nombres x et y sont dits premiers entre eux.
Lorsque x et y sont premiers entre eux « 1 » est le seul nombre qui divise à la
fois x et y.
Exemples
15 et 14 sont premiers entre eux :
div (15)  1; 3; 5;15 div (14)  1; 2; 7;14 div (15)  div (14)  1 
15 et 18 ne sont pas premiers entre eux :
div (15)  1; 3; 5;15 div (18)  1; 2; 3; 6; 9;18 div (15)  div (18)  1;3 
Remarque
Si x divise a et si a divise n alors x divise n donc :
si a  div(n) alors :div(a )  div(n) .
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Nombres Premiers (4 minutes)
Un entier p tel que p  1 et div(p)  2 est appelé « Nombre Premier ».
Comme div(1)  1, 1 n’est pas un nombre premier.
div (2)  1; 2: div (2)  2: 2 est un nombre premier .
2 est le plus petit nombre premier (et c’est le seul nombre premier qui est pair).
Si n est pair et n  2 , il n’est pas premier (car div (n ) contient déjà les trois
nombres distincts 1; 2; n : div(n )  3 ).
Remarque
Si n  1 alors div (n)  2 puisque 1 div (n ) et n  div (n ) avec n  1.
Un nombre premier est un entier p tel que p  1 et div (p) est minimum pour
les nombres différents de 1 (puisque div (p)  2 ).
Le résultat connu de tous
Si n est un entier supérieur à 1 ( 1) il possède une unique factorisation en
facteurs premiers :
k
k
k
n  p1 1  p 2 2  ..... p r r où p1, p 2 ,...,p r sont des nombres premiers .
Exercice rapide (si nécessaire)
Ecrire la factorisation en facteurs premiers de 48.
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Règle pour vérifier qu’un nombre est premier (4 minutes)
A l’aide d’une calculatrice
Il faut vérifier qu’aucun des nombres inférieurs à p n’est un diviseur de p.
D’abord on ne s’intéresse qu’aux entiers p impairs supérieurs à 2 (on sait que 2
est premier ; un nombre pair distinct de 2 n’est pas premier).
Un nombre en écriture décimal est impair si son dernier chiffre est impair.
On élimine aussi les nombres qui se terminent par 0 ou par 5(divisibles par 5)
On calcule p si ce nombre est un entier p n’est pas premier car p  p  p .
Sinon on doit vérifier que tout entier b tel que 2  b  p ne divise pas p.
Il suffit de vérifier cela pour tout entier b impair tel que 2  b  p
En effet si on a observé que lorsque 2  b  p b alors b ne divise pas p,
aucun nombre ne divise p car si x divisait p alors
p  x et il existe donc y tel
que y  x  p donc y divise p et y  p (sinon y  x  p ) ce qui est contraire à
l’observation.
Exemple 10003 est-il premier ? 10003  100,015
0n essaye les nombres impairs <100 : 3 ne divise pas donc aussi aucun multiple
de 3 inférieur à 100 ne divise 10003, on essaye 7 (1003 n’est pas divisible par 5)
10003 / 7  1429 ; 1003 n’est pas premier.
151 est-il premier ? 151  12,2 1 donc on essaye tous les nombres  12 .
151 3  50,3;151 7  21,5 ; 9 ne divise pas puisque 3 ne divise pas ;
151 11  13,7 donc 151 est premier.
Remarque
On utilise aussi le fait que si a et b ne divise pas p alors on sait que a  b ne
divise pas p ( a  b n’est pas à essayer).