Chapitre 2
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Nom : Prénom : Classe : Date : Chapitre 2 Diviseurs et multiples Objectifs : Au terme de ce chapitre, tu devras être capable de : 1. Enoncer des définitions et des propriétés. 2. Trouver les diviseurs et multiples d’un nombre naturel. 3. Connaître la signification de div.a, de aN. 4. Vérifier si un nombre satisfait à une propriété. 5. Confirmer, par un exemple, qu’un énoncé est vrai. 6. Confirmer, par un contre-exemple, qu’un énoncé est faux. 7. Traduire un énoncé par une expression algébrique ou en langage mathématique. 8. Substituer des nombres aux lettres. 9. Connaître les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 25. 10. Appliquer les critères de divisibilité à un naturel. 11. Définir "nombre premier". 12. Reconnaître si un nombre est premier. 13. Décomposer un nombre en un produit de facteurs premiers. 14. Calculer le P.G.C.D. de 2 nombres. 15. Vérifier si 2 nombres sont premiers entre eux. Campus Saint Jean Th.2 - 1 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : Chapitre 2 Diviseurs et multiples 1. Les diviseurs d’un nombre A. Approche Un naturel peut être représenté par une barre formée de petites cases carrées. Ainsi, 5 est représenté par 12 est représenté par Cependant, alors que 5 n’accepte qu’une seule représentation, 12 accepte, en plus de la barre, plusieurs représentations rectangulaires. Représente-les. Nous constatons que le nombre 12 peut se représenter de ___ façons différentes : une barre comportant ___ case sur sa largeur et ___ cases sur sa longueur. un rectangle comportant ___ cases sur sa largeur et ___ cases sur sa longueur. un rectangle comportant ___ cases sur sa largeur et ___ cases sur sa longueur. Nous dirons que 1, 12, 2, 6, 3, 4 sont les diviseurs de 12. L’ensemble des diviseurs de 12 se note _______________________ Donc : div.12 = ___________________________________ div.12 = ___________________________________ Campus Saint Jean Th.2 - 2 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : B. Représentation Sur le quadrillage ci-dessous, dessine toutes les représentations rectangulaires possibles des nombres suivants : 10, 14, 18, 20, 36, 45. 10 14 18 20 36 45 Donc : div.10 = ______________________________________ div.14 = ______________________________________ div.18 = ______________________________________ div.20 = ______________________________________ div.36 = ______________________________________ div.45 = ______________________________________ Campus Saint Jean Th.2 - 3 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : C. Ensemble de diviseurs On peut déjà vérifier que dans chaque ensemble de diviseurs, il y a toujours ___ et _______________________________ Donc : ___________________________________________ ___________________________________________ De plus, un ensemble de diviseurs est un ensemble ___________ Exercices 2.1 2.6 2. Les multiples d’un nombre A. Approche Si dans le stock de mon magasin, je possède : a) J’ai 0 ___ 1 ___ 2 ___ 3 ___ 4 ___ paquets de 10 mouchoirs en papier mouchoirs en papier Nous dirons que ___, ___, ___, ___, ___ sont des multiples de 10. L’ensemble des multiples de 10 se note ______ 10N = __________________________ b) J’ai 0 ___ 1 ___ 2 ___ 3 ___ 4 ___ paquets de 6 mini-Babibel mini-Babibel 6N = ___________________________ 6N = ___________________________ Campus Saint Jean Th.2 - 4 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : B. Ensemble de multiples Nous pouvons déjà constater que dans chaque ensemble de multiples, il y a toujours ___ et ____________________________. Donc :__________________________________________ __________________________________________ De plus, un ensemble de multiples est un ensemble ____________________ C. Rappel < signifie ________________ signifie ________________ > signifie ________________ signifie ________________ Donc : Les naturels < 5 sont _________________ Les naturels 5 sont _________________ Les naturels > 5 sont _________________ Les naturels 5 sont _________________ Exercices 2.7 2.9 D. Diviseurs et multiples Nous savons que 12 = 3.4 Nous pouvons utiliser les expressions suivantes : 3 est un diviseur de 12 3 divise 12 12 est un multiple de 3 12 est divisible par 4 Campus Saint Jean Th.2 - 5 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : Donc : 4 ______________________ 12 4 ______________________ 12 12 ______________________ 4 12 ______________________ 4 Nous savons que 20 = 2.10 Donc : 2 ______________________ 20 20 ______________________ 10 10 ______________________ 20 2 ______________________ 20 20 ______________________ 2 20 ______________________ 10 10 ______________________ 20 20 ______________________ 2 Invente un nombre qui réponde à l'affirmation : 14 est un multiple de _____ 25 divise _____ 9 est divisible par _____ 5 est un diviseur de _____ 5 est un multiple de _____ Exercices 2.10 2.17 Campus Saint Jean Th.2 - 6 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : 3. Propriétés A. 1ère propriété Exemple : Donc : 3 divise 36 et 3 divise 51. 3 divisera automatiquement 87 ou 36 + 51 Si un nombre en divise deux autres, il divise aussi leur somme. Si a divise b et c, alors a divise b + c En employant cette propriété, justifie les affirmations suivantes : 5 divise 630 car 5 divise 600 et 5 divise 30. 7 divise 714 car ________________________________ 10 divise 540 car ______________________________ 8 divise 456 car ________________________________ 9 divise 936 car ________________________________ B. 2ème propriété Exemple : Donc : 5 divise 400 et 5 divise 750. 5 divisera automatiquement 325 ou 400 – 75 Si un nombre en divise deux autres, il divise aussi leur différence. Si a divise b et c, alors a divise b – c En employant cette propriété, justifie les affirmations suivantes : 5 divise 650 car 5 divise 700 et 5 divise 500. 7 divise 343 car _________________________________ 10 divise 780 car ________________________________ 8 divise 720 car _________________________________ 9 divise 864 car _________________________________ Campus Saint Jean Th.2 - 7 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : C. 3ème propriété Exemple : 3 divise 9 3 divisera automatiquement 18, 27, 36, ___, ___, … c’est à dire les _______________ de 9 Donc : Si un nombre en divise un autre, alors il divise tous ses multiples. Si a divise b, alors a divise n.b (n N) Exercices 2.18 2.20 4. Critères de divisibilités D. Approche Pour vérifier que 7 est un diviseur de 1393, je procède comme suit : ________________________________________________________________ 7 est un diviseur de 1393 Campus Saint Jean Th.2 - 8 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : Fais de même pour vérifier si 1595 est divisible par 15 ________________________________________________________________ 15 ________________ de 1595 E. Critères de divisibilité Or, pour certains nombres, il n’est pas nécessaire d’effectuer une division. Une méthode plus rapide permet de le vérifier, c’est ce qu’on appelle les critères de divisibilité. Par 2 : un nombre est divisible par 2 si _______________________________ Exemple : 436 est divisible par 2 car _________________________________ 937 n’est pas divisible par 2 car ____________________________ Par 5 : un nombre est divisible par 5 si _______________________________ Exemple : 625 est divisible par 5 car _________________________________ 239 n’est pas divisible par 5 car ____________________________ Campus Saint Jean Th.2 - 9 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : Par 10 : un nombre est divisible par 10 si _____________________________ Exemple : 670 est divisible par 10 car ________________________________ 10235 n’est pas divisible par 10 car _________________________ Par 4 : un nombre est divisible par 4 si _______________________________ ________________________________________________________________ Exemple : 336 est divisible par 4 car _________________________________ 222 n’est pas divisible par 4 car ____________________________ Par 25 : un nombre est divisible par 25 si _____________________________ ________________________________________________________________ Exemple : 675 est divisible par 25 car ________________________________ 680 n’est pas divisible par 25 car ___________________________ Par 100 : un nombre est divisible par 100 si ___________________________ ________________________________________________________________ Exemple : 700 est divisible par 100 car _______________________________ 912 n’est pas divisible par 100 car __________________________ Par 1000 : un nombre est divisible par 1000 si _________________________ ________________________________________________________________ Exemple : 12 000 est divisible par 1000 car ____________________________ 3 200 n’est pas divisible par 1000 car ________________________ Campus Saint Jean Th.2 - 10 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : Par 3 : un nombre est divisible par 3 si _______________________________ ________________________________________________________________ Exemple : 336 est divisible par 3 car _________________________________ 221 n’est pas divisible par 3 car ____________________________ Par 9 : un nombre est divisible par 9 si _______________________________ ________________________________________________________________ Exemple : 675 est divisible par 9 car _________________________________ 785 n’est pas divisible par 9 car ____________________________ Par 6 : un nombre est divisible par 6 si _______________________________ ________________________________________________________________ Exemple : 336 est divisible par 6 car _________________________________ 242 n’est pas divisible par 6 car ____________________________ Exercices 2.21 2.30 Campus Saint Jean Th.2 - 11 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : 5. Nombres premiers A. Approche Ecris tous les éléments des ensembles suivants : div.7 = __________________________________________ div.25 = __________________________________________ div.9 = __________________________________________ div.12 = __________________________________________ div.24 = __________________________________________ div.100 = __________________________________________ div.45 = __________________________________________ div.36 = __________________________________________ div.13 = __________________________________________ div.60 = __________________________________________ div.29 = __________________________________________ div.1 = __________________________________________ Nous constatons que 7, 13 et 29 n’ont que 2 diviseurs. Ces nombres sont appelés _______________________________ Donc : Un nombre premier est ______________________________________ ________________________________________________________________ Exemple : _______________________________ Un nombre qui n’est pas premier est appelé nombre composé. Exemple : _______________________________ !!!!!! 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur !!!!! Campus Saint Jean Th.2 - 12 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : B. Le crible d'Eratosthène Pour découvrir les nombres premiers, barre dans le tableau : 0 et 1 0 1 2 3 4 tous les multiples de 2 sauf 2 tous les multiples de 3 sauf 3 10 11 12 13 14 tous les multiples de 5 sauf 5 20 21 22 23 24 tous les multiples de 7 sauf 7 30 31 32 33 34 … 40 41 42 43 44 50 51 52 53 54 60 61 62 63 64 70 71 72 73 74 80 81 82 83 84 90 91 92 93 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 Nous venons de former le "crible d’Eratosthène" Eratosthène est né à Cyrène vers 284 avant JésusChrist; après avoir suivi des études dans sa ville natale puis à Athènes, il est appelé à Alexandrie par Ptolémée III comme précepteur de son fils. Il devint alors, pendant près de 40 ans, le conservateur de la célèbre bibliothèque d'Alexandrie. Eratosthène est célèbre pour son crible permettant de déterminer des nombres premiers mais aussi pour la première estimation de la longueur d'un méridien. Il a donc été mathématicien, astronome, géographe mais également philosophe et poète. Donc les nombres premiers plus petits que 100 sont : __________________ ________________________________________________________________ Exercice 2.31 Campus Saint Jean Th.2 - 13 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : 6. Décomposition en facteurs premiers A. Approche Décomposons le nombre 12 en une multiplication de nombres premiers : 12 = __.__.__ 12 = __.__ Faisons de même pour 18 et 40 18 = __.__.__ 18 = __.__ 40 = __.__.__.__ 40 = __.__ Une telle transformation est appelée "décomposition en facteurs premiers" Donc : La décomposition en facteurs premiers d'un nombre composé est la ________________________________________________________________ ________________________________________________________________. Campus Saint Jean Th.2 - 14 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : B. Méthode Méthode pratique pour décomposer 5 040 en facteurs premiers. "Par quel nombre premier est divisible le nombre 5 040 ?" connaître les nombres premiers connaître les critères de divisibilité par 2, 3, 5 5 040 5 040 = __.__.__.__.__.__.__.__ 5 040 = __.__.__.__ Exercice 2.32 2.35 Campus Saint Jean Th.2 - 15 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : 7. P.G.C.D. et nombres premiers entre eux A. Pavage Peut-on paver un rectangle de 48 mm sur 60 mm avec des carrés tous identiques ? Si oui, détermine la dimension des carrés et le nombre total de ceux-ci. Représente la solution avec les carrés les plus grands possibles. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ Campus Saint Jean Th.2 - 16 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : B. Approche mathématique div.16 = ______________________________ div.28 = ______________________________ Nous constatons que ___, ___ et ___ sont à la fois diviseurs de 16 et de 28. Nous dirons que ___, ___ et ___ sont les diviseurs communs de 16 et de 28. Donc: Les diviseurs communs de a et de b sont les _____________________ ________________________________________________________________. C. Plus Grand Commun Diviseur Parmi les diviseurs communs de 16 et de 28, c'est-à-dire 1, 2 et 4 choisissons le plus grand, soit 4. Nous dirons que 4 est le plus grand commun diviseur ou le P.G.C.D. de 16 et de 28. Donc: Le P.G.C.D. de deux nombres a et b est _________________________ ________________________________________________________________ Exemples Pour chaque paire de nombres : - recherche les diviseurs communs aux deux nombres - donne le P.G.C.D. des deux nombres 24 et 18 div.24 = div.18 = les diviseurs communs sont _________________________________ Le P.G.C.D. de 24 et 18 est ___________ Campus Saint Jean Th.2 - 17 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : 40 et 50 div.40 = div.50 = les diviseurs communs sont __________________________________ Le P.G.C.D. de 40 et 50 est ___________ 75 et 50 div.75 = div.50 = les diviseurs communs sont __________________________________ Le P.G.C.D. de 75 et 50 est ___________ 12 et 20 div.12 = div.20 = les diviseurs communs sont __________________________________ Le P.G.C.D. de 12 et 20 est ___________ 15 et 35 div.15 = div.35 = les diviseurs communs sont __________________________________ Le P.G.C.D. de 15 et 35 est ___________ 18 et 25 div.18 = div.25 = les diviseurs communs sont __________________________________ Le P.G.C.D. de 18 et 25 est ___________ Campus Saint Jean Th.2 - 18 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : 20 et 29 div.20 = div.29 = les diviseurs communs sont __________________________________ Le P.G.C.D. de 20 et 29 est ___________ Exercice 2.36 2.39 D. Nombres premiers entre eux Dans les exercices précédents, nous constatons que certains nombres ont comme P.G.C.D. 1. Ce sont __ et __ __ et __ Nous dirons que ces nombres sont _________________________________. Donc : Deux nombres sont premiers entre eux si _______________________ ________________________________________________________________. Exercice 2.40 2.41 Pour aller plus loin : Exercices 2.42 2.46 Campus Saint Jean Th.2 - 19 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : Chapitre 2 Diviseurs et multiples Je dois retenir : ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ Campus Saint Jean Th.2 - 20 Math 1ère Nom : Prénom : Classe : Date : ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ Campus Saint Jean Th.2 - 21 Math 1ère
