201-NYB-05 – Calcul intégral Session Hiver 2010 Notes préparatoires au laboratoire 1 (VE) Séquence 1 Évaluation d’une fonction à l’aide d’une méthode numérique Objectif Connaissant la dérivée d’une fonction et la valeur en un point, nous voulons approcher une fonction, c’està-dire obtenir des valeurs approximatives de cette fonction dans un certain intervalle donné ainsi qu’une représentation graphique à partir de ces valeurs. Il existe plusieurs méthodes numériques, nous allons vous présenter la plus simple d’entre elles. Connaissances antérieures En calcul différentiel NYA, vous avez vu dans le chapitre 5 que vous pouviez linéariser une fonction f en un point (a,f(a)) et trouver une valeur approximative de f(b) à l’aide de la différentielle. Revenons un peu sur cette notion. y À partir d’une fonction f connue et d’un point connu (a,f(a)), nous pouvons calculer une valeur approximative de f(b) ainsi : f(b)=f(a+Δx) y = d’où f (b) = y ou encore f (a x ) = dy = d x x a abrégé, que d y = Comme , nous pouvons écrire, en dy f(a) De plus, d y lim y ¸ cela signifie que dy est une bonne Δx=dx a x 0 b a + Δx approximation de y lorsque x est petit. De f (b) f (a ) y et de dy y si x est petit, nous pouvons déduire ceci : ce qui équivaut à écrire que : Ceci nous permet d’approcher la valeur de f(b) = f(a+Δx) à l’aide de la différentielle. Évaluation d’une fonction inconnue connaissant sa dérivée et un point En calcul intégral, la dérivée d’une fonction f est connue ainsi qu’un point de la courbe de f et on veut trouver la fonction f. Nous pouvons utiliser deux méthodes : l’une dite numérique et l’autre analytique. La méthode numérique permet strictement d’avoir des valeurs approximatives de la fonction et non son expression algébrique, car nous utilisons l’approximation d’une fonction par sa différentielle pour calculer ces valeurs. La méthode analytique consiste à faire le processus inverse de la dérivation, c’est-à-dire que nous allons intégrer la dérivée f '( x) à l’aide de méthodes d’intégration afin de déterminer l’expression algébrique de f(x). La première méthode a plusieurs variantes possibles, mais nous allons voir une méthode simple basée sur la méthode d’Euler. Cette méthode consiste à effectuer une succession d’itérations afin de déterminer les valeurs approximatives f(xi) où i = 0,1,2,… Pour calculer ces valeurs approximatives de f(xi), nous utilisons l’approximation d’une fonction à l’aide de la différentielle. x Procédure d’application de la méthode numérique Nous connaissons le taux de variation de la fonction en tout point ainsi que le point de départ A0(x0, y0) où y0 f ( x0 ) et nous fixons une valeur pour dx (ou Δx). Nous pouvons alors calculer d y x f '( x0 ) dx . 0 Nous obtenons alors y1 y 0 f '( x 0 ) dx . Ceci donne une première approximation de y1 = f(x1), car f ( x1 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f '( x 0 ) dx . Véritable courbe de f y y 3 y 2 f '( x 2 ) d x ● A3(x3, y3) dy y 2 y1 f '( x1 ) d x ● Δx=dx A2(x2, y2) dy y1 y 0 f '( x 0 ) dx A1(x1, y1) y0 f ( x0 ) ● Δx=dx dy A0(x0, y0) x0 Δx=dx ● x1 x 0 x x 2 x1 x x3 x 2 x x Cette valeur de y1 (où y1 f ( x1 ) ) étant connue, nous recommençons le même raisonnement pour déterminer les autres yi où yi f ( xi ) pour i=1, 2, 3, . Exemple Prenons l’exemple de la population du fascicule « Mathématiques et environnement », page 23, où le taux de variation de la population au temps t est donné par : P '(t ) 0, 2 P(t ) et la population initiale est de P(0) = 1 000 habitants. Déterminons de proche en proche l’évolution de la population à partir du temps t = 0 et d’année en année, c'est-à-dire selon des intervalles de temps t dt 1 an. Au temps ti Population au temps ti P(ti) Variation en P selon la tangente dP P '(t i ) dt 0, 2 P(t i ) dt ti Population au temps ti +Δt P(ti+Δt) = P(ti) + dP ti t0 = 0 t1 = 1 Le graphe des valeurs approximatives de la population est illustré ci-contre : Pour calculer les valeurs du tableau et tracer le graphique, le tableur Excel est facile à utiliser et donne de bons résultats. Population approx. (habitants) t2 = 2 Population approxim ative en fonction du tem ps 4000 3000 2000 1000 0 0 1 2 3 4 Tem ps t (années) 5 6